Ένα από τα πιο διάσημα και σημαντικά προβλήματα στην εφοδιαστική μεταφορών (και στην κατηγορία των προβλημάτων βελτιστοποίησης γενικά) είναι πρόβλημα ταξιδιώτη πωλητή(Αγγλικά «Πρόβλημα ταξιδιώτη πωλητή», TSP). Βρέθηκε επίσης το όνομα " πρόβλημα περιπλανώμενου εμπόρου" Η ουσία του προβλήματος έγκειται στην εύρεση του βέλτιστου, δηλαδή του συντομότερου μονοπατιού που διέρχεται από ορισμένα σημεία ένα κάθε φορά. Για παράδειγμα, το πρόβλημα του ταξιδιώτη πωλητή μπορεί να χρησιμοποιηθεί για να βρείτε την πιο κερδοφόρα διαδρομή που σας επιτρέπει να ταξιδέψετε σε ορισμένες πόλεις με τα προϊόντα σας μία φορά και να επιστρέψετε στο σημείο εκκίνησης. Το μέτρο της κερδοφορίας της διαδρομής θα είναι ελάχιστος χρόνοςο χρόνος που δαπανάται στο δρόμο, το ελάχιστο κόστος μετακίνησης ή, στην απλούστερη περίπτωση, η ελάχιστη διάρκεια ταξιδιού.

Είναι άγνωστο ποιος και πότε άρχισε να μελετά για πρώτη φορά το πρόβλημα του περιοδεύοντος πωλητή, αλλά ήταν ένας από τους πρώτους που πρότεινε μια λύση παρόμοιο πρόβλημαεξαιρετικός μαθηματικός του 19ου αιώνα. – Ουίλιαμ Χάμιλτον. Εδώ θα εξετάσουμε μια κλειστή εκδοχή του προβλήματος (δηλαδή μια όπου τελικά επιστρέφουμε στο σημείο εκκίνησης) και τη λύση του μέθοδος διακλάδωσης και δέσμευσης.

Γενικό σχέδιο για την επίλυση του προβλήματος του πλανόδιου πωλητή

Για να λύσετε το πρόβλημα του ταξιδιώτη πωλητή χρησιμοποιώντας τη μέθοδο υποκατάστημα και δέσμευση, πρέπει να κάνετε τα εξής: αλγόριθμος(αλληλουχία):

1. Κατασκευή μήτρας με αρχικά δεδομένα.
2. Εύρεση του ελάχιστου κατά σειρές.
3. Μείωση γραμμής.
4. Εύρεση του ελάχιστου κατά στήλες.
5. Μείωση στήλης.
6. Υπολογισμός μηδενικών βαθμολογιών κυττάρων.
7. Αναγωγή μήτρας.
8. Αν πλήρης διαδρομήδεν βρέθηκε ακόμα, μεταβείτε στο σημείο 2, εάν βρεθεί, μεταβείτε στο σημείο 9.
9. Υπολογισμός τελικού μήκους διαδρομής και κατασκευή της διαδρομής.

Αυτά τα στάδια επίλυσης του προβλήματος ενός ταξιδιώτη εμπόρου περιγράφονται λεπτομερέστερα παρακάτω.

Λεπτομερής μεθοδολογία για την επίλυση του προβλήματος του πλανόδιου πωλητή

Για να κατανοήσουμε καλύτερα το πρόβλημα, δεν θα λειτουργήσουμε με τις έννοιες ενός γραφήματος, τις κορυφές του κ.λπ., αλλά με απλές έννοιες και όσο το δυνατόν πιο κοντά στην πραγματικότητα: οι κορυφές του γραφήματος θα ονομάζονται «πόλεις», η Τα άκρα που τα συνδέουν θα ονομάζονται «δρόμοι».

Έτσι, η μέθοδος για την επίλυση του προβλήματος του ταξιδιώτη πωλητή:

1. Κατασκευή πίνακα με αρχικά δεδομένα

Αρχικά, πρέπει να παρουσιάσετε τα μήκη των δρόμων που συνδέουν πόλεις με τη μορφή του παρακάτω πίνακα:

Στο παράδειγμά μας, έχουμε 4 πόλεις και ο πίνακας δείχνει την απόσταση από κάθε πόλη έως 3 άλλες, ανάλογα με την κατεύθυνση του ταξιδιού (καθώς ορισμένες σιδηροδρομικές γραμμές μπορεί να είναι μονόδρομες κ.λπ.).

Η απόσταση από μια πόλη στην ίδια πόλη υποδεικνύεται με το γράμμα Μ. Χρησιμοποιείται επίσης ένα σύμβολο απείρου. Αυτό γίνεται έτσι ώστε αυτό το τμήμα της διαδρομής να γίνει δεκτό υπό όρους ως απείρως μακρύ. Τότε δεν θα έχει νόημα να επιλέξετε κίνηση από την 1η πόλη στην 1η, από τη 2η στη 2η κ.λπ. ως τμήμα διαδρομής.

2. Εύρεση του ελάχιστου κατά σειρές

Βρείτε την ελάχιστη τιμή σε κάθε γραμμή ( di) και γράψτε το σε ξεχωριστή στήλη.

3. Μείωση χορδών

Εκτελούμε μείωση σειρών - αφαιρούμε από κάθε στοιχείο της σειράς αντίστοιχη αξίατο ελάχιστο που βρέθηκε (di).

Ως αποτέλεσμα, κάθε γραμμή θα έχει τουλάχιστον ένα μηδενικό κελί.

4. Εύρεση του ελάχιστου κατά στήλες

5. Μείωση στήλης

Αφαιρούμε τον αντίστοιχο dj από κάθε στοιχείο του πίνακα.

Ως αποτέλεσμα, κάθε στήλη θα έχει τουλάχιστον ένα μηδενικό κελί.

6. Υπολογισμός μηδενικών βαθμολογιών κυττάρων

Για κάθε μηδενικό κελί του προκύπτοντος μετασχηματισμένου πίνακα βρίσκουμε " εκτίμηση" Θα είναι το άθροισμα του ελάχιστου στοιχείου σε μια σειρά και του ελάχιστου στοιχείου σε μια στήλη στην οποία βρίσκεται αυτό το μηδενικό κελί. Η ίδια δεν λαμβάνεται υπόψη. Οι di και dj που βρέθηκαν στο παρελθόν δεν λαμβάνονται υπόψη. Γράφουμε την εκτίμηση που προκύπτει δίπλα στο μηδέν, σε παρένθεση.

Και ούτω καθεξής για όλα τα μηδενικά κελιά:

7. Αναγωγή μήτρας

Επιλέγουμε το μηδενικό κελί με την υψηλότερη βαθμολογία. Το αντικαθιστούμε με " Μ" Βρήκαμε ένα από τα τμήματα του μονοπατιού. Το γράφουμε (από ποια πόλη μετακομίζουμε, στο παράδειγμά μας από την 4η στην 2η).

Διασχίζουμε εντελώς αυτή τη γραμμή και εκείνη τη στήλη όπου σχηματίστηκαν δύο «Μ». Στο αντίστοιχο κελί δρόμο της επιστροφής, βάλτε ένα άλλο γράμμα «Μ» (αφού δεν θα πάμε πίσω).

8. Εάν δεν έχει βρεθεί ακόμη η πλήρης διαδρομή, μεταβείτε στο σημείο 2, εάν βρεθεί, μεταβείτε στο σημείο 9

Εάν δεν έχουμε βρει ακόμη όλα τα τμήματα της διαδρομής, τότε επιστρέφουμε σε 2 το ου σημείο και πάλι αναζητήστε ελάχιστα σε γραμμές και στήλες, πραγματοποιήστε τη μείωσή τους, υπολογίστε τις εκτιμήσεις μηδενικών κελιών κ.λπ.

Εάν έχουν βρεθεί όλα τα τμήματα της διαδρομής (ή δεν έχουν βρεθεί όλα τα τμήματα ακόμα, αλλά το υπόλοιπο της διαδρομής είναι προφανές), μεταβείτε στο σημείο 9 .

9. Υπολογισμός τελικού μήκους διαδρομής και κατασκευή της διαδρομής

Έχοντας βρει όλα τα τμήματα του μονοπατιού, το μόνο που μένει είναι να τα συνδέσουμε μεταξύ τους και να υπολογίσουμε το συνολικό μήκος του μονοπατιού (κόστος ταξιδιού κατά μήκος αυτής της διαδρομής, χρόνος που αφιερώθηκε κ.λπ.). Παίρνουμε τα μήκη των δρόμων που συνδέουν πόλεις από τον πρώτο κιόλας πίνακα με τα αρχικά δεδομένα.

Στο παράδειγμά μας, η διαδρομή είναι η εξής: 4 → 2 → 3 → 1 → 4 .

Συνολικό μήκος διαδρομής: L=30.

Πρακτική εφαρμογή του προβλήματος του περιοδεύοντος πωλητή

Οι πρακτικές εφαρμογές του προβλήματος του ταξιδιώτη πωλητή είναι αρκετά εκτεταμένες. Συγκεκριμένα, μπορεί να χρησιμοποιηθεί για την εύρεση της συντομότερης διαδρομής όταν μια ποπ ομάδα περιοδεύει πόλεις, βρίσκοντας μια ακολουθία τεχνολογικών λειτουργιών που διασφαλίζει ελάχιστος χρόνοςεκτέλεση ολόκληρου του κύκλου παραγωγής κ.λπ.

Επίλυση του προβλήματος του ταξιδιώτη πωλητή στο διαδίκτυο

Galyautdinov R.R.

© Η αντιγραφή υλικού επιτρέπεται μόνο εάν υπάρχει απευθείας υπερσύνδεσμος προς

4.3.1. Γενικό σχήμαμέθοδος "κλαδιά και δεσμευμένο".Μια άλλη ευρέως χρησιμοποιούμενη μέθοδος για την επίλυση προβλημάτων διακριτού προγραμματισμού είναι μέθοδος διακλάδωσης και δέσμευσης. Πρώτα αυτή τη μέθοδοΗ επίλυση του CLLP προτάθηκε το 1960 από τους Lang και Doig και η «αναγέννησή» του συνέβη το 1963 σε σχέση με τη δημοσίευση του έργου των Little, Murthy, Sweeney και Carell, αφιερωμένο στην επίλυση του προβλήματος του ταξιδιώτη πωλητή.

Σε γενικές γραμμές, ο όρος «μέθοδος διακλάδωσης και δέσμευσης» είναι συλλογικός και περιλαμβάνει μια ολόκληρη οικογένεια μεθόδων που χρησιμοποιούνται για την επίλυση τόσο γραμμικών όσο και μη γραμμικών διακριτών προβλημάτων. γενικές αρχές. Ας τις περιγράψουμε εν συντομία.

Αφήστε το έργο να είναι:

Οπου ρε- ένα πεπερασμένο σύνολο.

Ο αλγόριθμος είναι επαναληπτικός και σε κάθε επανάληψη λειτουργεί με ένα συγκεκριμένο υποσύνολο του συνόλου ρε. Ας ονομάσουμε αυτό το υποσύνολο ρεύμακαι θα το χαρακτηρίσουμε ως ρε (q) , Οπου q- δείκτης επανάληψης. Πριν ξεκινήσετε την πρώτη επανάληψη, όπως τρέχον σύνολοέχει επιλεγεί ολόκληρο το σετ ρε (ρε (1) =Δ), και για αυτό η τιμή της ανώτερης εκτίμησης για αντικειμενική λειτουργίαΜέγιστη f(x)≤ ξ( ρε(1)). Μια τυπική επανάληψη του αλγορίθμου αποτελείται από τα ακόλουθα βήματα:

1°. Εάν μπορείτε να καθορίσετε ένα σχέδιο Χ (q) ∊ρε (q) , για το οποίο f(x (q) ) ≤ξ( ρε (q)), Οτι Χ (q) =Χ*- λύση στο πρόβλημα (4.29).

2°. Εάν δεν βρεθεί ένα τέτοιο σχέδιο, τότε ο τομέας ορισμού ρε (q) χωρίζεται κατά κάποιο τρόπο σε υποσύνολα ρε 1 (q) , ρε 2 (q) , ..., Dlq (q) πληρούν τις προϋποθέσεις:

Για κάθε υποσύνολο, βρίσκονται τα άνω όρια (άνω όρια) για την αντικειμενική συνάρτηση ξ ρε 1 (q) , ξ ρε 2 (q) , ..., ξ Δ λ 1 (q) που βελτιώνουν την προηγουμένως ληφθείσα εκτίμηση ξ ρε (q) , δηλαδή ξ D i (q) ≤ ξ ρε (q) , Εγώ∊1:l q. Ένα από τα δύο είναι πιθανά:

2.1. Αν υπάρχει τέτοιο σχέδιο Χ (q) , Τι

τότε αυτό το σχέδιο είναι βέλτιστο.

2.2. Εάν δεν βρεθεί τέτοιο σχέδιο, τότε επιλέγεται ένα από τα σετ D i (q) , Εγώ∊1:l q(συνήθως αυτός με την υψηλότερη βαθμολογία

Όλα διαθέσιμα σε την τρέχουσα στιγμήτα τερματικά υποσύνολα, δηλαδή εκείνα τα υποσύνολα που δεν έχουν ακόμη υποβληθεί στη διαδικασία διαχωρισμού, επαναπροσδιορίζονται ως ρε 1 (q +1) , ρε 2 (q +1) ,..., Δ λ (q +1) (q+1), μετά την οποία η διαδικασία επαναλαμβάνεται.

Ορισμός σχήματος διαχωρισμού ρεπαρουσιάστηκε στις ρύζι. 4.3με τη μορφή γραφήματος. Υπάρχουν περισσότερα πολύπλοκα συστήματαευρετηρίαση υποσυνόλων που δεν απαιτούν τον επαναπροσδιορισμό τους σε κάθε βήμα.

Συγκεκριμένες υλοποιήσεις της μεθόδου διακλάδωσης και δέσμευσης σχετίζονται με τους κανόνες της κατάτμησης σε υποσύνολα (κανόνες διακλάδωσης) και την κατασκευή εκτιμήσεων των τιμών των αντικειμενικών συναρτήσεων σε αυτά τα υποσύνολα (όρια).

4.3.2. Επίλυση του CPLP με τη μέθοδο διακλάδωσης και δέσμευσης.Ας εξετάσουμε την εφαρμογή του αλγόριθμου της μεθόδου διακλάδωσης και δέσμευσης για την επίλυση του CLLP (4.2)-(4.3). Όπως ήδη αναφέρθηκε, μέσω ρε (q) υποδηλώνει ένα υποσύνολο του συνόλου των εφικτών σχεδίων για ένα πρόβλημα. Πριν από την έναρξη της πρώτης επανάληψης ( q= 1) ολόκληρο το σύνολο λαμβάνεται ως το τρέχον σύνολο ρε (ρε (1) = ρε), μετά την οποία αποφασίζεται τυπική εργασία γραμμικός προγραμματισμός (ρε (1) , φά). Είναι εύκολο να δει κανείς ότι είναι ένα συνεχές ανάλογο

αρχικό πρόβλημα (4.2)-(4.3). Αν βρεθεί το βέλτιστο σχέδιο Το (1) περιέχει μόνο ακέραια στοιχεία, τότε είναι επίσης το βέλτιστο σχέδιο για (4.2)-(4.3): (1) = Χ*. Διαφορετικά η τιμή φά( Το (1)) γίνεται μια εκτίμηση (άνω όριο) της τιμής της αντικειμενικής συνάρτησης στο σύνολο ρε(1) , και προχωράμε στην τυπική επανάληψη του αλγορίθμου. Ας περιγράψουμε τα στάδια που περιλαμβάνονται σε αυτό.

1) Επιλέγεται κάποιο μη ακέραιο στοιχείο του σχεδίου κ (q) . Εφόσον στο βέλτιστο σχέδιο θα πρέπει να είναι ακέραιος, είναι δυνατό να επιβληθούν περιορισμοί x k ≤ [κ (q) ] Και x k ≥ [κ (q) ]+1. Ετσι, ρε (q) χωρίζεται σε υποσύνολα

Γραφική ερμηνεία μιας τέτοιας κατάτμησης του συνόλου ρε (q) δίνεται στις ρύζι. 4.4.

2) Επιλύονται προβλήματα γραμμικού προγραμματισμού

Οι αντίστοιχες μέγιστες τιμές της αντικειμενικής συνάρτησης λαμβάνονται ως εκτιμήσεις της σε αυτά τα σύνολα:

Αν βέλτιστο σχέδιο γιατί ένα από τα λυμένα προβλήματα ικανοποιεί την προϋπόθεση

και περιέχει μόνο ακέραια στοιχεία, τότε βρέθηκε μια λύση στο κύριο πρόβλημα (4.2)-(4.3). Διαφορετικά μεταξύ όλα τα υποσύνολα τερματικών, που ελήφθησαν όπως στα προηγούμενα ( D i (q)), και στο τρέχον ( ρε 1 (q) , ρε 2 (q)) στάδιο, η περιοχή με την υψηλότερη βαθμολογία ξ( D i (q)). Γίνεται το τρέχον υποσύνολο υπό εξέταση ( ρε (q+1)). Στη συνέχεια, τα τελικά σύνολα επαναριθμούνται και η υπολογιστική διαδικασία επαναλαμβάνεται επαναληπτικά.

Κατά την επίλυση προβλημάτων ( ρε 1 (q) , φά) Και ( ρε 2 (q) , φά) μπορείτε να χρησιμοποιήσετε τα αποτελέσματα της επίλυσης του προηγούμενου προβλήματος ( ρε (q) , φά). Ας εξετάσουμε την επιλογή της οργάνωσης της υπολογιστικής διαδικασίας χρησιμοποιώντας το παράδειγμα ενός προβλήματος ( 1 (q) , φά) (Για ( 2 (q) , φά) μοιάζει με τα σημάδια της ανισότητας).

Ας υποθέσουμε ότι στο τελευταίο βήμα της επίλυσης του προβλήματος ( ρε (q) , φά) ελήφθη η βέλτιστη βάση β. Χωρίς απώλεια γενικότητας, μπορούμε να υποθέσουμε ότι αποτελείται από το πρώτο Μστήλες του πίνακα εργασιών. Αυτή η υπόθεση γίνεται αποκλειστικά για να εξασφαλιστεί η σαφήνεια της περαιτέρω παρουσίασης και είναι προφανές ότι η υλοποίησή της μπορεί πάντα να επιτευχθεί με απλή επαναρίθμηση των διανυσμάτων α ι. Κατ' αναλογία με την προηγούμενη παράγραφο, εισάγουμε σημειογραφία για τα στοιχεία του πίνακα προβλήματος ( ρε (q) , φά) και το διάνυσμα περιορισμών του σε σχέση με τη βάση:

Τότε το σύστημα των περιορισμών του προβλήματος ( ρε (q) , φά) μπορεί να αναπαρασταθεί ως

και το σύστημα των περιορισμών του προβλήματος που ελήφθη με βάση αυτό ( 1 (q) , φά) Πως

Οπου x n+1 ≥ 0 - μια εικονική μεταβλητή, η οποία αντιστοιχεί σε μηδενικό συντελεστή στην αντικειμενική συνάρτηση, που προστίθεται για να μετατρέψει την ανισότητα σε αυστηρή ισότητα.

Προφανώς 1≤ k≤m, αφού μη βασικά στοιχεία του βέλτιστου σχεδίου ( Μ+1≤j≤n) ισούνται με μηδέν, δηλαδή είναι προφανώς ακέραιοι. Στη συνέχεια, λαμβάνοντας υπόψη τις υποθέσεις που έγιναν για τη μορφή της βάσης, μπορούμε να γράψουμε:

Όπως φαίνεται από το (4.39), στο κΗ στήλη έχει μόνο δύο μη μηδενικά στοιχεία: in κ-ο και ( Μ+1)η γραμμή. Αν αφαιρέσουμε από ( Μ+1)η εξίσωση κ-e, λοιπόν, δεδομένου ότι [ά κ] – ά κ =-{ά κ), λαμβάνουμε ένα ισοδύναμο σύστημα:

Πραγματοποιήθηκαν μετασχηματισμοί του συστήματος περιορισμών ρε 1 (q) κατέστησε δυνατή τη ρητή αναγνώριση της συζυγούς βάσης που σχηματίζεται από τις στήλες με αριθμό 1,..., Μ, n+1, και το αντίστοιχο ψευδοπλάνο (ά 1, ..., ά Μ, 0,...., 0, -(ά κ)), δηλ. για να λυθει το προβλημα ( ρε 1 (q) , φά) μπορεί να εφαρμοστεί ο αλγόριθμος της μεθόδου dual simplex. Πρακτικά η υπολογιστική διαδικασία για αυτό το στάδιοκαταλήγει στον μετασχηματισμό στον πίνακα simplex που φαίνεται στο ρύζι. 4.5.

Για την περίπτωση του προβλήματος ( ρε 2 (q) , φά) δίνεται ο μετασχηματισμός του πίνακα simplex, που λήφθηκε βάσει παρόμοιου συλλογισμού ρύζι. 4.6.

Προφανές μειονέκτημαΟ αλγόριθμος της μεθόδου διακλάδωσης και δεσμεύματος κατά την επίλυση προβλημάτων μεγάλης διάστασης είναι η ανάγκη επανάληψης επίσης ένας μεγάλος αριθμός απόεπιλογές πριν βρεθεί το βέλτιστο σχέδιο. Ωστόσο, μπορεί να ξεπεραστεί εν μέρει εάν περιοριστούμε στην αναζήτηση όχι για το βέλτιστο, αλλά απλώς για ένα «καλό» (κοντά στο βέλτιστο) σχέδιο. Είναι εύκολο να κριθεί ο βαθμός μιας τέτοιας εγγύτητας και η ταχύτητα προσέγγισης στο άκρο από τις αλλαγές στις τιμές των εκτιμήσεων.

Τονίζουμε ότι η δεδομένη υλοποίηση της μεθόδου διακλάδωσης και δέσμευσης είναι ένα από πολλά. Εκτός από αυτό, για παράδειγμα, μια πολύ δημοφιλής έκδοση της μεθόδου για την επίλυση του προβλήματος του ταξιδιώτη πωλητή, στην οποία συγκεκριμένες ιδιότητες αυτού του μοντέλου χρησιμοποιούνται για τη διακλάδωση και την κατασκευή εκτιμήσεων. Εάν θέλετε, μπορείτε να διαβάσετε σχετικά.

ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ

Ø Ø Προβλήματα με αδιαίρετα.

Ø Ø Ακραία συνδυαστικά προβλήματα.

Ø Ø Προβλήματα με ασυνεχείς αντικειμενικές συναρτήσεις.

Ø Ø Σωστή κοπή.

Ø Ø Μέθοδος Gomori.

Ø Ø Μέθοδοι διακλάδωσης και δεσμών.

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΕΛΕΓΧΟΥ

4.1. Ποια είναι τα κύρια προβλήματα που προκύπτουν κατά την επίλυση διακριτών προβλημάτων;

4.2. Διατυπώστε το πρόβλημα του σακιδίου.

4.3. Ποια οικονομικά και μαθηματικά μοντέλα μπορούν να περιοριστούν στο πρόβλημα του πλανόδιου πωλητή;

4.4. Δώστε ένα παράδειγμα μοντέλων με ασυνεχείς αντικειμενικές συναρτήσεις.

4.5. Ποια αρχή χρησιμοποιείται για την κατασκευή της σωστής αποκοπής στη μέθοδο Gomori;

4.6. Καταγράψτε τα κύρια βήματα που εμπλέκονται στη «μεγάλη» επανάληψη της μεθόδου Gomori.

4.7. Τι ρόλο παίζει ο αλγόριθμος της μεθόδου dual simplex στην επίλυση ενός ακέραιου προβλήματος;

γραμμικό πρόβλημαΜέθοδος Gomori;

4.8. Καταγράψτε τις θεμελιώδεις ιδέες πίσω από τις μεθόδους διακλάδωσης και δέσμευσης.

4.9. Πώς να κατασκευάσετε μια αποκοπή κατά την επίλυση ενός ακέραιου γραμμικού προβλήματος χρησιμοποιώντας τη μέθοδο

κλαδιά και όρια;

4.10. Περιγράψτε ένα σχήμα για την επίλυση ενός ακέραιου προβλήματος γραμμικού προγραμματισμού χρησιμοποιώντας τη μέθοδο διακλάδωσης και

4.11. Λόγω ποιων μετασχηματισμών είναι δυνατό να κατασκευαστεί μια συζευγμένη βάση κατά την προσθήκη

περιορισμός κοπής;

Εισαγωγή

Κατά την εξέταση ορισμένων προβλημάτων, είναι απαραίτητο να ληφθεί υπόψη η απαίτηση οι μεταβλητές που χρησιμοποιούνται να είναι ακέραιες. Οι μέθοδοι επίλυσης προβλημάτων γραμμικού προγραμματισμού δεν εγγυώνται την ακεραιότητα της λύσης.

Μερικές φορές τα προβλήματα γραμμικού προγραμματισμού ακέραιων αριθμών επιλύονται κατά προσέγγιση. Για να το κάνετε αυτό, λύστε το πρόβλημα χωρίς να λάβετε υπόψη τις ακέραιες τιμές των μεταβλητών, στη συνέχεια στη βέλτιστη λύση που προκύπτει τα αποτελέσματα στρογγυλοποιούνται στις πλησιέστερες ακέραιες τιμές. Η χρήση τέτοιων λύσεων είναι επιτρεπτή σε περιπτώσεις όπου οι τιμές των μεταβλητών είναι αρκετά μεγάλες και το σφάλμα στρογγυλοποίησης μπορεί να παραμεληθεί. Εάν οι τιμές των μεταβλητών είναι μικρές, τότε η στρογγυλοποίηση μπορεί να οδηγήσει σε σημαντική απόκλιση από τη βέλτιστη λύση.

Μία από τις ευρέως χρησιμοποιούμενες μεθόδους λύσης ακέραια προβλήματαείναι η μέθοδος διακλάδωσης και δέσμευσης, που προτάθηκε για πρώτη φορά από τους Land and Doig το 1960.

γραμμικός προγραμματισμός ορίων διακλάδωσης

Μέθοδος διακλάδωσης και δεσίματος

Ο αλγόριθμος της μεθόδου διακλάδωσης και δέσμευσης προβλέπει την αποσύνθεση του αρχικού προβλήματος γραμμικού προγραμματισμού (LPP) σε μια ακολουθία προβλημάτων που περιέχει πρόσθετους περιορισμούςσε μεταβλητές, οι οποίες στη συνέχεια βελτιστοποιούνται.

1. Η διαδικασία ξεκινά με την επίλυση του προβλήματος χρησιμοποιώντας ένα απλό ή γραφική μέθοδοςχωρίς να λαμβάνεται υπόψη η απαίτηση για ακέραιες μεταβλητές. Αυτό το πρόβλημα ονομάζεται ZLP-0. Εάν όλες οι μεταβλητές ενός βέλτιστου σχεδίου είναι ακέραιοι, τότε αυτό το σχέδιο είναι επίσης βέλτιστο για προβλήματα προγραμματισμού ακεραίων.

2. Εάν κάποια μεταβλητή δεν έχει λάβει ακέραια τιμή, τότε μια διακλάδωση γίνεται σε δύο νέες εργασίες ZLP-1, ZLP-2. Ενας από Εργασίες ZLP-1 αντιπροσωπεύει το πρόβλημα ZLP-0, που συμπληρώνεται από τον περιορισμό όπου - ολόκληρο μέροςαριθμοί. Το δεύτερο σχηματίζεται προσθέτοντας έναν περιορισμό στο πρόβλημα ZLP-0. Θα πρέπει να σημειωθεί ότι η επιλογή μιας ακέραιας μεταβλητής μπορεί να καθοριστεί αυθαίρετα ως εξής:

αύξοντες ή φθίνοντες δείκτες.

μεταβλητή αντιπροσωπεύει σημαντική απόφασηέγινε αποδεκτό στο πλαίσιο αυτού του καθήκοντος·

ο συντελεστής της αντικειμενικής συνάρτησης για αυτή τη μεταβλητή υπερβαίνει σημαντικά όλους τους άλλους.

3. Οι εργασίες των ZLP-1 και ZLP-2 επιλύονται ανεξάρτητα. Ένας κλάδος τελειώνει εάν η περιοχή των εφικτών λύσεων είναι άδεια ή βέλτιστη λύσηεντελώς ακέραιος. Διαφορετικά, υπάρχει ανάγκη διακλάδωσης από το σημείο 2, προσδιορίζοντας τους ακόλουθους αριθμούς εργασιών ZLP με τη φυσική σειρά των ZLP-3, ZLP-4.

Η διαδικασία λύσης μπορεί να αναπαρασταθεί ως ένα δέντρο στο οποίο η κορυφή ZLP-0 αντιστοιχεί στο αρχικό σχέδιο για την επίλυση του προβλήματος και καθεμία από τις κορυφές που συνδέονται με αυτήν από έναν κλάδο αντιστοιχεί στο βέλτιστο σχέδιο για το επόμενο πρόβλημα.

Εξετάστε το ακόλουθο παράδειγμα.Μεγιστοποίηση αντικειμενικής συνάρτησης

υπό περιορισμούς

Ας χρησιμοποιήσουμε τη γραφική μέθοδο για να λύσουμε το πρόβλημα του γραμμικού προγραμματισμού.

1. Ας λύσουμε το αρχικό πρόβλημα χωρίς να λάβουμε υπόψη την απαίτηση ακέραιων μεταβλητών.

Ας υποδηλώσουμε αυτό το γραμμικό πρόβλημα Προγραμματισμός ZLP-0.

Στο Σχήμα 1.1, το πολύγωνο των λύσεων σε αυτό το πρόβλημα επισημαίνεται με σκίαση. Μέγιστη αξίαεπιτυγχάνεται στο σημείο Η λύση δεν είναι ακέραιος.

Το επόμενο βήμα της μεθόδου διακλάδωσης και δέσμευσης είναι η διακλάδωση κατά μήκος μιας από τις ακέραιες μεταβλητές που έχουν κλασματική τιμή, π.χ. Για να γίνει αυτό, προσθέτουμε δύο νέους περιορισμούς στο πρόβλημα ZLP-0 και Αυτοί οι περιορισμοί αφαιρούν το διάστημα = στο οποίο δεν υπάρχουν ακέραιες τιμές. Έτσι, στη διαδικασία διακλάδωσης, δημιουργούνται δύο νέες εργασίες ZLP-1 και ZLP-2.

Εικόνα 1.1 Λύση του προβλήματος ZLP-0

2. Ας λύσουμε το πρόβλημα ZLP-1 γραφικά.

Το σχήμα 1.2 δείχνει έγκυρη περιοχήΕργασίες ZLP-1. Η μέγιστη τιμή επιτυγχάνεται στο σημείο. Η λύση στο πρόβλημα είναι μη ακέραιος.

Εικόνα 1.2 Λύση του προβλήματος ZLP-1

3. Ας λύσουμε το πρόβλημα ZLP-2 γραφικά.

ΣΕ σε αυτήν την περίπτωσητο σύνολο των εφικτών λύσεων είναι κενό (Εικόνα 1.2). Το σύστημα των περιορισμών είναι ασυνεπές και το πρόβλημα ZLP-2 μπορεί να αποκλειστεί από περαιτέρω εξέταση.

Εικόνα 1.3 Λύση του προβλήματος ZLP-2

Τώρα ας συνεχίσουμε τη μελέτη μας για το πρόβλημα ZLP-1, αφού η τιμή είναι μη ακέραιος. Ας κάνουμε έναν ακόμη κλάδο εισάγοντας περιορισμούς και. Ως αποτέλεσμα, λαμβάνουμε δύο νέα προβλήματα ZLP-3 και ZLP-4.

Η μέθοδος διακλάδωσης και δέσμευσης προτάθηκε για πρώτη φορά το 1960 στην εργασία των Land and Doig σε σχέση με το πρόβλημα του γραμμικού προγραμματισμού ακέραιων αριθμών. Ωστόσο, αυτή η εργασία δεν είχε σημαντική άμεση επίδραση στην ανάπτυξη διακριτού προγραμματισμού. Στην πραγματικότητα, η «αναγέννηση» της μεθόδου διακλάδωσης και δεσμού συνδέεται με το έργο των Little, Murthy, Sweeney και Carel σχετικά με το πρόβλημα του πλανόδιου πωλητή. Στην ίδια εργασία, προτάθηκε για πρώτη φορά το πλέον γενικά αποδεκτό όνομα της μεθόδου «μέθοδος διακλάδωσης και δέσμευσης». Από αυτή τη στιγμή φαίνεται πολύ μεγάλος αριθμόςεργασίες αφιερωμένες στη μέθοδο διακλάδωσης και δεσίματος και στις διάφορες τροποποιήσεις της. Μια τόσο μεγάλη επιτυχία (και ακόμη και σε σχέση με το «κλασικά δύσκολο» πρόβλημα του ταξιδιωτικού πωλητή) εξηγείται από το γεγονός ότι οι Little, Murthy, Sweeney και Carel ήταν οι πρώτοι που επέστησαν την προσοχή στο εύρος των δυνατοτήτων της μεθόδου υποκατάστημα και δεσμευμένο, παρατήρησαν τη σημασία της χρήσης των ιδιαιτεροτήτων του προβλήματος και οι ίδιοι εκμεταλλεύτηκαν με μεγάλη επιτυχία αυτές τις ιδιαιτερότητες.

Η ενότητα 1 αυτού του κεφαλαίου ορίζει γενική ιδέαμέθοδος διακλάδωσης και δέσμευσης. στην § 2 - ο αλγόριθμος Land and Doig για το ακέραιο πρόβλημα γραμμικού προγραμματισμού, στην § 3 - η μέθοδος του Little και άλλων συγγραφέων για το πρόβλημα του περιοδεύοντος πωλητή.

§ 1. Η ιδέα της μεθόδου διακλάδωσης και δεσμού

1.1. Εξετάστε το πρόβλημα διακριτού προγραμματισμού στην ακόλουθη γενική μορφή.

Ελαττώνω

δεδομένου ότι

Εδώ το G είναι ένα πεπερασμένο σύνολο.

1.2. Η μέθοδος διακλάδωσης και δέσμευσης βασίζεται στις ακόλουθες κατασκευές, οι οποίες σε ορισμένες περιπτώσεις καθιστούν δυνατή τη σημαντική μείωση του μεγέθους της αναζήτησης.

I. Υπολογισμός του κάτω ορίου (εκτίμηση).

Είναι συχνά δυνατό να βρεθεί ένα κατώτερο όριο (εκτίμηση) της αντικειμενικής συνάρτησης σε ένα σύνολο σχεδίων (ή σε κάποιο υποσύνολο αυτού, δηλ. έναν τέτοιο αριθμό που για

(ανάλογα, για την κατάτμηση σε υποσύνολα (διακλάδωση). Η εφαρμογή της μεθόδου σχετίζεται με τη σταδιακή διαίρεση ενός συνόλου σχεδίων σε ένα δέντρο υποσυνόλων (διακλάδωση). Η διακλάδωση γίνεται σύμφωνα με το ακόλουθο σχήμα πολλαπλών βημάτων.

0ο βήμα. Υπάρχει ένα σύνολο κατά κάποιο τρόπο χωρίζεται σε έναν πεπερασμένο αριθμό (συνήθως ασύνδετων) υποσυνόλων. Σύμφωνα με έναν συγκεκριμένο κανόνα (που καθορίζεται παρακάτω), ένα σύνολο επιλέγεται μεταξύ τους και χωρίζεται σε έναν πεπερασμένο αριθμό υποσυνόλων:

Σετ που δεν έχουν χωριστεί ακόμα

επαναπροσδιορίστηκε από

Πολλά στάδια αυτής της διαδικασίας διαδοχικής κατάτμησης απεικονίζονται σχηματικά στο Σχ. 10.1.1.

III. Επανυπολογισμός βαθμών. Αν υπάρχει σετ τότε προφανώς

Επομένως, η διαίρεση ενός συγκεκριμένου συνόλου σε υποσύνολα στη διαδικασία επίλυσης

Σε συγκεκριμένες καταστάσεις είναι συχνά δυνατό να βελτιωθεί η εκτίμηση, δηλαδή να επιτευχθεί τουλάχιστον κάποια αυστηρή ανισότητα

IV. Υπολογισμός σχεδίων. Για συγκεκριμένα καθήκονταμπορεί να καθοριστεί διάφορους τρόπουςεύρεση σχεδίων σε διαδοχικά διακλαδισμένα υποσύνολα. Οποιαδήποτε τέτοια μέθοδος εξαρτάται σημαντικά από τις ιδιαιτερότητες του προβλήματος.

V. Σημάδι βελτιστοποίησης. Αφήνω

και το σχέδιο Χ ανήκει σε κάποιο υποσύνολο Εάν, επιπλέον,

τότε το X είναι το βέλτιστο σχέδιο για το πρόβλημα (1.1) - (1.2).

Η απόδειξη προκύπτει άμεσα από τον ορισμό μιας εκτίμησης.

Συνήθως αυτό το χαρακτηριστικό χρησιμοποιείται σε κάποιο στάδιο της διακλάδωσης (δηλαδή, τυπικά, στο ; βλέπε παράγραφο II).

VI. Εκτίμηση της ακρίβειας μιας κατά προσέγγιση λύσης. Αφήνω

Εάν το Χ είναι κάποιο σχέδιο του αρχικού προβλήματος (δηλ.), τότε

Η απόδειξη εδώ προκύπτει αμέσως από τον ορισμό μιας εκτίμησης.

Προφανώς, εάν η διαφορά είναι μικρή (δηλαδή, δεν υπερβαίνει έναν ορισμένο αριθμό που έχει επιλεγεί για ένα δεδομένο πρόβλημα), τότε το Χ μπορεί να ληφθεί ως κατά προσέγγιση λύση, ως εκτίμηση της ακρίβειας της προσέγγισης.

1.3. Ας περιγράψουμε το επίσημο σχήμα της μεθόδου διακλάδωσης και δέσμευσης.

0ο βήμα. Υπολογίζουμε τη βαθμολογία. Εάν είναι δυνατόν να βρεθεί ένα σχέδιο Χ τέτοιο ώστε

τότε το Χ είναι το βέλτιστο σχέδιο.

Εάν δεν βρεθεί το βέλτιστο σχέδιο, τότε χρησιμοποιώντας κάποια μέθοδο χωρίζουμε το σύνολο σε έναν πεπερασμένο αριθμό υποσυνόλων

και προχωρήστε στο βήμα.

1ο βήμα. Υπολογίστε τις εκτιμήσεις Εάν είναι δυνατόν να βρεθεί ένα σχέδιο Χ τέτοιο ώστε για κάποιους και

τότε το Χ είναι το βέλτιστο σχέδιο.

Εάν δεν βρεθεί το βέλτιστο σχέδιο, τότε επιλέγουμε το "πιο πολλά υποσχόμενο" σύνολο για περαιτέρω κατάτμηση σύμφωνα με τον ακόλουθο κανόνα:

Χωρίζουμε το σύνολο σε πολλά (συνήθως ασύνδετα) υποσύνολα.

γενική περιγραφή

Η γενική ιδέα της μεθόδου μπορεί να περιγραφεί χρησιμοποιώντας το παράδειγμα αναζήτησης για το ελάχιστο μιας συνάρτησης στο σύνολο των επιτρεπόμενων τιμών μιας μεταβλητής. Η συνάρτηση και η μεταβλητή μπορούν να είναι οποιασδήποτε φύσης. Η μέθοδος διακλάδωσης και δέσμευσης απαιτεί δύο διαδικασίες: διακλάδωση και εύρεση εκτιμήσεων (όρια).

Διαδικασία διακλάδωσησυνίσταται στη διαίρεση του συνόλου των επιτρεπόμενων τιμών μιας μεταβλητής σε υποπεριοχές (υποσύνολα) μικρότερων μεγεθών. Η διαδικασία μπορεί να εφαρμοστεί αναδρομικά σε υποπεριοχές. Οι υποπεριοχές που προκύπτουν σχηματίζουν ένα δέντρο που ονομάζεται δέντρο αναζήτησηςή δέντρο κλαδιών και ορίων. Κόμβοιαυτού του δέντρου είναι οι κατασκευασμένες υποπεριοχές (υποσύνολα του συνόλου των μεταβλητών τιμών).

Διαδικασία εύρεση εκτιμήσεωνσυνίσταται στην εύρεση άνω και κάτω ορίων για την επίλυση του προβλήματος στον υποτομέα των επιτρεπόμενων τιμών της μεταβλητής.

Η ιδέα πίσω από τη μέθοδο διακλάδωσης και δέσμευσης είναι: αν συμπέρασμαΟι τιμές συνάρτησης σε μια υποπεριοχή του δέντρου αναζήτησης είναι μεγαλύτερες από το άνω όριο σε οποιαδήποτε υποπεριοχή που προβλήθηκε προηγουμένως, και στη συνέχεια μπορούν να εξαιρεθούν από περαιτέρω εξέταση ( κανόνας εξάλειψης). Συνήθως, το ελάχιστο των λαμβανόμενων ανώτερων εκτιμήσεων εγγράφεται στην καθολική μεταβλητή. οποιοσδήποτε κόμβος στο δέντρο αναζήτησης του οποίου το κάτω όριο είναι μεγαλύτερο από την τιμή μπορεί να αποκλειστεί από περαιτέρω εξέταση.

Εάν το κάτω όριο για έναν κόμβο δέντρου συμπίπτει με το άνω όριο, τότε αυτή η τιμή είναι το ελάχιστο της συνάρτησης και επιτυγχάνεται στον αντίστοιχο υποτομέα.

Εφαρμογή

Η μέθοδος χρησιμοποιείται για την επίλυση ορισμένων προβλημάτων NP-complete, όπως:

δείτε επίσης

Σημειώσεις

Ίδρυμα Wikimedia. 2010.

Δείτε τι είναι το "Branch and Bound Method" σε άλλα λεξικά:

μέθοδος διακλάδωσης και δέσμευσης- - [Ya.N.Luginsky, M.S.Fezi Zhilinskaya, Yu.S.Kabirov. Αγγλο-ρωσικό λεξικό ηλεκτρολογίας και μηχανικής ισχύος, Μόσχα] Θέματα ηλεκτρολογικής μηχανικής, βασικές έννοιες EN κλάδος και μέθοδος δεσμευμένου ... Οδηγός Τεχνικού Μεταφραστή

μέθοδος- μέθοδος: Μέθοδος έμμεσης μέτρησης της περιεκτικότητας σε υγρασία ουσιών, με βάση την εξάρτηση της διηλεκτρικής σταθεράς αυτών των ουσιών από την περιεκτικότητά τους σε υγρασία. Πηγή: RMG 75 2004: κρατικό σύστημαπρομήθεια τροφίμων... Λεξικό-βιβλίο αναφοράς όρων κανονιστικής και τεχνικής τεκμηρίωσης

Η βέλτιστη διαδρομή για έναν ταξιδιώτη πωλητή στις 15 μεγαλύτερες πόλεις της Γερμανίας. Η υποδεικνυόμενη διαδρομή είναι η συντομότερη από όλες τις πιθανές 43.589.145.600 πρόβλημα ταξιδιωτικού πωλητή (TSP) (ταξιδιώτης πωλητής ... Wikipedia

Αυτός ο όρος έχει άλλες έννοιες, βλέπε Overkill. Ολοκληρωμένη αναζήτηση(ή μέθοδος" ωμής βίας", Αγγλικά ωμής βίας) μέθοδος λύσης μαθηματικά προβλήματα. Ανήκει στην κατηγορία των μεθόδων εξεύρεσης λύσης εξαντλώντας όλα τα δυνατά... ... Wikipedia

Παράδειγμα προβλήματος σακιδίου: είναι απαραίτητο να τοποθετήσετε κουτιά σε ένα σακίδιο, με την προϋπόθεση ότι η χωρητικότητα του σακιδίου είναι 15 κιλά, έτσι ώστε η συνολική χρησιμότητα των αντικειμένων στο σακίδιο να είναι μέγιστη. Πρόβλημα σχετικά με ένα σακίδιο (σακίδιο) (Αγγλικά... Wikipedia

Το πρόβλημα του ταξιδιώτη πωλητή (ταξιδιώτης πωλητής) είναι ένα από τα πιο διάσημα προβλήματα συνδυαστικής βελτιστοποίησης. Ο στόχος είναι να βρείτε την πιο κερδοφόρα διαδρομή που περνά μέσα από τις καθορισμένες πόλεις τουλάχιστον μία φορά κάθε... ... Wikipedia

Το πρόβλημα του ταξιδιώτη πωλητή (ταξιδιώτης πωλητής) είναι ένα από τα πιο διάσημα προβλήματα συνδυαστικής βελτιστοποίησης. Ο στόχος είναι να βρείτε την πιο κερδοφόρα διαδρομή που περνά μέσα από τις καθορισμένες πόλεις τουλάχιστον μία φορά κάθε... ... Wikipedia

Το πρόβλημα του ταξιδιώτη πωλητή (ταξιδιώτης πωλητής) είναι ένα από τα πιο διάσημα προβλήματα συνδυαστικής βελτιστοποίησης. Ο στόχος είναι να βρείτε την πιο κερδοφόρα διαδρομή που περνά μέσα από τις καθορισμένες πόλεις τουλάχιστον μία φορά κάθε... ... Wikipedia

Αυτό το άρθρο δεν διαθέτει συνδέσμους προς πηγές πληροφοριών. Οι πληροφορίες πρέπει να είναι επαληθεύσιμες, διαφορετικά ενδέχεται να τεθούν υπό αμφισβήτηση και να διαγραφούν. Μπορείτε να... Wikipedia

Βιβλία

• Ανάπτυξη ενός εργαλείου λογισμικού για την εύρεση του βέλτιστου χαρτοφυλακίου αγορών χονδρικής μιας εμπορικής επιχείρησης, A. V. Mishchenko. Ως μέρος αυτής της εργασίας, αναπτύξαμε εργαλείο λογισμικούνα λύσει το πρόβλημα της εύρεσης ενός βέλτιστου χαρτοφυλακίου αγορών χονδρικής για μια επιχείρηση λιανεμποριο. Σε αυτή την περίπτωση, η μέθοδος των διακλαδώσεων και...