ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ Νο 1

ΕΠΕΚΤΑΣΗ ΣΗΜΑΤΩΝ ΣΕ ΣΕΙΡΑ FOURIER

Σκοπός της εργασίας

Εξοικειωθείτε με παραδείγματα αποσύνθεσης σημάτων σε σειρές Fourier και εφαρμόστε πρακτικά την αποσύνθεση διαφόρων τύπων σημάτων στο σύστημα MatLab.

Διατύπωση του προβλήματος

Εκτελέστε επεκτάσεις σημάτων διαφόρων τύπων σε σειρές Fourier. Τα ακόλουθα σήματα υπόκεινται σε αποσύνθεση: μια ακολουθία ορθογώνιων παλμών, ένα τετράγωνο κύμα, ένα σήμα πριονωτή και μια ακολουθία τριγωνικών παλμών.

Για κάθε επιλογή και κάθε τύπο σήματος καθορίζονται οι ακόλουθες παράμετροι:

για μια ακολουθία ορθογώνιων παλμών – πλάτος, περίοδος επανάληψης και διάρκεια παλμού.

για έναν μαίανδρο, ένα σήμα πριονωτή και μια ακολουθία τριγωνικών παλμών – το πλάτος και η περίοδος επανάληψης των παλμών.

Για όλους τους τύπους σημάτων, καθορίζεται ο αριθμός των μη μηδενικών αρμονικών.

Συνθέστε προγράμματα στο σύστημα MatLab και δημιουργήστε γραφήματα.

Διατύπωση του προβλήματος.

Κωδικός προγράμματος για την αποσύνθεση μιας ακολουθίας ορθογώνιων παλμών, ενός τετραγωνικού κύματος, ενός σήματος πριονιού και μιας ακολουθίας τριγωνικών παλμών.

Τα αποτελέσματα της εκτέλεσης του προγράμματος είναι γραφήματα ενδιάμεσων σταδίων άθροισης.

Κατευθυντήριες γραμμές

Σειρά Fourier

Τα περιοδικά σήματα μπορούν να επεκταθούν σε μια σειρά Fourier. Επιπλέον, παρουσιάζονται ως άθροισμα αρμονικών συναρτήσεων ή μιγαδικών εκθετικών με συχνότητες που σχηματίζουν μια αριθμητική πρόοδο.

Η σειρά Fourier μπορεί να χρησιμοποιηθεί για την αναπαράσταση όχι μόνο περιοδικών σημάτων, αλλά και σημάτων πεπερασμένης διάρκειας. Σε αυτή την περίπτωση, καθορίζεται ένα χρονικό διάστημα για το οποίο κατασκευάζεται η σειρά Fourier και άλλες φορές το σήμα θεωρείται ίσο με μηδέν. Για τον υπολογισμό των συντελεστών μιας σειράς, αυτή η προσέγγιση σημαίνει στην πραγματικότητα περιοδική συνέχιση του σήματος πέρα ​​από τα όρια του εξεταζόμενου διαστήματος.

Ημιτονοειδής-συνημιτονική μορφή

Σε αυτήν την έκδοση, η σειρά Fourier έχει την ακόλουθη μορφή:

Εδώ
– κυκλική συχνότητα που αντιστοιχεί στην περίοδο επανάληψης του σήματος ίση με . Οι συχνότητες που περιλαμβάνονται στον τύπο είναι πολλαπλάσιες του
ονομάζονται αρμονικές, οι αρμονικές αριθμούνται σύμφωνα με τον δείκτη ; συχνότητα
που ονομάζεται -η αρμονική του σήματος. Συντελεστές σειράς Και υπολογίζονται χρησιμοποιώντας τους τύπους:

,

.

Συνεχής υπολογίζεται χρησιμοποιώντας τον γενικό τύπο για . Αυτός ο ίδιος ο όρος αντιπροσωπεύει τη μέση τιμή του σήματος κατά την περίοδο:

.

Αν
είναι μια άρτια συνάρτηση, τότε τα πάντα θα είναι ίσο με μηδέν και μόνο συνημίτονο θα υπάρχουν στον τύπο της σειράς Fourier. Αν
είναι περιττή συνάρτηση, οι συντελεστές συνημιτόνου θα είναι ίσοι με μηδέν, αντίθετα και μόνο οι ημιτονικοί όροι θα παραμείνουν στον τύπο.

ΟΡΘΟΓΩΝΙΑ ΑΚΟΛΟΥΘΙΑ ΠΑΛΜΩΝ

Ακολουθία ορθογώνιων παλμών με πλάτος , διάρκεια και περίοδος επανάληψης .

Ρύζι. 1 Περιοδική ακολουθία ορθογώνιων παλμών

Αυτό το σήμα είναι μια άρτια συνάρτηση, επομένως για να το αναπαραστήσετε είναι πιο βολικό να χρησιμοποιήσετε τη μορφή ημιτόνου-συνημίτονου της σειράς Fourier - θα περιέχει μόνο όρους συνημίτονου , ίσος

.

Ο λόγος της περιόδου προς τη διάρκεια του παλμού ονομάζεται κύκλος λειτουργίας της ακολουθίας παλμώνκαι συμβολίζεται με το γράμμα :
.

Αναπαράσταση μιας ακολουθίας ορθογώνιων παλμών με τη μορφή μιας σειράς Fourier:

.

Τα πλάτη των αρμονικών όρων της σειράς εξαρτώνται από τον αρμονικό αριθμό.

ΕΛΙΣΣΟΜΑΙ

Μια ειδική περίπτωση του προηγούμενου σήματος είναι ελίσσομαι– μια ακολουθία ορθογώνιων παλμών με κύκλο λειτουργίας ίσο με δύο, όταν οι διάρκειες των παλμών και τα διαστήματα μεταξύ τους γίνονται ίσα (Εικ. 2).

Ρύζι. 2 Μαίανδρος

Στο
, παίρνουμε

Εδώ το m είναι ένας αυθαίρετος ακέραιος αριθμός.

Όταν επεκταθεί σε μια σειρά Fourier, ακόμη και εξαρτήματα θα απουσιάζουν.

ΣΗΜΑ ΡΑΜΠΑ

Μέσα στην περίοδο, περιγράφεται από μια γραμμική συνάρτηση:

Ρύζι. 3. Σήμα ράμπας

Αυτό το σήμα είναι μια περιττή συνάρτηση, επομένως η σειρά Fourier σε ημιτονοειδή-συνημιτονική μορφή θα περιέχει μόνο όρους ημιτόνου:

.

Η ίδια η σειρά Fourier για ένα σήμα πριονωτή μοιάζει με αυτό:

ΑΚΟΛΟΥΘΙΑ ΤΡΙΓΩΝΙΩΝ ΠΑΛΜΩΝ

Εικ.4. Τριγωνική ακολουθία παλμών

Το σήμα είναι μια άρτια συνάρτηση, επομένως θα υπάρχουν συνημίτονο.

Ας υπολογίσουμε τους συντελεστές της σειράς Fourier:

Η ίδια η σειρά Fourier έχει την ακόλουθη μορφή:

Όπως μπορείτε να δείτε, σε αντίθεση με τις ακολουθίες ορθογώνιων και πριονωτών παλμών, για ένα τριγωνικό περιοδικό σήμα τα αρμονικά πλάτη μειώνονται ανάλογα με τη δεύτερη δύναμη των αρμονικών αριθμών .

Κωδικός προγράμματος για μαίανδρος

Ν= 8; % αριθμός μη μηδενικών αρμονικών

t= -1:0,01:1; % διάνυσμα χρόνου

A= 1; % εύρος

T= 1; % περίοδος

nh= (1:N)*2-1; % αριθμός μη μηδενικών αρμονικών

αρμονικές = cos(2*pi*nh"*t/T);

Am= 2/pi./nh; % αρμονικού πλάτους

Am(2:2:end) = -Am(2:2:end); % εναλλαγή χαρακτήρων

s1 = αρμονικές .* repmat(Am", 1, μήκος(t));

% χορδές - μερικά αθροίσματα αρμονικών

για k=1:N, υπογραφικό(4, 2, k), plot(t, s2(k,:)), τέλος

R
αποτέλεσμα του προγράμματος

Σχόλια :repmat– δημιουργία μπλοκ μήτρας ή πολυδιάστατης συστοιχίας μπλοκ από πανομοιότυπα μπλοκ repmat(Am", 1,length(t)) - ο πίνακας αποτελείται από 1 μπλοκ κατακόρυφα και μπλοκ μήκους(t) οριζόντια, κάθε μπλοκ είναι ένας πίνακας Am".

Cumsum– υπολογισμός μερικών αθροισμάτων στοιχείων.

Υποπλοκή (Σειρές, Cols, Ν) – εντολή για εμφάνιση πολλαπλών γραφημάτων. Το παράθυρο γραφικών χωρίζεται σε κελιά με τη μορφή μήτρας με Σειρές– γραμμές, Cols– στήλες και Ν– το κελί γίνεται ρεύμα.

Επιλογές

№ επιλογή	Παράμετροι για σήματα
	–πλάτος σήματος	–περίοδος επανάληψης σήματος	–διάρκεια σήματος	–αριθμός μη μηδενικών αρμονικών

5. Γραμμικά ηλεκτρικά κυκλώματα στον τρόπο περιοδικών μη αρμονικών επιδράσεων. Θεωρία ηλεκτρικού κυκλώματος

5. Γραμμικά ηλεκτρικά κυκλώματα στον τρόπο περιοδικών μη αρμονικών επιδράσεων

5.1. Μη αρμονικά περιοδικά σήματα

Κατά τη μετάδοση πληροφοριών μέσω καναλιών επικοινωνίας κατά τη διαδικασία μετατροπής σήματος σε διάφορες συσκευές, κατά κανόνα χρησιμοποιούνται μη αρμονικές ταλαντώσεις, καθώς οι καθαρά αρμονικές ταλαντώσεις δεν μπορούν να είναι φορείς πληροφοριών. Για τη μετάδοση μηνυμάτων, διαμορφώνουν μια αρμονική ταλάντωση σε διαμόρφωση πλάτους - πλάτους (AM), διαμόρφωση συχνότητας - συχνότητας (FM) ή διαμόρφωση φάσης - φάσης (PM), ή χρησιμοποιούν παλμικά σήματα διαμορφωμένα σε διαμόρφωση πλάτους - διαμόρφωσης πλάτους παλμού (PAM), πλάτος – διαμόρφωση πλάτους παλμού (PWM), θέση ώρας – διαμόρφωση παλμού χρόνου (TPM). Υπάρχουν άλλα, πιο πολύπλοκα σήματα που παράγονται σύμφωνα με ειδικούς νόμους. Ένα ιδιαίτερο χαρακτηριστικό αυτών των σημάτων είναι ο πολύπλοκος μη αρμονικός τους χαρακτήρας. Τα ρεύματα και οι τάσεις που παράγονται σε διάφορες παλμικές και ψηφιακές συσκευές έχουν μη ημιτονοειδή μορφή (19. Διακριτά σήματα και κυκλώματα), τα αρμονικά σήματα που διέρχονται από διάφορες μη γραμμικές συσκευές αποκτούν μη ημιτονοειδή φύση (11. Μη γραμμικά ηλεκτρικά κυκλώματα υπό αρμονικές επιδράσεις) κ.λπ. Όλα αυτά οδηγούν στην ανάγκη ανάπτυξης ειδικών μεθόδων για την ανάλυση και τη σύνθεση ηλεκτρικών κυκλωμάτων υπό την επίδραση περιοδικών μη ημιτονικών και μη περιοδικών ρευμάτων και τάσεων. Αυτές οι μέθοδοι βασίζονται σε φασματικές αναπαραστάσεις μη ημιτονοειδών επιρροών, με βάση την επέκταση σε μια σειρά ή ολοκλήρωμα Fourier.

Από τη μαθηματική ανάλυση είναι γνωστό ότι η περιοδική μη αρμονική συνάρτηση f(t), ικανοποιώντας τις συνθήκες Dirichlet, μπορεί να επεκταθεί σε μια σειρά Fourier:
(5.1)
Οπου ένα κ,b k -συντελεστές διαστολής που καθορίζονται από τις εξισώσεις
(5.2)

Μέγεθος αντιπροσωπεύει τη μέση τιμή της συνάρτησης κατά τη διάρκεια της περιόδου f(t)και ονομάζεται σταθερή συνιστώσα.

Στις θεωρητικές μελέτες, αντί για τον τύπο (5.1), συνήθως χρησιμοποιούν έναν άλλο που βασίζεται στην αντικατάσταση της ανεξάρτητης μεταβλητής:
(5.3)
Οπου
(5.4)

Η εξίσωση (5.3) είναι η τριγωνομετρική μορφή της σειράς Fourier. Κατά την ανάλυση κυκλωμάτων, είναι συχνά πιο βολικό να χρησιμοποιείται η σύνθετη μορφή της σειράς Fourier, η οποία μπορεί να ληφθεί από το (5.3) χρησιμοποιώντας τους τύπους του Euler:
(5.5)

Αντικαθιστώντας το (5.5) στην εξίσωση (5.3), μετά από απλούς μετασχηματισμούς παίρνουμε τη μιγαδική μορφή της σειράς Fourier:
(5.6)
Οπου ΕΝΑκ-σύνθετο πλάτος κου αρμονικές:
(5.7)
Οπου - εύρος; - αρχική φάση κου αρμονικές.

Αντικατάσταση των τιμών ένα κΚαι β καπό (5.4) έως (5.7), λαμβάνουμε:
(5.8)

Σετ πλάτους 0,5 Ένα κ = 0,5ΕΝΑ –κστην επέκταση (5.6), που απεικονίζεται με τις αντίστοιχες θετικές και αρνητικές συχνότητες, σχηματίζει συμμετρικά ως προς τον άξονα συντεταγμένων (λόγω της ισοτιμίας των συντελεστών και κ) φάσμα πλάτους γραμμής.

Σύνολο τεταγμένων κ = – –καπό το (5.7), που περιλαμβάνεται στην επέκταση (5.6) και απεικονίζεται με τις αντίστοιχες θετικές και αρνητικές συχνότητες, σχηματίζει μια συμμετρική σε σχέση με την αρχή του άξονα συντεταγμένων (λόγω της περιττότητας των συντελεστών β κ)φάσμα φάσης γραμμής.

Η επέκταση (5.3) μπορεί να παρουσιαστεί με άλλη μορφή. Λαμβάνοντας υπ 'όψιν ότι και κ = Ένα κ cos κΚαι β κ= Ένα καμαρτία κ, τότε μετά την αντικατάσταση στο (5.3) παίρνουμε:
(5.9)

Αν θεωρήσουμε τη σταθερή συνιστώσα a 0/2 ως μηδενική αρμονική με αρχική φάση 0 = 0, τότε η διαστολή (5.9) θα πάρει τη μορφή
(5.10)

Στην ειδική περίπτωση που η συνάρτηση φά(α) συμμετρικό ως προς τον άξονα τεταγμένων (Εικ. 5.1, ΕΝΑ), η επέκταση (5.3) θα περιέχει μόνο άρτιες (συνημίτονο) αρμονικές:

(5.11)

και με συμμετρία φά(α) σε σχέση με την προέλευση (Εικ. 5.1, σι) περιττές αρμονικές
(5.12)

Κατά τη μετατόπιση της αρχής της συνάρτησης φά(α) το φάσμα πλάτους του δεν αλλάζει, αλλά αλλάζει μόνο το φάσμα των φάσεων. Πράγματι, ας αλλάξουμε τη λειτουργία φά(α) κατά μήκος του άξονα του χρόνου προς τα αριστερά t 0 και δηλώνουν .

Στη συνέχεια, η επέκταση (5.9) θα λάβει τη μορφή
(5.13)

Παράδειγμα.Επεκτείνετε τις ορθογώνιες δονήσεις σε μια σειρά Fourier (Εικ. 5.1, σι). Λαμβάνοντας υπ 'όψιν ότι φά(α) είναι συμμετρικό ως προς την αρχή των συντεταγμένων στην επέκταση (5.3) θα παραμείνουν μόνο ημιτονικές αρμονικές (5.12), όπου β κθα καθοριστεί σύμφωνα με το (5.4):

Αντικατάσταση β κστην (5.12), λαμβάνουμε την επέκταση της σειράς Fourier:
(5.14)

Στη συνέχεια κινούμαστε φά(α) p/2 προς τα αριστερά (βλ. Εικ. 5.1, ΕΝΑ). Τότε σύμφωνα με το (5.13) παίρνουμε

(5.15)

Δηλαδή, λάβαμε μια διαστολή σε συνημιτονικές συνιστώσες όπως θα έπρεπε για ένα σήμα συμμετρικό ως προς τον άξονα τεταγμένων.

Σε ορισμένες περιπτώσεις, όταν μια περιοδική συνάρτηση φά(α) δίνεται γραφικά και έχει πολύπλοκη μορφή, η επέκτασή του σε σειρά Fourier μπορεί να πραγματοποιηθεί χρησιμοποιώντας μια γραφική-αναλυτική μέθοδο. Η ουσία του είναι ότι η περίοδος σήματος Τ(Εικ. 5.2) χωρίζονται σε Μδιαστήματα ίσα με , και τα σημεία διακοπής φάα) δεν πρέπει να πέφτει στη μέση των διαχωριστικών περιοχών· καθορίστε την τιμή του σήματος φά(ένα n) στη μέση κάθε τμήματος διαμερίσματος.

Βρείτε συντελεστές διαστολής και κΚαι β καντικαθιστώντας το ολοκλήρωμα της (5.2) με ένα πεπερασμένο άθροισμα
(5.16)

Η εξίσωση (5.16) είναι εύκολο να προγραμματιστεί κατά τον υπολογισμό και κΚαι β κ, μπορεί να χρησιμοποιηθεί από υπολογιστή.

5.2. RMS, μέση τιμή και ισχύς περιοδικού μη αρμονικού σήματος

Για βεβαιότητα, ας το υποθέσουμε φά(t) έχει την έννοια του ρεύματος Εγώ(t). Στη συνέχεια, η πραγματική τιμή του περιοδικού μη αρμονικού ρεύματος προσδιορίζεται σύμφωνα με το (3.5), όπου Εγώ(t) προσδιορίζεται από την εξίσωση (5.10):
(5.17)

Αντικαθιστώντας αυτήν την τρέχουσα τιμή σε (3.5), μετά την ολοκλήρωση λαμβάνουμε
(5.18)

δηλαδή την πραγματική τιμή του περιοδικού μη αρμονικού ρεύματος Εγώκαθορίζεται πλήρως από τις αποτελεσματικές τιμές των αρμονικών του Ικκαι δεν εξαρτάται από τις αρχικές τους φάσεις κ.

Ομοίως, βρίσκουμε την πραγματική τιμή της περιοδικής μη ημιτονοειδής τάσης:
(5.19)

Η μέση τιμή ρεύματος προσδιορίζεται σύμφωνα με τη γενική έκφραση (3.9). Επιπλέον, συνήθως λαμβάνουν τη μέση τιμή Εγώ(t) σε απόλυτη τιμή
(5.20)

Ορίζεται ομοίως Uπρβλ(2) .

Από την άποψη της θεωρίας του κυκλώματος, η μέση ενεργός ισχύς ενός μη αρμονικού σήματος και η κατανομή του μεταξύ των επιμέρους αρμονικών παρουσιάζουν μεγάλο ενδιαφέρον.

Μέση ενεργή ισχύς περιοδικού μη ημιτονοειδούς σήματος
(5.21)
Οπου
(5.22)

κ- μετατόπιση φάσης μεταξύ ρεύματος και τάσης κου αρμονικές.

Τιμές αντικατάστασης Εγώ(t) Και u(t) από το (5.22) στην εξίσωση (5.21), μετά την ολοκλήρωση παίρνουμε:
(5.23)
Δηλαδή, η μέση ενεργή ισχύς ενός περιοδικού μη αρμονικού σήματος σε μια περίοδο είναι ίση με το άθροισμα των δυνάμεων των μεμονωμένων αρμονικών. Ο τύπος (5.23) είναι μια από τις μορφές του ευρέως γνωστού Η ισότητα του Πάρσεβαλ.

Ομοίως, βρίσκουμε άεργο ισχύ
(5.24)
και πλήρη ισχύ
(5.25)

Πρέπει να τονιστεί ότι, σε αντίθεση με τα αρμονικά σήματα, για τα μη αρμονικά σήματα
(5.26)

Μέγεθος Παξίωση = λέγεται δύναμη παραμόρφωσηςκαι χαρακτηρίζει το βαθμό διαφοράς στις τρέχουσες μορφές Εγώ(t) και τάση u(t).

Εκτός από τη δύναμη παραμόρφωσης, τα περιοδικά μη αρμονικά σήματα χαρακτηρίζονται από μια σειρά άλλων χαρακτηριστικών: συντελεστές:ισχύς, k m = P/S; μορφές K f = U/U cf(2) ; πλάτη K a = U m /U; παραμόρφωση k και = U 1 /U; αρμονικές κ g = και τα λοιπά.

Για ημιτονοειδές σήμα κ f = /21.11; κ a = 1,41; κ u = 1; κ r = 0.

5.3. Φάσματα περιοδικών μη αρμονικών σημάτων

Εξετάστε την ακολουθία ορθογώνιων παλμών που φαίνεται στο Σχ. 5.3, ΕΝΑ. Τα σήματα αυτής της μορφής χρησιμοποιούνται ευρέως στη ραδιομηχανική και στις τηλεπικοινωνίες: τηλεγραφία, συστήματα ψηφιακής μετάδοσης, συστήματα επικοινωνίας πολλαπλών καναλιών με διαίρεση χρόνου, διάφορες παλμικές και ψηφιακές συσκευές κ.λπ. (βλ. Κεφάλαιο 19). Η ακολουθία παλμών χαρακτηρίζεται από τις ακόλουθες κύριες παραμέτρους: πλάτος παλμού ΕΝΑκαι και μπορεί να έχει την έννοια και της τάσης και του ρεύματος.">, η διάρκειά του tκαι την επόμενη περίοδο Τ. Αναλογία περιόδου Τσε διάρκεια tκαι λέγεται κύκλος λειτουργίας παλμώνκαι συμβολίζεται με q = T/t και. Συνήθως, οι τιμές του κύκλου λειτουργίας παλμού κυμαίνονται από πολλές μονάδες (στην τεχνολογία μέτρησης, διακριτές συσκευές μετάδοσης και επεξεργασίας πληροφοριών) έως αρκετές εκατοντάδες ή χιλιάδες (σε ραντάρ).

Για να βρούμε το φάσμα μιας ακολουθίας ορθογώνιων παλμών, χρησιμοποιούμε τη σειρά Fourier σε μιγαδική μορφή (5.6). Πολύπλοκο πλάτος κη ου αρμονική είναι ίση σύμφωνα με το (5.8) μετά την επιστροφή στην αρχική μεταβλητή t.

(5.27)

Αντικατάσταση της τιμής ΕΝΑκστην εξίσωση (5.6), λαμβάνουμε την επέκταση της σειράς Fourier:
(5.28)

Στο Σχ. Το 5.4 δείχνει το φάσμα των μιγαδικών πλατών για q= 2 και q= 4. Όπως φαίνεται από το σχήμα, το φάσμα μιας ακολουθίας ορθογώνιων παλμών είναι ένα διακριτό φάσμα με ένα φάκελο (διακεκομμένη γραμμή στο Σχ. 5.4), το οποίο περιγράφεται από τη συνάρτηση
(5.29)
ονομάζεται συνάρτηση δειγματοληψίας (βλ. Κεφάλαιο 19). Ο αριθμός των φασματικών γραμμών μεταξύ του σημείου αναφοράς κατά μήκος του άξονα συχνότητας και του πρώτου μηδενός του περιβλήματος είναι ίσος με q- 1. Συνιστώσα DC του σήματος (μέση τιμή) και την αποτελεσματική αξία ΕΝΑ= , δηλ. Όσο υψηλότερος είναι ο κύκλος λειτουργίας, τόσο χαμηλότερο είναι το επίπεδο της συνιστώσας DC και η πραγματική τιμή του σήματος. Με την αύξηση του κύκλου εργασίας qο αριθμός των διακριτών στοιχείων αυξάνεται - το φάσμα γίνεται πιο πυκνό (βλ. Εικ. 5.4, σι), και το αρμονικό πλάτος μειώνεται πιο αργά. Πρέπει να τονιστεί ότι, σύμφωνα με το (5.27), το φάσμα της εξεταζόμενης ακολουθίας ορθογώνιων παλμών είναι πραγματικό.

Από το φάσμα των μιγαδικών πλατών (5.27) μπορούμε να διακρίνουμε το πλάτος Ένα κ = |ΕΝΑκ| και φάσμα φάσης κ= αργ ΕΝΑκ, φαίνεται στο Σχ. 5,5 για θήκη q= 4. Από τα σχήματα είναι σαφές ότι το φάσμα πλάτους είναι άρτιο και το φάσμα φάσης είναι περιττή συνάρτηση συχνότητας. Επιπλέον, οι φάσεις των μεμονωμένων αρμονικών λαμβάνουν είτε μηδενική τιμή μεταξύ των κόμβων, όπου το ημίτονο είναι θετικό, είτε ±, όπου το ημίτονο είναι αρνητικό (Εικ. 5.5, σι)

Με βάση τον τύπο (5.28), λαμβάνουμε την τριγωνομετρική μορφή της επέκτασης της σειράς Fourier σε ζυγές αρμονικές (συγκρίνετε με (5.15)):
(5.30)

Όταν η ακολουθία παλμών μετατοπίζεται κατά μήκος του άξονα του χρόνου (Εικ. 5.2, σι) σύμφωνα με το (5.13), το φάσμα πλάτους του θα παραμείνει το ίδιο, αλλά το φάσμα φάσεων του θα αλλάξει:
(5.31)

Στην περίπτωση που η περιοδική ακολουθία έχει διαφορετικό σχήμα πολικότητας (βλ. Εικ. 5.1), δεν θα υπάρχει σταθερή συνιστώσα στο φάσμα (συγκρίνετε (5.30) και (5.31) με (5.14) και (5.15)).

Με παρόμοιο τρόπο, μπορείτε να μελετήσετε τη φασματική σύνθεση περιοδικών μη αρμονικών σημάτων διαφορετικού σχήματος. Ο Πίνακας 5.1 δείχνει την επέκταση της σειράς Fourier μερικών από τα πιο κοινά σήματα.

Πίνακας 5.1

	Τύποι σημάτων	Επέκταση της σειράς Fourier
1
2
3
4
5
6

5.4. Υπολογισμός κυκλωμάτων υπό περιοδικές μη αρμονικές επιδράσεις

Ο υπολογισμός των γραμμικών ηλεκτρικών κυκλωμάτων υπό την επίδραση περιοδικών μη αρμονικών σημάτων βασίζεται στην αρχή της υπέρθεσης. Η ουσία του, όπως εφαρμόζεται σε μη αρμονικές επιρροές, είναι να επεκτείνει ένα μη αρμονικό περιοδικό σήμα σε μία από τις μορφές της σειράς Fourier (βλ. 5.1. Μη αρμονικά περιοδικά σήματα. Επέκταση σειράς Fourier) και να προσδιορίσει την απόκριση του κυκλώματος από κάθε αρμονική χωριστά. Η προκύπτουσα αντίδραση βρίσκεται με υπέρθεση (επιβολή) των μερικών αντιδράσεων που προκύπτουν. Έτσι, ο υπολογισμός των κυκλωμάτων υπό περιοδικές μη αρμονικές επιρροές περιλαμβάνει το έργο της ανάλυσης της φασματικής σύνθεσης του σήματος (η επέκτασή του σε σειρά Fourier), τον υπολογισμό του κυκλώματος από κάθε αρμονική συνιστώσα και το έργο της σύνθεσης, ως αποτέλεσμα του οποίου το προκύπτον σήμα εξόδου προσδιορίζεται ως συνάρτηση του χρόνου (συχνότητα) ή του ενεργού του (τιμή πλάτους).

Κατά την επίλυση ενός προβλήματος ανάλυσης, συνήθως χρησιμοποιούν την τριγωνομετρική (5.3) ή σύνθετη (5.6) μορφή της σειράς Fourier με περιορισμένο αριθμό όρων επέκτασης, γεγονός που οδηγεί σε κάποιο σφάλμα στην προσέγγιση του αληθινού σήματος. Συντελεστές διαστολής ένα κΚαι β κστο (5.3) ή Ένα κΚαι κστο (5.6) προσδιορίζονται χρησιμοποιώντας τις εξισώσεις (5.4), (5.7) και (5.8). Σε αυτή την περίπτωση, το σήμα εισόδου φά(α) πρέπει να δίνεται αναλυτικά. Εάν το σήμα καθορίζεται γραφικά, για παράδειγμα με τη μορφή παλμογράφου, τότε για να βρείτε τους συντελεστές διαστολής ένα κΚαι β κμπορείτε να χρησιμοποιήσετε τη γραφική-αναλυτική μέθοδο (βλ. (5.16)).

Οι υπολογισμοί κυκλωμάτων από μεμονωμένες αρμονικές συνήθως πραγματοποιούνται χρησιμοποιώντας μια συμβολική μέθοδο. Πρέπει όμως να ληφθεί υπόψη ότι κου αρμονική επαγωγική αντίδραση X L(κ) = kL, και χωρητικότητα X Γ(κ) = 1/(kС), δηλαδή στις κη αρμονική επαγωγική αντίδραση σε κφορές περισσότερο και χωρητικό μέσα κφορές λιγότερο από την πρώτη αρμονική. Αυτό, ειδικότερα, εξηγεί το γεγονός ότι οι υψηλές αρμονικές είναι πιο έντονες σε χωρητικότητα και λιγότερο έντονες στην επαγωγή από ό,τι στην τάση που εφαρμόζεται σε αυτές. Ενεργητική αντίσταση Rσε χαμηλές και μεσαίες συχνότητες μπορεί να θεωρηθεί ανεξάρτητα από τη συχνότητα.

Μετά τον προσδιορισμό των απαιτούμενων ρευμάτων και τάσεων από μεμονωμένες αρμονικές, η προκύπτουσα απόκριση του κυκλώματος σε μια μη αρμονική περιοδική επίδραση βρίσκεται με τη μέθοδο της υπέρθεσης. Σε αυτήν την περίπτωση, είτε η στιγμιαία τιμή του προκύπτοντος σήματος προσδιορίζεται με βάση τον υπολογισμό των πλατών και των φάσεων των μεμονωμένων αρμονικών, είτε το πλάτος ή τις ενεργές τιμές του σύμφωνα με τις εξισώσεις (5.18), (5.19). Κατά τον προσδιορισμό της προκύπτουσας αντίδρασης, πρέπει να θυμόμαστε ότι, σύμφωνα με την αναπαράσταση περιοδικών μη αρμονικών ταλαντώσεων στο μιγαδικό επίπεδο, τα διανύσματα διαφόρων αρμονικών περιστρέφονται με διαφορετικές γωνιακές συχνότητες.

Παράδειγμα.Στο κύκλωμα που φαίνεται στο Σχ. 5.6, εφαρμοζόμενη τάση u(t) με τη μορφή ορθογώνιων παλμών με περίοδο επανάληψης Τ= 2tκαι και πλάτος ΕΝΑκαι = 1V (βλ. Εικ. 5.3, σι). Προσδιορίστε τις στιγμιαίες και ενεργές τιμές τάσης σε όλη την χωρητικότητα.

Η επέκταση αυτής της τάσης σε μια σειρά Fourier προσδιορίζεται από τον τύπο (5.31). Ας περιοριστούμε στους τρεις πρώτους όρους διαστολής (5.31): η kth αρμονική είναι η κατάσταση ενός ηλεκτρικού κυκλώματος που αποτελείται από διαφορετικά ενεργά στοιχεία στο οποίο η μετατόπιση φάσης μεταξύ του ρεύματος εισόδου και της εφαρμοζόμενης τάσης κ-Χ αρμονικές είναι μηδέν. Το φαινόμενο του συντονισμού μπορεί να χρησιμοποιηθεί για την απομόνωση μεμονωμένων αρμονικών από ένα περιοδικό μη ημιτονικό σήμα. Πρέπει να τονιστεί ότι ένα κύκλωμα μπορεί ταυτόχρονα να επιτύχει συντονισμό ρεύματος σε μια συχνότητα και συντονισμό τάσης σε άλλη.

Παράδειγμα.Για το κύκλωμα που φαίνεται στο Σχ. 5.7, για ένα δεδομένο 1, μεγάλο 1 εύρεση τιμής ντο 1 και ντο 2, στο οποίο ο συντονισμός τάσης εμφανίζεται ταυτόχρονα στην 1η αρμονική και ο συντονισμός ρεύματος στην 5η αρμονική.

Από την συνθήκη του συντονισμού τάσης, βρίσκουμε ότι η αντίδραση εισόδου του κυκλώματος στην πρώτη αρμονική πρέπει να είναι μηδέν:
(5.32)

και στο πέμπτο - άπειρο (η αντίδραση εισόδου στην πέμπτη αρμονική πρέπει να είναι μηδέν):
(5.33)

Από τις συνθήκες (5.32) και (5.33) βρίσκουμε την επιθυμητή τιμή των χωρητικοτήτων:

ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ Νο 1

ΕΠΕΚΤΑΣΗ ΣΗΜΑΤΩΝ ΣΕ ΣΕΙΡΑ FOURIER

Σκοπός της εργασίας

Εξοικειωθείτε με παραδείγματα αποσύνθεσης σημάτων σε μια σειρά Fourier και εφαρμόστε πρακτικά την αποσύνθεση διαφόρων τύπων σημάτων στο σύστημα MatLab.

Διατύπωση του προβλήματος

Εκτελέστε επεκτάσεις σημάτων διαφόρων τύπων σε σειρές Fourier. Τα ακόλουθα σήματα υπόκεινται σε αποσύνθεση: μια ακολουθία ορθογώνιων παλμών, ένα τετράγωνο κύμα, ένα σήμα πριονωτή και μια ακολουθία τριγωνικών παλμών.

Για κάθε επιλογή και κάθε τύπο σήματος καθορίζονται οι ακόλουθες παράμετροι:

για μια ακολουθία ορθογώνιων παλμών – πλάτος, περίοδος επανάληψης και διάρκεια παλμού.

για έναν μαίανδρο, ένα σήμα πριονωτή και μια ακολουθία τριγωνικών παλμών – το πλάτος και η περίοδος επανάληψης των παλμών.

Για όλους τους τύπους σημάτων, καθορίζεται ο αριθμός των μη μηδενικών αρμονικών.

Συνθέστε προγράμματα στο MatLab και δημιουργήστε γραφήματα.

Κατευθυντήριες γραμμές

Σειρά Fourier

Τα περιοδικά σήματα μπορούν να επεκταθούν σε μια σειρά Fourier. Επιπλέον, παρουσιάζονται ως άθροισμα αρμονικών συναρτήσεων ή μιγαδικών εκθετικών με συχνότητες που σχηματίζουν μια αριθμητική πρόοδο.

Η σειρά Fourier μπορεί να χρησιμοποιηθεί για την αναπαράσταση όχι μόνο περιοδικών σημάτων, αλλά και σημάτων πεπερασμένης διάρκειας. Σε αυτή την περίπτωση, καθορίζεται ένα χρονικό διάστημα για το οποίο κατασκευάζεται η σειρά Fourier και άλλες φορές το σήμα θεωρείται ίσο με μηδέν. Για τον υπολογισμό των συντελεστών μιας σειράς, αυτή η προσέγγιση σημαίνει στην πραγματικότητα περιοδική συνέχιση του σήματος πέρα ​​από τα όρια του εξεταζόμενου διαστήματος.

Ημιτονοειδής-συνημιτονική μορφή

Σε αυτήν την έκδοση, η σειρά Fourier έχει την ακόλουθη μορφή:

Εδώ
– κυκλική συχνότητα που αντιστοιχεί στην περίοδο επανάληψης του σήματος ίση με . Οι συχνότητες που περιλαμβάνονται στον τύπο είναι πολλαπλάσιες του
ονομάζονται αρμονικές, οι αρμονικές αριθμούνται σύμφωνα με τον δείκτη ; συχνότητα
ονομάζεται η αρμονική του σήματος. Συντελεστές σειράς Και υπολογίζονται χρησιμοποιώντας τους τύπους:

,

.

Συνεχής υπολογίζεται χρησιμοποιώντας τον γενικό τύπο για . Αυτός ο ίδιος ο όρος αντιπροσωπεύει τη μέση τιμή του σήματος κατά τη διάρκεια της περιόδου:

.
Αν
είναι άρτια συνάρτηση, τότε όλα θα είναι ίσα με μηδέν και μόνο συνημίτονο θα υπάρχουν στον τύπο της σειράς Fourier. Αν είναι περιττή συνάρτηση, τότε, αντίθετα, οι συντελεστές συνημιτόνου θα είναι ίσοι με μηδέν και μόνο οι ημιτονοειδείς όροι θα παραμείνουν στον τύπο.

ΟΡΘΟΓΩΝΙΑ ΑΚΟΛΟΥΘΙΑ ΠΑΛΜΩΝ

Ακολουθία ορθογώνιων παλμών με πλάτος , διάρκεια και περίοδος επανάληψης.

Ρύζι. 1 Περιοδική ακολουθία ορθογώνιων παλμών
Αυτό το σήμα είναι μια άρτια συνάρτηση, επομένως, για να το αναπαραστήσετε είναι πιο βολικό να χρησιμοποιήσετε τη μορφή ημιτόνου-συνημίτονου της σειράς Fourier - θα περιέχει μόνο όρους συνημιτόνου ίσους με

.

Ο λόγος της περιόδου προς τη διάρκεια του παλμού ονομάζεται κύκλος λειτουργίας της ακολουθίας παλμώνκαι συμβολίζεται με το γράμμα :
.

Αναπαράσταση μιας ακολουθίας ορθογώνιων παλμών με τη μορφή μιας σειράς Fourier:

.

Τα πλάτη των αρμονικών όρων της σειράς εξαρτώνται από τον αρμονικό αριθμό.

ΕΛΙΣΣΟΜΑΙ

Μια ειδική περίπτωση του προηγούμενου σήματος είναι ελίσσομαι– μια ακολουθία ορθογώνιων παλμών με κύκλο λειτουργίας ίσο με δύο, όταν οι διάρκειες των παλμών και τα διαστήματα μεταξύ τους γίνονται ίσα (Εικ. 2).

Ρύζι. 2 Μαίανδρος

Στο
, παίρνουμε

Εδώ το m είναι ένας αυθαίρετος ακέραιος αριθμός.

Όταν επεκταθεί σε μια σειρά Fourier, ακόμη και εξαρτήματα θα απουσιάζουν.

ΣΗΜΑ ΡΑΜΠΑ

Μέσα στην περίοδο, περιγράφεται από μια γραμμική συνάρτηση:

Ρύζι. 3. Σήμα ράμπας
Αυτό το σήμα είναι μια περιττή συνάρτηση, επομένως η σειρά Fourier σε ημιτονοειδή-συνημιτονική μορφή θα περιέχει μόνο όρους ημιτόνου:

.

Η ίδια η σειρά Fourier για ένα σήμα πριονωτή μοιάζει με αυτό:

ΑΚΟΛΟΥΘΙΑ ΤΡΙΓΩΝΙΩΝ ΠΑΛΜΩΝ

Εικ.4. Τριγωνική ακολουθία παλμών
Το σήμα είναι μια άρτια συνάρτηση, επομένως θα υπάρχουν συνημίτονο.

Ας υπολογίσουμε τους συντελεστές της σειράς Fourier:

Η ίδια η σειρά Fourier έχει την ακόλουθη μορφή:

Όπως μπορείτε να δείτε, σε αντίθεση με τις ακολουθίες ορθογώνιων και πριονωτών παλμών, για ένα τριγωνικό περιοδικό σήμα τα πλάτη των αρμονικών μειώνονται ανάλογα με τη δεύτερη ισχύ των αρμονικών αριθμών.

Κωδικός προγράμματος για μαίανδρος

Ν = 8; % αριθμός μη μηδενικών αρμονικών

t = -1:0,01:1; % διάνυσμα χρόνου

A = 1; % εύρος

αρμονικές = cos(2*pi*nh"*t/T);

Am = 2/pi./nh; % αρμονικό πλάτος

Am(2:2:end) = -Am(2:2:end); % εναλλαγή χαρακτήρων

s1 = αρμονικές .* repmat(Am", 1, μήκος(t));

% χορδές - μερικά αθροίσματα αρμονικών

s2 = cumsum(s1);

για k=1:N, υπογραφικό(4, 2, k), plot(t, s2(k,:)), τέλος

R
αποτέλεσμα του προγράμματος

Σχόλια : repmat– δημιουργία μπλοκ μήτρας ή πολυδιάστατης συστοιχίας μπλοκ από πανομοιότυπα μπλοκ. repmat(Am", 1, μήκος(t)) – ο πίνακας αποτελείται από 1 μπλοκ κάθετα και μπλοκ μήκους(t) οριζόντια, κάθε μπλοκ είναι ένας πίνακας Am".

Cumsum– υπολογισμός μερικών αθροισμάτων στοιχείων.

Υποπλοκή (Σειρές, Cols, Ν) – εντολή για εμφάνιση πολλαπλών γραφημάτων. Το παράθυρο γραφικών χωρίζεται σε κελιά με τη μορφή μήτρας με Σειρές– γραμμές, Cols– στήλες και Ν– το κελί γίνεται ρεύμα.

Επιλογές

№ επιλογή	Παράμετροι για σήματα
	– πλάτος σήματος	– περίοδος επανάληψης σήματος	– διάρκεια σήματος	– αριθμός μη μηδενικών αρμονικών
1	7	3	2	10
2	5	4	3	12
3	4	5	4	14
4	3	6	5	16
5	2	8	6	18
6	5	3	2	14
7	4	4	3	16
8	3	5	4	18
9	2	6	5	10
10	7	8	6	12
11	4	4	3	18
12	3	5	4	10
13	2	6	5	12
14	7	8	6	14
15	5	3	2	16
16	7	3	2	12
17	5	4	3	14
18	4	5	4	16
19	3	6	5	18
20	2	8	6	10
21	5	3	2	16
22	4	4	3	18
23	3	5	4	10
24	2	6	5	12
25	7	8	6	14
26	4	4	3	10
27	3	5	4	12
28	2	6	5	14
29	7	8	6	16
30	5	3	2	18

Τα περιοδικά σήματα μπορούν να επεκταθούν σε μια σειρά Fourier. Επιπλέον, παρουσιάζονται ως άθροισμα αρμονικών συναρτήσεων ή σύνθετων εκθετικών με συχνότητες που σχηματίζουν μια αριθμητική πρόοδο. Για να υπάρξει μια τέτοια αποσύνθεση, ένα θραύσμα σήματος διάρκειας μιας περιόδου πρέπει να ικανοποιεί τις συνθήκες Dirichlet:

1. Δεν πρέπει να υπάρχουν ασυνέχειες δεύτερου είδους (με κλάδους της συνάρτησης να πηγαίνουν στο άπειρο).

2. Ο αριθμός των ασυνεχειών του πρώτου είδους (άλματα) πρέπει να είναι πεπερασμένος.

Ο αριθμός των ακραίων πρέπει να είναι πεπερασμένος.

Η σειρά Fourier μπορεί να χρησιμοποιηθεί για την αναπαράσταση όχι μόνο περιοδικών σημάτων, αλλά και σημάτων πεπερασμένης διάρκειας. Σε αυτή την περίπτωση, καθορίζεται ένα χρονικό διάστημα για το οποίο κατασκευάζεται η σειρά Fourier και άλλες φορές το σήμα θεωρείται ίσο με μηδέν. Για τον υπολογισμό των συντελεστών μιας σειράς, αυτή η προσέγγιση σημαίνει στην πραγματικότητα περιοδική συνέχιση του σήματος πέρα ​​από τα όρια του εξεταζόμενου διαστήματος.

Οι μέθοδοι Fourier χρησιμοποιούνται για την ανάλυση γραμμικών κυκλωμάτων ή συστημάτων: για την πρόβλεψη της αντίδρασης (απόκρισης) του συστήματος. για τον προσδιορισμό της συνάρτησης μεταφοράς. για την αξιολόγηση των αποτελεσμάτων των δοκιμών.

Ένα αυθαίρετο περιοδικό σήμα εκφράζεται μέσω ενός άπειρου αριθμού αρμονικών με αυξανόμενες συχνότητες:

			βασικά μέλη·
			αρμονικοί όροι (για n > 1, το n είναι ακέραιος).
			αρμονικοί συντελεστές?
			σταθερός όρος ή συνιστώσα συνεχούς ρεύματος.

Περίοδος λειτουργίας
πρέπει να ισούται 2πή πολλαπλάσιο του? επιπλέον λειτουργία
πρέπει να είναι ξεκάθαρη Η σειρά Fourier μπορεί να θεωρηθεί ως «συνταγή για την προετοιμασία» οποιουδήποτε περιοδικού σήματος από ημιτονοειδείς συνιστώσες. Για να έχει πρακτική σημασία αυτή η σειρά, πρέπει να συγκλίνει, δηλ. τα επιμέρους αθροίσματα μιας σειράς πρέπει να έχουν ένα όριο.

Η διαδικασία δημιουργίας ενός αυθαίρετου περιοδικού σήματος από συντελεστές που περιγράφουν την ανάμειξη αρμονικών ονομάζεται σύνθεση. Η αντίστροφη διαδικασία υπολογισμού των συντελεστών ονομάζεται ανάλυση. Ο υπολογισμός των συντελεστών γίνεται ευκολότερος από το γεγονός ότι ο μέσος όρος των εγκάρσιων γινομένων ενός ημιτονοειδούς κύματος και ενός συνημιτονοειδούς κύματος (και αντίστροφα) είναι ίσος με 0.

Ας εισάγουμε μια βάση στον χώρο Hilbert:
Για λόγους απλότητας, θα υποθέσουμε ότι είναι ορθοκανονικό.

Στη συνέχεια οποιαδήποτε λειτουργία
από τον Χίλμπερτ ο χώρος μπορεί να αναπαρασταθεί μέσω προβολών διάνυσμα Χστον άξονα βάσης από μια γενικευμένη σειρά Fourier:

Οι σειρές Fourier είναι ιδιαίτερα χρήσιμες στην περιγραφή αυθαίρετων περιοδικών σημάτων με πεπερασμένη ενέργεια σε κάθε περίοδο. Επιπλέον, μπορούν να χρησιμοποιηθούν για την περιγραφή μη περιοδικών σημάτων που έχουν πεπερασμένη ενέργεια σε ένα πεπερασμένο διάστημα. Στην πράξη, το ολοκλήρωμα Fourier χρησιμοποιείται για την περιγραφή τέτοιων σημάτων.

συμπεράσματα

1. Η σειρά Fourier χρησιμοποιείται ευρέως για την περιγραφή περιοδικών σημάτων. Το ολοκλήρωμα Fourier χρησιμοποιείται για την περιγραφή μη περιοδικών σημάτων.

συμπέρασμα

1. Τα μηνύματα, τα σήματα και ο θόρυβος ως διανύσματα (σημεία) στον γραμμικό χώρο μπορούν να περιγραφούν μέσω ενός συνόλου συντεταγμένων σε μια δεδομένη βάση.

2. Για θερμοηλεκτρικούς σταθμούς, ο n-διάστατος Ευκλείδειος χώρος έχει μεγαλύτερο ενδιαφέρον κατά την εμφάνιση σημάτων
, άπειρος χώρος Hilbert
και διακριτό χώρο Hamming 2 n. Σε αυτούς τους χώρους εισάγεται η έννοια του βαθμωτού γινόμενου δύο διανυσμάτων (Χ, y) .

3. Κάθε συνεχής συνάρτηση του χρόνου ως στοιχείου μπορεί να αναπαρασταθεί από μια γενικευμένη σειρά Fourier σε μια δεδομένη ορθοκανονική βάση.

Βιβλιογραφία

Κύριος:

Θεωρία της ηλεκτρικής επικοινωνίας: Σχολικό βιβλίο. Για τα πανεπιστήμια / Α.Γ. Zyuko, D. D. Klovsky, V.I. Korzhik, M. V. Nazarov; Εκδ. D. D. Klovsky. – Μ.: Ραδιόφωνο και Επικοινωνίες, 1998. – 433 σελ.

Πρόσθετος:

Πρόκης Ι. Ψηφιακή επικοινωνία: Μτφρ. από τα Αγγλικά / Εκδ. Δ.Δ. Κλόφσκι. – Μ.: Ραδιόφωνο και Επικοινωνίες, 2000. – 800 σελ.

Bernard Sklar. Ψηφιακή επικοινωνία. Θεωρητικές βάσεις και πρακτική εφαρμογή: Μεταφρ. από τα Αγγλικά – M.: Williams Publishing House, 2003. – 1104 p.

Sukhorukov A.S. Θεωρία της ηλεκτρικής επικοινωνίας: Σημειώσεις διάλεξης. Μέρος 1. – Μ.: MTUSI, CENTER DO, 2002. – 65 σελ.

Sukhorukov A.S. Θεωρία ψηφιακών επικοινωνιών: Σχολικό βιβλίο. Μέρος 2. – Μ.: MTUSI, 2008. – 53 σελ.

Εισαγωγικές Σημειώσεις

Αυτή η ενότητα θα εξετάσει την αναπαράσταση περιοδικών σημάτων χρησιμοποιώντας τη σειρά Fourier. Οι σειρές Fourier αποτελούν τη βάση της θεωρίας της φασματικής ανάλυσης επειδή, όπως θα δούμε αργότερα, ο μετασχηματισμός Fourier ενός μη περιοδικού σήματος μπορεί να ληφθεί αν ληφθεί η σειρά Fourier στο όριο σε μια άπειρη περίοδο επανάληψης. Ως αποτέλεσμα, οι ιδιότητες της σειράς Fourier ισχύουν και για τον μετασχηματισμό Fourier των μη περιοδικών σημάτων.

Θα εξετάσουμε εκφράσεις της σειράς Fourier σε τριγωνομετρική και σύνθετη μορφή, και επίσης θα δώσουμε προσοχή στις συνθήκες Dirichlet για τη σύγκλιση της σειράς Fourier. Επιπλέον, θα σταθούμε λεπτομερώς στην εξήγηση μιας τέτοιας έννοιας όπως η αρνητική συχνότητα του φάσματος σήματος, η οποία συχνά προκαλεί δυσκολία κατά την εξοικείωση με τη θεωρία της φασματικής ανάλυσης.

Περιοδικό σήμα. Τριγωνομετρική σειρά Fourier

Έστω ένα περιοδικό σήμα συνεχούς χρόνου, το οποίο επαναλαμβάνεται με περίοδο c, δηλ. , όπου είναι ένας αυθαίρετος ακέραιος αριθμός.

Για παράδειγμα, το Σχήμα 1 δείχνει μια ακολουθία ορθογώνιων παλμών διάρκειας c, που επαναλαμβάνονται με περίοδο c.

Εικόνα 1. Περιοδική ακολουθία

Ορθογώνιοι παλμοί

Από την πορεία της μαθηματικής ανάλυσης είναι γνωστό ότι το σύστημα των τριγωνομετρικών συναρτήσεων

με πολλαπλές συχνότητες, όπου το rad/s είναι ακέραιος, αποτελεί μια ορθοκανονική βάση για την αποσύνθεση περιοδικών σημάτων με περίοδο που ικανοποιεί τις συνθήκες Dirichlet.

Οι συνθήκες Dirichlet για τη σύγκλιση της σειράς Fourier απαιτούν να καθοριστεί ένα περιοδικό σήμα στο τμήμα και να πληροί τις ακόλουθες συνθήκες:

Για παράδειγμα, η περιοδική συνάρτηση δεν ικανοποιεί τις προϋποθέσεις Dirichlet γιατί η συνάρτηση έχει ασυνέχειες δεύτερου είδους και παίρνει άπειρες τιμές στο , όπου είναι ένας αυθαίρετος ακέραιος αριθμός. Η συνάρτηση λοιπόν δεν μπορεί να αναπαρασταθεί με μια σειρά Fourier. Μπορείτε επίσης να δώσετε ένα παράδειγμα της συνάρτησης , το οποίο είναι περιορισμένο, αλλά και δεν ικανοποιεί τις προϋποθέσεις του Dirichlet, αφού έχει άπειρα ακραία σημεία καθώς πλησιάζει το μηδέν. Γράφημα μιας συνάρτησης φαίνεται στο σχήμα 2.

Εικόνα 2. Γράφημα συνάρτησης :

Α - δύο περίοδοι επανάληψης. β - στην περιοχή

Το σχήμα 2α δείχνει δύο περιόδους επανάληψης της συνάρτησης , και στο Σχήμα 2β - η περιοχή κοντά στο . Μπορεί να φανεί ότι καθώς πλησιάζει το μηδέν, η συχνότητα ταλάντωσης αυξάνεται άπειρα και μια τέτοια συνάρτηση δεν μπορεί να αναπαρασταθεί από μια σειρά Fourier, επειδή δεν είναι τμηματικά μονότονη.

Πρέπει να σημειωθεί ότι στην πράξη δεν υπάρχουν σήματα με άπειρες τιμές ρεύματος ή τάσης. Συναρτήσεις με άπειρο αριθμό ακραίων τύπου επίσης δεν παρουσιάζονται σε εφαρμοσμένα προβλήματα. Όλα τα πραγματικά περιοδικά σήματα ικανοποιούν τις συνθήκες Dirichlet και μπορούν να αναπαρασταθούν από μια άπειρη τριγωνομετρική σειρά Fourier της μορφής:

Στην έκφραση (2), ο συντελεστής καθορίζει τη σταθερή συνιστώσα του περιοδικού σήματος.

Σε όλα τα σημεία όπου το σήμα είναι συνεχές, η σειρά Fourier (2) συγκλίνει στις τιμές του δεδομένου σήματος και σε σημεία ασυνέχειας του πρώτου είδους - στη μέση τιμή, όπου και είναι τα όρια στα αριστερά και δεξιά του σημείου ασυνέχειας, αντίστοιχα.

Είναι επίσης γνωστό από την πορεία της μαθηματικής ανάλυσης ότι η χρήση μιας περικομμένης σειράς Fourier, που περιέχει μόνο τους πρώτους όρους αντί για ένα άπειρο άθροισμα, οδηγεί σε μια κατά προσέγγιση αναπαράσταση του σήματος:

που εξασφαλίζει ένα ελάχιστο του μέσου τετραγώνου σφάλματος. Το Σχήμα 3 απεικονίζει την προσέγγιση μιας αμαξοστοιχίας περιοδικών τετραγωνικών κυμάτων και ενός κύματος περιοδικής ράμπας όταν χρησιμοποιούνται διαφορετικοί αριθμοί όρων της σειράς Fourier.

Σχήμα 3. Προσέγγιση σημάτων χρησιμοποιώντας μια περικομμένη σειρά Fourier:

Α - ορθογώνιοι παλμοί. β - σήμα πριονωτή

Σειρά Fourier σε σύνθετη μορφή

Στην προηγούμενη ενότητα, εξετάσαμε την τριγωνομετρική σειρά Fourier για την επέκταση ενός αυθαίρετου περιοδικού σήματος που ικανοποιεί τις συνθήκες Dirichlet. Χρησιμοποιώντας τον τύπο του Euler, μπορούμε να δείξουμε:
Στη συνέχεια, η τριγωνομετρική σειρά Fourier (2) λαμβάνοντας υπόψη την (4):

Έτσι, ένα περιοδικό σήμα μπορεί να αναπαρασταθεί από το άθροισμα μιας σταθερής συνιστώσας και μιγαδικών εκθετικών που περιστρέφονται σε συχνότητες με συντελεστές για θετικές συχνότητες και για μιγαδικές εκθετικές που περιστρέφονται σε αρνητικές συχνότητες.

Ας εξετάσουμε τους συντελεστές για μιγαδικές εκθετικές που περιστρέφονται με θετικές συχνότητες:

Οι εκφράσεις (6) και (7) συμπίπτουν επιπλέον, η σταθερή συνιστώσα μπορεί επίσης να γραφτεί μέσω μιας μιγαδικής εκθετικής συχνότητας:

Έτσι, το (5) λαμβάνοντας υπόψη το (6)-(8) μπορεί να αναπαρασταθεί ως ένα ενιαίο άθροισμα όταν ευρετηριάζεται από μείον άπειρο έως άπειρο:

Η έκφραση (9) είναι μια σειρά Fourier σε σύνθετη μορφή. Οι συντελεστές της σειράς Fourier σε μιγαδική μορφή σχετίζονται με τους συντελεστές της σειράς σε τριγωνομετρική μορφή και προσδιορίζονται τόσο για θετικές όσο και για αρνητικές συχνότητες. Ο δείκτης στον προσδιορισμό συχνότητας υποδεικνύει τον αριθμό της διακριτής αρμονικής, με αρνητικούς δείκτες που αντιστοιχούν σε αρνητικές συχνότητες.

Από την έκφραση (2) προκύπτει ότι για ένα πραγματικό σήμα οι συντελεστές της σειράς (2) είναι επίσης πραγματικοί. Ωστόσο, το (9) συσχετίζει ένα πραγματικό σήμα με ένα σύνολο σύνθετων συζευγμένων συντελεστών που σχετίζονται τόσο με θετικές όσο και με αρνητικές συχνότητες.

Μερικές επεξηγήσεις της σειράς Fourier σε σύνθετη μορφή

Στην προηγούμενη ενότητα, κάναμε τη μετάβαση από την τριγωνομετρική σειρά Fourier (2) στη σειρά Fourier σε μιγαδική μορφή (9). Ως αποτέλεσμα, αντί να αποσυνθέτουμε περιοδικά σήματα στη βάση πραγματικών τριγωνομετρικών συναρτήσεων, λάβαμε μια επέκταση στη βάση μιγαδικών εκθετικών, με μιγαδικούς συντελεστές, και ακόμη και αρνητικές συχνότητες εμφανίστηκαν στην επέκταση! Δεδομένου ότι αυτό το ζήτημα συχνά παρεξηγείται, χρειάζεται κάποια διευκρίνιση.

Πρώτον, η εργασία με σύνθετους εκθέτες είναι στις περισσότερες περιπτώσεις ευκολότερη από την εργασία με τριγωνομετρικές συναρτήσεις. Για παράδειγμα, κατά τον πολλαπλασιασμό και τη διαίρεση μιγαδικών εκθετών, αρκεί απλώς να προσθέτουμε (αφαιρούμε) τους εκθέτες, ενώ οι τύποι για τον πολλαπλασιασμό και τη διαίρεση τριγωνομετρικών συναρτήσεων είναι πιο περίπλοκοι.

Η διαφοροποίηση και η ολοκλήρωση εκθετικών, ακόμη και σύνθετων, είναι επίσης ευκολότερη από τις τριγωνομετρικές συναρτήσεις, οι οποίες αλλάζουν συνεχώς όταν διαφοροποιούνται και ενσωματώνονται (το ημίτονο μετατρέπεται σε συνημίτονο και αντίστροφα).

Εάν το σήμα είναι περιοδικό και πραγματικό, τότε η τριγωνομετρική σειρά Fourier (2) φαίνεται πιο ξεκάθαρη, επειδή όλοι οι συντελεστές επέκτασης , και παραμένουν πραγματικοί. Ωστόσο, συχνά πρέπει να αντιμετωπίσουμε σύνθετα περιοδικά σήματα (για παράδειγμα, κατά τη διαμόρφωση και την αποδιαμόρφωση, χρησιμοποιείται μια τετραγωνική αναπαράσταση του μιγαδικού περιβλήματος). Σε αυτήν την περίπτωση, όταν χρησιμοποιείται η τριγωνομετρική σειρά Fourier, όλοι οι συντελεστές , και οι επεκτάσεις (2) θα γίνουν μιγαδικοί, ενώ όταν χρησιμοποιείται η σειρά Fourier σε μιγαδική μορφή (9), οι ίδιοι συντελεστές επέκτασης θα χρησιμοποιούνται τόσο για πραγματικά όσο και για μιγαδικά σήματα εισόδου .

Και τέλος, είναι απαραίτητο να σταθούμε στην εξήγηση των αρνητικών συχνοτήτων που εμφανίστηκαν στο (9). Αυτή η ερώτηση συχνά προκαλεί παρεξήγηση. Στην καθημερινή ζωή δεν συναντάμε αρνητικές συχνότητες. Για παράδειγμα, δεν συντονίζουμε ποτέ το ραδιόφωνό μας σε αρνητική συχνότητα. Ας εξετάσουμε την ακόλουθη αναλογία από τη μηχανική. Ας υπάρχει ένα μηχανικό εκκρεμές ελατηρίου που ταλαντώνεται ελεύθερα με μια ορισμένη συχνότητα. Μπορεί ένα εκκρεμές να ταλαντώνεται με αρνητική συχνότητα; Φυσικά και όχι. Όπως δεν υπάρχουν ραδιοφωνικοί σταθμοί που εκπέμπουν σε αρνητικές συχνότητες, η συχνότητα των ταλαντώσεων ενός εκκρεμούς δεν μπορεί να είναι αρνητική. Αλλά ένα εκκρεμές ελατηρίου είναι ένα μονοδιάστατο αντικείμενο (το εκκρεμές ταλαντώνεται κατά μήκος μιας ευθείας γραμμής).

Μπορούμε επίσης να δώσουμε μια άλλη αναλογία από τη μηχανική: έναν τροχό που περιστρέφεται με συχνότητα . Ο τροχός, σε αντίθεση με το εκκρεμές, περιστρέφεται, δηλ. ένα σημείο στην επιφάνεια του τροχού κινείται σε ένα επίπεδο και δεν ταλαντώνεται απλώς κατά μήκος μιας ευθείας γραμμής. Επομένως, για να καθορίσετε μοναδικά την περιστροφή του τροχού, δεν αρκεί η ρύθμιση της ταχύτητας περιστροφής, γιατί είναι επίσης απαραίτητο να ρυθμίσετε την κατεύθυνση περιστροφής. Αυτός είναι ακριβώς ο λόγος που μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε το σύμβολο της συχνότητας.

Έτσι, εάν ο τροχός περιστρέφεται με συχνότητα rad/s αριστερόστροφα, τότε θεωρούμε ότι ο τροχός περιστρέφεται με θετική συχνότητα, και αν δεξιόστροφα, τότε η συχνότητα περιστροφής θα είναι αρνητική. Έτσι, για μια εντολή περιστροφής, μια αρνητική συχνότητα παύει να είναι ανοησία και υποδεικνύει την κατεύθυνση περιστροφής.

Και τώρα το πιο σημαντικό πράγμα που πρέπει να καταλάβουμε. Η ταλάντωση ενός μονοδιάστατου αντικειμένου (για παράδειγμα, ενός εκκρεμούς ελατηρίου) μπορεί να αναπαρασταθεί ως το άθροισμα των περιστροφών δύο διανυσμάτων που φαίνονται στο Σχήμα 4.

Εικόνα 4. Ταλάντωση εκκρεμούς ελατηρίου

Ως το άθροισμα των περιστροφών δύο διανυσμάτων

στο σύνθετο επίπεδο

Το εκκρεμές ταλαντώνεται κατά μήκος του πραγματικού άξονα του μιγαδικού επιπέδου με συχνότητα σύμφωνα με τον αρμονικό νόμο. Η κίνηση του εκκρεμούς φαίνεται ως οριζόντιο διάνυσμα. Το επάνω διάνυσμα περιστρέφεται στο μιγαδικό επίπεδο με θετική συχνότητα (αριστερόστροφα) και το κάτω διάνυσμα περιστρέφεται με αρνητική συχνότητα (δεξιόστροφα). Το Σχήμα 4 απεικονίζει ξεκάθαρα τη γνωστή σχέση από το μάθημα της τριγωνομετρίας:

Έτσι, η σειρά Fourier σε μιγαδική μορφή (9) αντιπροσωπεύει περιοδικά μονοδιάστατα σήματα ως άθροισμα διανυσμάτων στο μιγαδικό επίπεδο που περιστρέφεται με θετικές και αρνητικές συχνότητες. Ταυτόχρονα, ας σημειώσουμε ότι στην περίπτωση πραγματικού σήματος, σύμφωνα με το (9), οι συντελεστές διαστολής για τις αρνητικές συχνότητες είναι μιγαδικοί συζυγείς με τους αντίστοιχους συντελεστές για τις θετικές συχνότητες. Στην περίπτωση ενός μιγαδικού σήματος, αυτή η ιδιότητα των συντελεστών δεν ισχύει λόγω του γεγονότος ότι και είναι επίσης σύνθετοι.

Φάσμα περιοδικών σημάτων

Η σειρά Fourier σε μιγαδική μορφή είναι η αποσύνθεση ενός περιοδικού σήματος σε ένα άθροισμα μιγαδικών εκθετικών που περιστρέφονται σε θετικές και αρνητικές συχνότητες σε πολλαπλάσια του rad/c με αντίστοιχους μιγαδικούς συντελεστές που καθορίζουν το φάσμα του σήματος. Οι μιγαδικοί συντελεστές μπορούν να αναπαρασταθούν χρησιμοποιώντας τον τύπο του Euler καθώς όπου είναι το φάσμα πλάτους, a είναι το φάσμα φάσης.

Δεδομένου ότι τα περιοδικά σήματα τοποθετούνται σε μια σειρά μόνο σε ένα πλέγμα σταθερής συχνότητας, το φάσμα των περιοδικών σημάτων είναι γραμμικό (διακριτό).

Εικόνα 5. Φάσμα μιας περιοδικής ακολουθίας

Ορθογώνιοι παλμοί:

Α - φάσμα πλάτους. β - φάσμα φάσης

Το σχήμα 5 δείχνει ένα παράδειγμα του πλάτους και του φάσματος φάσης μιας περιοδικής ακολουθίας ορθογώνιων παλμών (βλ. Εικόνα 1) σε c, διάρκεια παλμού c και πλάτος παλμού Β.

Το φάσμα πλάτους του αρχικού πραγματικού σήματος είναι συμμετρικό ως προς τη μηδενική συχνότητα και το φάσμα φάσης είναι αντισυμμετρικό. Ταυτόχρονα, σημειώνουμε ότι οι τιμές του φάσματος φάσης και αντιστοιχούν στο ίδιο σημείο στο μιγαδικό επίπεδο.

Μπορούμε να συμπεράνουμε ότι όλοι οι συντελεστές διαστολής του μειωμένου σήματος είναι καθαρά πραγματικοί και το φάσμα φάσης αντιστοιχεί σε αρνητικούς συντελεστές.

Σημειώστε ότι η διάσταση του φάσματος πλάτους συμπίπτει με τη διάσταση του σήματος. Εάν περιγράφει τη μεταβολή της τάσης με την πάροδο του χρόνου, μετρημένη σε βολτ, τότε τα πλάτη των αρμονικών του φάσματος θα έχουν επίσης διάσταση βολτ.

συμπεράσματα

Αυτή η ενότητα συζητά την αναπαράσταση περιοδικών σημάτων χρησιμοποιώντας τη σειρά Fourier. Δίνονται εκφράσεις για τη σειρά Fourier σε τριγωνομετρικές και μιγαδικές μορφές. Δώσαμε ιδιαίτερη προσοχή στις συνθήκες Dirichlet για τη σύγκλιση της σειράς Fourier και δώσαμε παραδείγματα συναρτήσεων για τις οποίες η σειρά Fourier αποκλίνει.

Σταθήκαμε λεπτομερώς στην έκφραση της σειράς Fourier σε μιγαδική μορφή και δείξαμε ότι τα περιοδικά σήματα, τόσο πραγματικά όσο και μιγαδικά, αντιπροσωπεύονται από μια σειρά μιγαδικών εκθετικών με θετικές και αρνητικές συχνότητες. Σε αυτή την περίπτωση, οι συντελεστές διαστολής είναι επίσης πολύπλοκοι και χαρακτηρίζουν το πλάτος και το φάσμα φάσης του περιοδικού σήματος.

Στην επόμενη ενότητα θα δούμε αναλυτικότερα τις ιδιότητες των φασμάτων των περιοδικών σημάτων.

Εφαρμογή λογισμικού στη βιβλιοθήκη DSPL

Dötsch, G. Ένας οδηγός για την πρακτική εφαρμογή του μετασχηματισμού Laplace. Μόσχα, Nauka, 1965, 288 p.