Λειτουργική εξάρτηση της βάσης δεδομένων. Οι απλούστερες λειτουργικές εξαρτήσεις. Η πληρότητα του συστήματος κανόνων του Άρμστρονγκ

Εξαρτήσεις μεταξύ ιδιοτήτων

Το χαρακτηριστικό B εξαρτάται λειτουργικά από το χαρακτηριστικό A εάν για κάθε τιμή του A υπάρχει μόνο μία τιμή του B.

Ονομασία: Α Β

2. Αν υπάρχει λειτουργική εξάρτηση της μορφής Α Β και Β Α, τότε μεταξύ Α και Β υπάρχει διασυνδεδεμένη αντιστοιχία ή λειτουργική αλληλεξάρτηση

Ονομασία: Α Β

Μερική λειτουργική εξάρτηση είναι η εξάρτηση ενός χαρακτηριστικού χωρίς κλειδί από μέρος ενός σύνθετου κλειδιού.

Πλήρης λειτουργική εξάρτηση

Όταν ένα χαρακτηριστικό χωρίς κλειδί εξαρτάται πλήρως από ένα σύνθετο κλειδί.

Και τα λοιπά: Τμήμα (ονοματεπώνυμο, υποχρεωτικό, μισθός, προϋπηρεσία, προϋπηρεσία, τμήμα, αντικείμενο, ομάδα, είδος επαγγέλματος)

Πλήρες όνομα τμήμα

Πλήρες ονοματεπώνυμο θέση

Το χαρακτηριστικό C εξαρτάται από το A μεταβατικά εάν για τα χαρακτηριστικά A, B, C πληρούται η συνθήκη A B και B C, αλλά δεν υπάρχει αντίστροφη εξάρτηση A C

Παράδειγμα. Πλήρες ονοματεπώνυμο μισθός θέσης

Στη σχέση r, το χαρακτηριστικό B εξαρτάται σε μεγάλο βαθμό από το χαρακτηριστικό A εάν κάθε τιμή του A αντιστοιχεί σε ένα σύνολο τιμών του B που δεν σχετίζονται με άλλα χαρακτηριστικά του r.

Ονομασία A B, A B, A B Πλήρες όνομα θέμα

Σημείωση: Γενικά, λειτουργικές και εξαρτήσεις πολλαπλών τιμών (1:1, 1:M,M:M) μπορούν να υπάρχουν μεταξύ δύο χαρακτηριστικών μιας σχέσης επειδή Εάν η εξάρτηση μεταξύ των χαρακτηριστικών προκαλεί ανωμαλίες, τότε είναι απαραίτητο να χωριστεί η σχέση με τις εξαρτήσεις χαρακτηριστικών σε πολλές σχέσεις. Το αποτέλεσμα είναι μια συλλογή σχετικών σχέσεων, οι συνδέσεις μεταξύ των οποίων αντικατοπτρίζουν τις εξαρτήσεις μεταξύ των χαρακτηριστικών των διαφόρων σχέσεων.

Δύο ή περισσότερα χαρακτηριστικά λέγονται ότι είναι αμοιβαία ανεξάρτητα εάν ένα από αυτά τα χαρακτηριστικά δεν εξαρτάται λειτουργικά από τα άλλα χαρακτηριστικά (Σημείωση A¬
ΣΕ).

Προσδιορισμός εξαρτήσεων μεταξύ ιδιοτήτων

Ο εντοπισμός εξαρτήσεων μεταξύ των χαρακτηριστικών είναι απαραίτητος για την εκτέλεση του σχεδιασμού της βάσης δεδομένων χρησιμοποιώντας τη μέθοδο των κανονικών φορμών.

Ο κύριος τρόπος προσδιορισμού της λειτουργικής εξάρτησης είναι μια προσεκτική ανάλυση σημασιολογία χαρακτηριστικών.

Α1 Α3

Επιπλέον, Α2 ¬ Α1, Α3 ¬ Α1

Παραθέτοντας όλες τις υπάρχουσες συναρτησιακές εξαρτήσεις στη σχέση r, λαμβάνουμε ένα πλήρες σύνολο συναρτησιακών εξαρτήσεων, οι οποίες συμβολίζονται με F + .

Γνωρίζοντας ορισμένες συναρτησιακές εξαρτήσεις, χρησιμοποιώντας τα αξιώματα συμπερασμάτων μπορεί κανείς να λάβει το πλήρες σύνολο F + για οποιαδήποτε σχέση.

Για τη σχέση «τμήμα»:

Πλήρες ονοματεπώνυμο μισθός

Πλήρες ονοματεπώνυμο θέση

Εμπειρία πλήρους ονόματος

Πλήρες όνομα τμήμα

Πλήρες όνομα d_experience

Εμπειρία d_experience

Μισθός θέσης

Μισθολογική θέση

Πλήρες όνομα.Δάσκαλος.Ομάδα Τύπος τάξεων

Ομαλοποίηση των σχέσεων

Σε μια σχεσιακή βάση δεδομένων, κάθε σχέση πρέπει να κανονικοποιηθεί. Η κανονική φόρμα είναι ένας περιορισμός στο σχήμα της βάσης δεδομένων που σας επιτρέπει να αποφύγετε ανωμαλίες κατά την προσθήκη, τη διαγραφή και την αλλαγή δεδομένων.

Μια σχέση θεωρείται κανονικοποιημένη (1NF) εάν κάθε τιμή οποιουδήποτε χαρακτηριστικού σε κάθε χάρτη είναι ένα αδιαίρετο (ατομικό) στοιχείο. Τέτοιες ατομικές τιμές είναι απλοί τύποι δεδομένων.

2NF Χρησιμοποιούνται κυρίως τρεις κανονικές μορφές.

Για όλες τις κανονικές μορφές τηρείται ο κανόνας της φωλιάς

Οφέλη της κανονικοποίησης:

Καλύτερη οργάνωση της βάσης δεδομένων, που διευκολύνει την εργασία για τους χρήστες και τους διαχειριστές βάσεων δεδομένων.

Ο πλεονασμός των πληροφοριών μειώνεται, γεγονός που οδηγεί σε απλοποίηση της δομής και ορθολογική χρήση του χώρου στο δίσκο.

Οι διπλές πληροφορίες ελαχιστοποιούνται.

Η κανονικοποίηση με το σπάσιμο της βάσης δεδομένων σε μικρότερους πίνακες δίνει μεγαλύτερη ευελιξία κατά την αλλαγή δομών δεδομένων.

Μεγαλύτερη ασφάλεια βάσης δεδομένων.

Μετά την κανονικοποίηση της βάσης δεδομένων, η οργάνωση της προστασίας των πληροφοριών που περιέχονται σε αυτήν απλοποιείται σημαντικά.

Ελαττώματα :

Μειωμένη απόδοση κατά την εκτέλεση ερωτημάτων στη βάση δεδομένων.

Ορισμοί:

Μια σχέση είναι σε 1NF εάν όλα τα στοιχεία των αντίστοιχων περιοχών είναι ατομικά για κάθε χαρακτηριστικό στην αρχική σχέση. Η αρχική σχέση είναι κατασκευασμένη με τέτοιο τρόπο ώστε να είναι σε 1NF.

Μια τιμή είναι μη ατομική εάν χρησιμοποιείται αποσπασματικά από την εφαρμογή.

Ο μετασχηματισμός μιας σχέσης στην επόμενη κανονική μορφή πραγματοποιείται με τη μέθοδο της αποσύνθεσης χωρίς απώλειες.

Αυτή η αποσύνθεση πρέπει να διασφαλίζει ότι τα ερωτήματα για την αρχική σχέση και για τις σχέσεις που προκύπτουν ως αποτέλεσμα της αποσύνθεσης θα δώσουν το ίδιο αποτέλεσμα.

Η κύρια λειτουργία στη μέθοδο είναι η λειτουργία προβολής.

r (A,B,C,D,E) C D

r1(A,B,C,E) r2(C,D) πCD(r)

Η μερική εξάρτηση κλειδιού των χαρακτηριστικών χωρίς κλειδί έχει ως αποτέλεσμα τα εξής:

1. Υπάρχει προφανής και όχι προφανής περιττή αντιγραφή δεδομένων, για παράδειγμα, επανάληψη της εμπειρίας, της θέσης και του μισθού ενός καθηγητή που διεξάγει μαθήματα σε πολλές ομάδες ή/και σε διαφορετικά μαθήματα. Επανάληψη στοιχείων μισθοδοσίας για την ίδια θέση ή στοιχεία για επιδόματα προϋπηρεσίας.

Η συνέπεια της υπερβολικής αντιγραφής είναι το πρόβλημα της επεξεργασίας δεδομένων. Μέρος του πλεονασμού εξαλείφεται κατά τη μετάβαση στο 2NF.

Μια σχέση είναι σε 2NF αν:

Η σχέση είναι σε 1NF.

Κάθε χαρακτηριστικό χωρίς κλειδί εξαρτάται λειτουργικά πλήρως από το πρωτεύον κλειδί.

Για να εξαλείψετε τη μερική εξάρτηση και να μεταφέρετε τη σχέση στο 2NF, πρέπει:

Κατασκευάστε μια προβολή χωρίς χαρακτηριστικά που εξαρτώνται εν μέρει λειτουργικά από το πρωτεύον κλειδί.

Κατασκευάστε μια προβολή στα μέρη ενός σύνθετου πρωτεύοντος κλειδιού και χαρακτηριστικού που εξαρτώνται από αυτά τα μέρη.

Ως αποτέλεσμα, παίρνουμε δύο σχέσεις r1,r2, που βρίσκονται στο 2NF:

Η μετάβαση στο 2NF εξαλείφει τον προφανή πλεονασμό δεδομένων σε σχέση με το r2, ωστόσο, ο διπλασιασμός των δεδομένων παραμένει και επομένως είναι απαραίτητο να μετατραπεί το r2 σε 3NF.

Def.1: Μια σχέση είναι σε 3NF αν:

Όλες οι απαιτήσεις 2NF πληρούνται.

Εάν κάθε χαρακτηριστικό χωρίς κλειδί δεν εξαρτάται μεταβατικά από το πρωτεύον κλειδί.

Def.2: Μια σχέση είναι στο 3NF εάν όλα τα χαρακτηριστικά μη κλειδιού είναι αμοιβαία ανεξάρτητα και εξαρτώνται πλήρως από το πρωτεύον κλειδί.

Πλήρες ονοματεπώνυμο μισθωτή θέση

Εμπειρία με πλήρες όνομα D_experience

Πλήρες ονοματεπώνυμο μισθός θέσης

Οι μεταβατικές εξαρτήσεις προκαλούν επίσης πλεονάζουσα παραγωγή δεδομένων.

Για να εξαλείψετε τις μεταβατικές εξαρτήσεις, πρέπει να χρησιμοποιήσετε μια προβολή στα χαρακτηριστικά που προκαλούν αυτές τις μεταβατικές εξαρτήσεις.

Ως αποτέλεσμα παίρνουμε:

Στην πράξη, στις περισσότερες περιπτώσεις η αναγωγή σε 3NF είναι επαρκής και δεν πραγματοποιείται περαιτέρω κανονικοποίηση.

Εάν σε μια σχέση υπάρχει εξάρτηση των ιδιοτήτων ενός σύνθετου κλειδιού από μη βασικά χαρακτηριστικά, τότε είναι απαραίτητο να προχωρήσουμε σε ενισχυμένο 3NF, που ονομάζεται BCNF.

Def. Μια σχέση είναι στο BNFB εάν είναι σε 3NF και δεν υπάρχουν βασικές εξαρτήσεις (σύνθετα χαρακτηριστικά κλειδιών) σε μη βασικά χαρακτηριστικά.

Κατά την αναπαράσταση ενός εννοιολογικού διαγράμματος ως σχεσιακού μοντέλου, είναι δυνατές διάφορες επιλογές για την επιλογή σχημάτων σχέσεων. Ορισμένες επιλογές επιλογής εξετάστηκαν σε προηγούμενες ενότητες (ενότητα 6.2.3), άλλες προκύπτουν με συνδυασμό (ή διαχωρισμό) ορισμένων σχημάτων σχέσεων. Η σωστή επιλογή των διαγραμμάτων σχέσεων που αντιπροσωπεύουν το εννοιολογικό σχήμα θα καθορίσει σε μεγάλο βαθμό την αποτελεσματικότητα της βάσης δεδομένων.

Ας εξετάσουμε, ως παράδειγμα, ένα συγκεκριμένο σχήμα σχέσεων και ας αναλύσουμε τις ελλείψεις του. Ας υποθέσουμε ότι δεδομένα για φοιτητές, σχολές, ειδικότητες περιλαμβάνονται σε έναν πίνακα με το ακόλουθο σχήμα σχέσεων: STUDENT (Κωδικός φοιτητή, Επώνυμο, Όνομα Σχολής, Όνομα Ειδικότητας).

Αυτό το σχήμα σχέσεων προκαλεί τα ακόλουθα μειονεκτήματα της αντίστοιχης βάσης δεδομένων:

• Διπλασιασμός πληροφοριών (πλεονασμός). Για φοιτητές που φοιτούν στο ίδιο τμήμα θα επαναλαμβάνεται το όνομα του τμήματος. Οι ειδικότητες θα επαναληφθούν για διαφορετικές σχολές.
• Πιθανή ασυνέπεια ( ενημερώσεις ανωμαλίες). Εάν, για παράδειγμα, αλλάξει το όνομα μιας ειδικότητας, τότε αλλάζοντας την σε μία πλειάδα (για έναν μαθητή), είναι απαραίτητο να την αλλάξετε σε όλες τις άλλες πλειάδες όπου υπάρχει.
• Πιθανή απώλεια πληροφοριών ( ανωμαλίες διαγραφής). Όταν διαγράφουμε πληροφορίες για όλους τους μαθητές που εισέρχονται σε μια συγκεκριμένη ειδικότητα, χάνουμε όλες τις πληροφορίες σχετικά με αυτήν την ειδικότητα.
• Δυνατότητα να μην περιλαμβάνονται πληροφορίες στη βάση δεδομένων ( ανωμαλίες μεταγωγής). Η βάση δεδομένων δεν θα περιέχει πληροφορίες για μια ειδικότητα εάν δεν υπάρχουν φοιτητές που σπουδάζουν σε αυτήν.

ΣΕ θεωρίες σχεσιακών βάσεων δεδομένωνυπάρχουν επίσημες μέθοδοι για την κατασκευή ενός μοντέλου σχεσιακής βάσης δεδομένων στο οποίο δεν υπάρχει πλεονασμός και ενημερώσεις ανωμαλίες, αφαίρεση και ένταξη.

Ομαλοποίηση. Πρώτη κανονική μορφή.

Η κατασκευή μιας ορθολογικής έκδοσης σχημάτων σχέσεων (η οποία έχει καλύτερες ιδιότητες για τις λειτουργίες συμπερίληψης, τροποποίησης και διαγραφής δεδομένων από όλα τα άλλα σύνολα σχημάτων) πραγματοποιείται χρησιμοποιώντας το λεγόμενοομαλοποίηση πρότυπα σχέσης. Η κανονικοποίηση πραγματοποιείται σε διάφορα στάδια. Στο αρχικό στάδιο, το διάγραμμα σχέσης θα πρέπει να βρίσκεται στο πρώτο κανονική μορφή(1NF).

Η σχέση είναι στο πρώτο κανονική μορφή, εάν όλα τα χαρακτηριστικά μιας σχέσης λαμβάνουν απλές τιμές (ατομικές ή αδιαίρετες) που δεν αποτελούν σύνολο ή πλειάδα πιο στοιχειωδών στοιχείων.

Εξετάστε το ακόλουθο παράδειγμα.

Ο πίνακας αντιπροσωπεύει την οντότητα ΕΚΘΕΣΗ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ

Τώρα στη διασταύρωση οποιασδήποτε γραμμής και οποιασδήποτε στήλης υπάρχει μία τιμή και, επομένως, αυτός ο πίνακας βρίσκεται στην πρώτη κανονική μορφή.

Στη συνέχεια, η σχέση που παρουσιάζεται στο πρώτο κανονική μορφή, μετατρέπεται διαδοχικά σε δεύτερο και τρίτο κανονικές μορφές. Η διαδικασία κατασκευής δεύτερης και τρίτης κανονικής φόρμας θα περιγραφεί στις επόμενες υποενότητες. Κάτω από κάποιες υποθέσεις για τα δεδομένα, το τρίτο κανονική μορφήείναι η επιθυμητή καλύτερη επιλογή.

Εάν αυτές οι παραδοχές δεν πληρούνται, τότε η διαδικασία κανονικοποίησης συνεχίζεται και η αναλογία μετατρέπεται σε τέταρτη και πέμπτη κανονικές μορφές. Η κατασκευή των αντίστοιχων μορφών περιγράφεται στη βιβλιογραφία και δεν συζητείται σε αυτό το βιβλίο.

Πριν προχωρήσουμε στην κατασκευή του δεύτερου κανονικό σχήμα, είναι απαραίτητο να ορίσουμε μια σειρά από επίσημες έννοιες.

8.2. Λειτουργικές εξαρτήσεις (εξαρτήσεις μεταξύ ιδιοτήτων μιας σχέσης)

Έστω R(A 1, A 2, ..., A n) ένα σχήμα σχέσης και τα X και Y υποσύνολα (A 1, A 2, ..., A n).

Λειτουργική εξάρτηση στη στάση R είναι μια δήλωση της μορφής «Αν δύο πλειάδες R ταιριάζει με τα χαρακτηριστικά του συνόλου(δηλαδή αυτές οι πλειάδες έχουν τις ίδιες τιμές στα αντίστοιχα συστατικά τους για κάθε χαρακτηριστικό του συνόλου X ), τότε πρέπει να συμπίπτουν στα χαρακτηριστικά του συνόλου . Τυπικά, αυτή η εξάρτηση γράφεται από την έκφραση X -> Y, και λέγεται ότιΧ ορίζει λειτουργικάΥ. Μια άλλη δήλωση που χρησιμοποιείται συχνά είναι: X ορίζει λειτουργικάΥ ήΥ λειτουργικά εξαρτάται απόΧ ( συμβολίζεται με X -> Y) εάν και μόνο εάν κάθε τιμή του συνόλουΧ σχέση R συσχετίζεται με μία τιμή του συνόλουΥ σχέση R. Με άλλα λόγια, αν δύο πλειάδες R συμπίπτουν ως προς το νόημαΧ, είναι το ίδιο στην έννοιαΥ.

Σχόλιο. Σε γενικές γραμμές, ο όρος «σχέση» μπορεί να σημαίνει δύο έννοιες:

• μια σχέση ως μεταβλητή που μπορεί να πάρει διαφορετικές τιμές (πίνακας του οποίου οι γραμμές και οι στήλες μπορούν να περιέχουν διαφορετικές τιμές).
• μια σχέση ως σύνολο συγκεκριμένων τιμών (πίνακας με γεμάτα στοιχεία).

Λειτουργικές εξαρτήσειςχαρακτηρίζουν όλες τις σχέσεις που μπορούν να είναι τιμές του σχήματος σχέσεων R κατ' αρχήν. Ως εκ τούτου, ο μόνος τρόπος για να προσδιοριστεί λειτουργικές εξαρτήσεις– αναλύστε προσεκτικά τη σημασιολογία (σημασία) των ιδιοτήτων.

Λειτουργικές εξαρτήσειςείναι, ειδικότερα, περιορισμοί ακεραιότητας, επομένως είναι σκόπιμο να ελέγχονται κάθε φορά που ενημερώνεται η βάση δεδομένων.

Παράδειγμα λειτουργικών εξαρτήσεων για τη σχέση ΕΚΘΕΣΗ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ

Κωδικός μαθητή -> Επώνυμο Κωδικός μαθητή, Κωδικός εξέτασης -> Βαθμός

Ένα παράδειγμα λειτουργικών εξαρτήσεων για τη σχέση STUDENT που δίνεται στην αρχή αυτής της διάλεξης

Κωδικός φοιτητή -> Επώνυμο, Κωδικός φοιτητή -> Σχολή

Σημειώστε ότι η τελευταία εξάρτηση υπάρχει υπό την προϋπόθεση ότι ένας φοιτητής δεν μπορεί να σπουδάσει σε πολλές σχολές.

Πλήρες σύνολο λειτουργικών εξαρτήσεων

Για κάθε σχέση, υπάρχει ένα καλά καθορισμένο σύνολο λειτουργικών εξαρτήσεων μεταξύ των χαρακτηριστικών αυτής της σχέσης. Επιπλέον, από μία ή περισσότερες λειτουργικές εξαρτήσεις που είναι εγγενείς στην υπό εξέταση σχέση, μπορούν να προκύψουν άλλες λειτουργικές εξαρτήσεις, επίσης εγγενές σε αυτή τη σχέση.

Ένα δεδομένο σύνολο λειτουργικών εξαρτήσεων για μια σχέση R ας υποδηλώσουμεφά ένα πλήρες σύνολο λειτουργικών εξαρτήσεων από τις οποίες μπορούν να προκύψουν λογικάφά που ονομάζεται κλείσιμοφά και ορίζεται F+.

Εάν το σύνολο των λειτουργικών εξαρτήσεων συμπίπτει με το κλείσιμο αυτού του συνόλου, τότε ένα τέτοιο σύνολο λειτουργικών εξαρτήσεων ονομάζεται πλήρες.

Οι εισαγόμενες έννοιες μας επιτρέπουν να ορίσουμε επίσημα την έννοια του κλειδιού.

Ας υπάρξει κάποιο σχέδιο R με ιδιότητες A 1 A 2 ...A n , F – κάποιο σύνολο λειτουργικών εξαρτήσεων καιΧ - κάποιο υποσύνολο R. ΕπειταΧ ονομάζεται κλειδί εάν, πρώτα, in F+ υπάρχει μια εξάρτηση X -> A 1 A 2 ...A n και δεύτερον, για κανένα υποσύνολοΥ συμπεριλαμβανεται σεΧ, εθισμός Y -> A 1 A 2 ...A n δεν ανήκει F+.

Μια πλήρης λειτουργική εξάρτηση είναι η εξάρτηση ενός χαρακτηριστικού χωρίς κλειδί από ολόκληρο το σύνθετο κλειδί..

Μια μερική λειτουργική εξάρτηση είναι η εξάρτηση ενός χαρακτηριστικού χωρίς κλειδί από μέρος ενός σύνθετου κλειδιού..

Να υπολογίσω κλείνοντας πολλαπλές λειτουργικές εξαρτήσειςχρησιμοποιούνται τα παρακάτω κανόνες συμπερασμάτων (

Μέθοδος κανονικών μορφών

Δάσκαλος

Ρύζι. 6.4.Αρχική στάση ΔΑΣΚΑΛΟΣ

Έμμεσος πλεονασμόςεκδηλώνεται με τους ίδιους μισθούς για όλους τους εκπαιδευτικούς και με τα ίδια επιδόματα μισθού για την ίδια προϋπηρεσία. Εάν ο μισθός αλλάξει από 500 ρούβλια. έως 510 ρούβλια, τότε αυτή η τιμή πρέπει να αλλάξει για όλους τους δασκάλους. Εάν παραλειφθεί ο Sidorov, η βάση δεδομένων θα γίνει ασυνεπής. Αυτό είναι ένα παράδειγμα ανωμαλίας επεξεργασίας σχέσης με έμμεση πλεονασμό.

Η εξάλειψη του πλεονασμού συνίσταται στην εξομάλυνση των σχέσεων.

Η μέθοδος κανονικής μορφής είναι μια κλασική μέθοδος για το σχεδιασμό σχεσιακών βάσεων δεδομένων. Βασίζεται στη θεμελιώδη έννοια της εξάρτησης μεταξύ των χαρακτηριστικών μιας σχέσης.

Ιδιότητα Β λειτουργικά εξαρτώμενη από το χαρακτηριστικό A, εάν κάθε τιμή του A αντιστοιχεί ακριβώς σε μία τιμή του B. Μαθηματικά, η συναρτησιακή εξάρτηση του B από το A συμβολίζεται με τον συμβολισμό A ® B. Αυτό σημαίνει ότι σε όλες τις πλειάδες με την ίδια τιμή του χαρακτηριστικού a, ATTRIBUT ΤΗΝ ΙΔΙΑ ΑΞΙΑ ΘΑ ΕΧΕΙ ΚΑΙ Β. Τα χαρακτηριστικά Α και Β μπορούν να είναι σύνθετα - αποτελούμενα από δύο ή περισσότερα χαρακτηριστικά. Σε σχέση με τον Δάσκαλο, οι λειτουργικές εξαρτήσεις είναι οι εξής: Ονοματεπώνυμο ® Τμήμα, Ονοματεπώνυμο ® Καθήκον, Καθήκον ® Μισθός κ.λπ.

Λειτουργική αλληλεξάρτηση.Εάν υπάρχει μια λειτουργική εξάρτηση της μορφής A ® B και B ® A, τότε μεταξύ των A και B υπάρχει μια αντιστοιχία ένα προς ένα ή λειτουργική αλληλεξάρτηση. Μαθηματικά, η αλληλεξάρτηση συμβολίζεται ως A "B ή B "A.

Παράδειγμα.Το χαρακτηριστικό N (σειρά και αριθμός διαβατηρίου) είναι λειτουργικά αλληλεξαρτώμενο με το χαρακτηριστικό πλήρους ονόματος (επώνυμο, όνομα και πατρώνυμο), εάν υποτεθεί ότι εξαιρείται η κατάσταση της πλήρους σύμπτωσης επωνύμων, ονομάτων και πατρώνυμων δύο ατόμων .

Μερική λειτουργική εξάρτησηΗ εξάρτηση ενός χαρακτηριστικού χωρίς κλειδί από μέρος ενός σύνθετου κλειδιού ονομάζεται. Στη σχέση Δάσκαλος, το κλειδί είναι σύνθετο και αποτελείται από τα χαρακτηριστικά Πλήρες Όνομα, Θέμα και Ομάδα. Όλα τα χαρακτηριστικά εκτός κλειδιού εξαρτώνται λειτουργικά από το κλειδί με διάφορους βαθμούς εξάρτησης. Για παράδειγμα, το χαρακτηριστικό Position εξαρτάται λειτουργικά από το χαρακτηριστικό Full Name, το οποίο είναι μέρος του κλειδιού, π.χ. εξαρτάται εν μέρει από το κλειδί.

Πλήρης λειτουργική εξάρτηση –Η εξάρτηση ενός χαρακτηριστικού χωρίς κλειδί από ολόκληρο το σύνθετο κλειδί. Για παράδειγμα, το χαρακτηριστικό ViewZan εξαρτάται πλήρως λειτουργικά από το σύνθετο κλειδί.

Το χαρακτηριστικό Γ εξαρτάται από το χαρακτηριστικό Α μεταβατικά (υπάρχει μεταβατική εξάρτηση ), εάν για τα χαρακτηριστικά A, B, C πληρούνται οι προϋποθέσεις A ® B και B ® C, αλλά δεν υπάρχει αντίστροφη σχέση. Στο παράδειγμα, τα χαρακτηριστικά συνδέονται με μια μεταβατική εξάρτηση:

Πλήρες όνομα ® Τίτλος εργασίας ® Μισθός

Σε σχέση με το R, το χαρακτηριστικό B εξαρτάται πολύ από το χαρακτηριστικό A εάν κάθε τιμή του A αντιστοιχεί σε ένα σύνολο τιμών του B που δεν σχετίζονται με άλλα χαρακτηριστικά από το R. Οι εξαρτήσεις πολλαπλών τιμών μπορεί να είναι ένα προς πολλά (1:M), πολλά προς ένα (M :1) ή πολλά-προς-ένα προς πολλούς» (M:M), που συμβολίζεται αντίστοιχα: A Þ B, A Ü B και A Û B.

Στο υπό εξέταση παράδειγμα, υπάρχει μια σχέση πολλαπλών τιμών M:M μεταξύ των χαρακτηριστικών Πλήρες Όνομα Û Θέμα (ένας δάσκαλος μπορεί να διδάξει πολλά μαθήματα και ένα μάθημα μπορεί να διδαχθεί από πολλούς καθηγητές).

Δεδομένου ότι η εξάρτηση μεταξύ των χαρακτηριστικών είναι η αιτία των ανωμαλιών, προσπαθούν να χωρίσουν τέτοιες σχέσεις σε πολλές σχέσεις. Ως αποτέλεσμα, σχηματίζεται ένα σύνολο σχετικών σχέσεων (πίνακες) με συνδέσεις της μορφής 1:1, 1:M, M:1 και M:M. Οι σχέσεις μεταξύ πινάκων αντικατοπτρίζουν εξαρτήσεις μεταξύ ιδιοτήτων διαφορετικών σχέσεων.

Αμοιβαία ανεξάρτητα χαρακτηριστικά.Δύο ή περισσότερα χαρακτηριστικά λέγονται ότι είναι αμοιβαία ανεξάρτητα εάν κανένα από τα χαρακτηριστικά δεν εξαρτάται λειτουργικά από τα άλλα χαρακτηριστικά. Μαθηματικά, η απουσία εξάρτησης της ιδιότητας Α από την ιδιότητα Β συμβολίζεται ως A Ø® B. Εάν πραγματοποιηθούν τα A Ø® B και B Ø® A, τότε η αμοιβαία ανεξαρτησία συμβολίζεται με A Ø = B.

Προσδιορισμός εξαρτήσεων μεταξύ ιδιοτήτων.Ο εντοπισμός εξαρτήσεων μεταξύ των χαρακτηριστικών είναι απαραίτητος για την εκτέλεση του σχεδιασμού της βάσης δεδομένων χρησιμοποιώντας τη μέθοδο των κανονικών φορμών.

Παράδειγμα.Έστω μια σχέση R με ένα σχήμα R(A1, A2, A3) της μορφής:

Είναι γνωστό εκ των προτέρων ότι υπάρχουν λειτουργικές εξαρτήσεις:

A1®A2 και A2®A3.

Από την ανάλυση είναι σαφές ότι υπάρχουν και εξαρτήσεις στη σχέση:

A1®A3, A1A2®A3, A1A2A3®A1A2, A1A2®A2A3, κ.λπ.

Στη σχέση δεν υπάρχει λειτουργική εξάρτηση του χαρακτηριστικού Α1 από το χαρακτηριστικό Α2 και από το χαρακτηριστικό Α3, δηλ.

A2 Ø® A1, A3 Ø® A1.

Η απουσία εξάρτησης του A1 από το A2 εξηγείται από το γεγονός ότι η ίδια τιμή του χαρακτηριστικού A2 (21) αντιστοιχεί σε διαφορετικές τιμές του χαρακτηριστικού A1 (12 και 17).

Όλες οι υπάρχουσες λειτουργικές εξαρτήσεις σε μια σχέση είναι πλήρες σύνολο λειτουργικών εξαρτήσεων , το οποίο συμβολίζουμε με F + . Το πλήρες σύνολο των λειτουργικών εξαρτήσεων μπορεί να συναχθεί με βάση 8 αξιώματα συμπερασμάτων: ανακλαστικότητα, ολοκλήρωση, μεταβατικότητα, επέκταση, συνέχεια, ψευδομεταβατικότητα, ένωση και αποσύνθεση.

Για τη σχέση Δάσκαλος, μπορείτε να εξαγάγετε τις ακόλουθες συναρτησιακές εξαρτήσεις:

Πλήρες όνομα ® Μισθός

Πλήρες όνομα ® Duty

Πλήρες όνομα ® Εμπειρία

Πλήρες όνομα ® Nadb

Πλήρες όνομα ® Καφ

Experience ® Nadb

Χρέος ® Μισθός

Μισθός ® Καθήκον

ΠΛΗΡΕΣ ΟΝΟΜΑ. Θέμα Group ® Μισθός

Ρύζι. 6.5.Εξαρτήσεις μεταξύ ιδιοτήτων.

Υποτίθεται ότι ένας δάσκαλος σε μια ομάδα μπορεί να διεξάγει έναν τύπο τάξης (διαλέξεις ή εργαστηριακή εργασία). Πλήρες όνομα – μοναδικό. Υπάρχει μια εξάρτηση Πλήρες Όνομα ® Εμπειρία, αλλά η αντίστροφη δήλωση δεν είναι αληθινή, γιατί Αρκετοί δάσκαλοι έχουν την ίδια εμπειρία. Όσον αφορά τις άλλες εξαρτήσεις, ο συλλογισμός είναι παρόμοιος. Δημιουργείται μια σχέση ένας προς έναν μεταξύ θέσης και μισθού.

Ένας δάσκαλος σε μια ομάδα σε διαφορετικά μαθήματα μπορεί να διεξάγει διαφορετικούς τύπους τάξεων. Ο ορισμός του Τύπου Επαγγέλματος σχετίζεται με την ένδειξη του πλήρους ονόματος, του θέματος και της ομάδας. Πράγματι, ο Petrov M.I. στην 256η ομάδα δίνει διαλέξεις και πραγματοποιεί εργαστηριακά μαθήματα, αλλά δίνει διαλέξεις για το DBMS, και εργαστηριακές εργασίες για τα Γραφικά.

Οι εξαρτήσεις μεταξύ των χαρακτηριστικών Όνομα, Θέμα και Ομάδα δεν εμφανίζονται, επειδή αποτελούν ένα σύνθετο κλειδί και δεν λαμβάνονται υπόψη στη διαδικασία κανονικοποίησης της σχέσης (πίνακας).

Κανονικές μορφές.Η διαδικασία σχεδιασμού βάσεων δεδομένων χρησιμοποιώντας κανονικές φόρμες είναι επαναληπτική και συνίσταται στη διαδοχική μεταφορά σχέσεων από την πρώτη κανονική μορφή σε κανονικές φόρμες ανώτερης τάξης. Κάθε επόμενη φόρμα περιορίζει έναν ορισμένο τύπο λειτουργικής εξάρτησης, εξαλείφει τις αντίστοιχες ανωμαλίες κατά την εκτέλεση εργασιών σε σχέσεις βάσης δεδομένων και διατηρεί τις ιδιότητες προηγούμενων μορφών.

Διακρίνεται η ακόλουθη σειρά κανονικών μορφών:

° Πρώτη κανονική μορφή (1NF).

° Δεύτερη κανονική μορφή (2NF);

° Τρίτη κανονική μορφή (3NF).

° Ενισχυμένη τρίτη κανονική μορφή ή Boyce-Codd κανονική μορφή (BCNF).

° Τέταρτη κανονική μορφή (4NF);

° Πέμπτη κανονική μορφή (5NF).

Πρώτη κανονική μορφήΜια σχέση είναι σε 1NF εάν όλα τα χαρακτηριστικά της είναι απλά (έχουν μία μόνο τιμή). Η αρχική σχέση είναι κατασκευασμένη με τέτοιο τρόπο ώστε να είναι σε 1NF.

Ο μετασχηματισμός μιας σχέσης στην επόμενη κανονική μορφή πραγματοποιείται χρησιμοποιώντας τη μέθοδο «απώλειας αποσύνθεσης», δηλ. τα ερωτήματα (δειγματοληψία δεδομένων ανά συνθήκη) στην αρχική σχέση και στις σχέσεις που προέκυψαν ως αποτέλεσμα της αποσύνθεσης θα πρέπει να δίνουν το ίδιο αποτέλεσμα.

Η κύρια λειτουργία της μεθόδου αποσύνθεσης είναι η λειτουργία προβολής.

Παράδειγμα.Έστω η σχέση R(A,B,C,D,E,...) έχει συναρτησιακή εξάρτηση C ® D. Αποσύνθεση της σχέσης R σε δύο νέες σχέσεις R1(A, B,C,E,...) και το R2(C,D) θα εξαλείψει τη λειτουργική εξάρτηση των χαρακτηριστικών και θα μεταφέρει τη σχέση R στην επόμενη κανονική μορφή. Η σχέση R2 είναι μια προβολή της σχέσης R στα χαρακτηριστικά C και D.

Η αρχική σχέση Δάσκαλος έχει ένα σύνθετο κλειδί Πλήρες όνομα, Θέμα, Ομάδακαι είναι σε 1NF. Τα χαρακτηριστικά Experience, Nadb, Caf, Duty, Salary εξαρτώνται λειτουργικά από μέρος του σύνθετου κλειδιού - το χαρακτηριστικό Πλήρες όνομα. Αυτή η μερική εξάρτηση οδηγεί σε ρητό και σιωπηρό πλεονασμό δεδομένων, γεγονός που δημιουργεί προβλήματα με την επεξεργασία δεδομένων. Μέρος του πλεονασμού εξαλείφεται μετατρέποντας τη σχέση σε 2NF.

Δεύτερη κανονική μορφή.Μια σχέση είναι σε 2NF εάν είναι σε 1NF και κάθε χαρακτηριστικό μη κλειδιού εξαρτάται πλήρως λειτουργικά από το πρωτεύον κλειδί (σύνθετο).

Για να εξαλειφθεί η μερική εξάρτηση, είναι απαραίτητο να χρησιμοποιηθεί η λειτουργία προβολής, επεκτείνοντας την αρχική σχέση σε διάφορες σχέσεις ως εξής:

° Κατασκευάστε μια προβολή χωρίς χαρακτηριστικά που εξαρτώνται εν μέρει από το πρωτεύον κλειδί.

° Κατασκευάστε προβολές σε μέρη ενός σύνθετου πρωτεύοντος κλειδιού και χαρακτηριστικά που εξαρτώνται από αυτά τα μέρη.

Ας μεταφράσουμε τη σχέση Δάσκαλος σε 2NF. Ως αποτέλεσμα, λαμβάνουμε δύο σχέσεις R1 και R2.

R1

Ρύζι. 6.6.Σχέσεις βάσης δεδομένων ΔΑΣΚΑΛΟΣ σε 2 ΣΦ

Στη σχέση R1, το πρωτεύον κλειδί είναι σύνθετο Πλήρες όνομα, Θέμα, Ομάδα, σε σχέση με το R2 το κλειδί είναι ΠΛΗΡΕΣ ΟΝΟΜΑ.Ως αποτέλεσμα, εξαλείφεται ο εμφανής πλεονασμός δεδομένων για τους εκπαιδευτικούς. Εξακολουθεί να υπάρχει σιωπηρή αντιγραφή δεδομένων στο R2.

Για περαιτέρω βελτίωση, θα μετατρέψουμε τις σχέσεις σε 3NF.

Μια σχεσιακή βάση δεδομένων περιέχει τόσο δομικές όσο και σημασιολογικές πληροφορίες. Η δομή μιας βάσης δεδομένων καθορίζεται από τον αριθμό και τον τύπο των σχέσεων που περιέχει και τις σχέσεις ένα προς πολλά που υπάρχουν μεταξύ των πλειάδων αυτών των σχέσεων. Το σημασιολογικό μέρος περιγράφει το σύνολο των λειτουργικών εξαρτήσεων που υπάρχουν μεταξύ των χαρακτηριστικών αυτών των σχέσεων. Ας ορίσουμε τη λειτουργική εξάρτηση.

Ορισμός:Εάν δίδονται δύο χαρακτηριστικά X και Y κάποιας σχέσης, τότε το Y λέγεται ότι εξαρτάται συναρτησιακά από το X εάν οποιαδήποτε στιγμή κάθε τιμή του X αντιστοιχεί ακριβώς σε μία τιμή του Y. Η συναρτησιακή εξάρτηση συμβολίζεται με X -> Y. Σημειώστε ότι τα X και Y μπορούν να αντιπροσωπεύουν όχι μόνο μεμονωμένα χαρακτηριστικά, αλλά και ομάδες που αποτελούνται από πολλά χαρακτηριστικά μιας σχέσης. Μπορούμε να πούμε ότι οι λειτουργικές εξαρτήσεις είναι σχέσεις ένα προς πολλά που υπάρχουν μέσα σε μια σχέση.

2η σχέση κανονικής μορφής (2NF). Προσδιορισμός πλήρους λειτουργικής εξάρτησης και 2NF. Χαρακτηριστικά των σχέσεων στο 2NF. Αλγόριθμος για αναγωγή σε 2NF. Θεώρημα Heath. Παραδείγματα.

Εννοιαπλήρη λειτουργική εξάρτηση.

Ορισμός: μη κλειδί χαρακτηριστικό πλήρως λειτουργικά εξαρτώμενοαπό ένα σύνθετο κλειδί εάν εξαρτάται λειτουργικά από ολόκληρο το κλειδί ως σύνολο, αλλά δεν εξαρτάται λειτουργικά από κανένα από τα συστατικά του χαρακτηριστικά.

Ορισμός: υπερβολική λειτουργική εξάρτηση- μια εξάρτηση που περιέχει πληροφορίες που μπορούν να ληφθούν με βάση άλλες εξαρτήσεις που είναι διαθέσιμες στη βάση δεδομένων.

2NF - δεύτερη κανονική μορφή.

Ορισμός δεύτερης κανονικής μορφής: μια σχέση είναι μέσα 2NF, εάν είναι σε 1NF και κάθε χαρακτηριστικό χωρίς κλειδί εξαρτάται λειτουργικά πλήρως από το κλειδί.

Ένα σχήμα βάσης δεδομένων που δεν έχει περιττές λειτουργικές εξαρτήσεις θεωρείται σωστό. Διαφορετικά, θα πρέπει να καταφύγετε στη διαδικασία της αποσύνθεσης (αποσύνθεσης) του υπάρχοντος συνόλου σχέσεων. Σε αυτήν την περίπτωση, το σύνολο που δημιουργείται περιέχει μεγαλύτερο αριθμό σχέσεων, οι οποίες είναι προβολές των σχέσεων του αρχικού συνόλου. (Η λειτουργία προβολής περιγράφεται στην ενότητα για τη σχεσιακή άλγεβρα.) Η αναστρέψιμη, βήμα προς βήμα διαδικασία αντικατάστασης ενός δεδομένου συνόλου σχέσεων με ένα άλλο σχήμα, εξαλείφοντας τις περιττές λειτουργικές εξαρτήσεις, ονομάζεται κανονικοποίηση.

Η συνθήκη αντιστρεψιμότητας απαιτεί η αποσύνθεση να διατηρεί την ισοδυναμία των κυκλωμάτων κατά την αντικατάσταση ενός κυκλώματος με ένα άλλο, δηλ. στις σχέσεις που προκύπτουν:

1) Οι πλειάδες που λείπουν προηγουμένως δεν πρέπει να εμφανίζονται.

2) οι σχέσεις του νέου σχήματος πρέπει να ικανοποιούν το αρχικό σύνολο λειτουργικών εξαρτήσεων.

Θεώρημα Heath

Ας δοθεί η σχέση.

Αν rικανοποιεί τη λειτουργική εξάρτηση, τότε ισούται με την ένωση της προβολής του και

3η σχέση κανονικής μορφής (3NF). Ορισμός μεταβατικής εξάρτησης και αλγόριθμος αναγωγής σε 3NF (BCNF). Χαρακτηριστικά των σχέσεων στο 3NF και στο NFBC. Παραδείγματα.

Λειτουργική αλληλεξάρτηση. Εάν υπάρχει μια λειτουργική εξάρτηση της μορφής Α->Β και Β->Α, τότε μεταξύ Α και Β υπάρχει αντιστοιχία ένα προς ένα, ή λειτουργική αλληλεξάρτηση, που συμβολίζεται ως Α<->Β ή Β<->ΕΝΑ.

Εάν η σχέση είναι σε 1NF, τότε όλα τα χαρακτηριστικά μη κλειδιού εξαρτώνται λειτουργικά από το κλειδί με διάφορους βαθμούς εξάρτησης.

Μερικός λειτουργικός μετρητά εξάρτηση (μερικός ομοσπονδιακός νόμος) Η εξάρτηση ενός χαρακτηριστικού χωρίς κλειδί από μέρος ενός σύνθετου κλειδιού ονομάζεται. Στην υπό εξέταση σχέση, το χαρακτηριστικό Must εξαρτάται λειτουργικά από το χαρακτηριστικό Full Name, το οποίο είναι μέρος του κλειδιού. Έτσι, το χαρακτηριστικό Must εξαρτάται εν μέρει από το κλειδί σχέσης.

Μια εναλλακτική επιλογή είναι πλήρη λειτουργική εξάρτηση γέφυρα χαρακτηριστικό non-key από ολόκληρο το σύνθετο κλειδί. Στο παράδειγμά μας, το χαρακτηριστικό ViewZan εξαρτάται πλήρως λειτουργικά από το σύνθετο κλειδί.

Το χαρακτηριστικό Γ εξαρτάται από το χαρακτηριστικό Α μεταβατικά (υπάρχει μεταβατικός ΕΞΑΡΤΗΣΗ), αν για τις ιδιότητες A, B, C πληρούνται οι προϋποθέσεις A->B και B->C, αλλά δεν υπάρχει αντίστροφη σχέση. Σε σχέση με το Σχ. 4.4 Τα χαρακτηριστικά συνδέονται με μεταβατική εξάρτηση:

Πλήρες όνομα -> Καθήκον -> Μισθός

Μπορεί να υπάρχει μια σχέση πολλαπλών τιμών μεταξύ των χαρακτηριστικών.

Σε σχέση με το R, το χαρακτηριστικό B εξαρτάται πολύ από το χαρακτηριστικό A, εάν κάθε τιμή του A αντιστοιχεί σε ένα σύνολο τιμών του B που δεν σχετίζονται με άλλα χαρακτηριστικά από το R,

Οι εξαρτήσεις πολλαπλών τιμών μπορεί να είναι «ένας προς πολλούς» (1:M), «πολλοί προς έναν» (M:1) ή «πολλοί σε πολλούς» (M:M), που συμβολίζονται ανάλογα: A => B, A<=Би А<=>ΣΙ.

Για παράδειγμα, αφήστε έναν δάσκαλο να διδάσκει πολλά μαθήματα και κάθε μάθημα μπορεί να διδάσκεται από πολλούς καθηγητές, τότε το πλήρες όνομα εξαρτάται από την τοποθεσία<=>Είδος. Έτσι, από τον πίνακα που φαίνεται στο Σχ. 4.4, είναι σαφές ότι ο δάσκαλος Ivanov I.M. διδάσκει μαθήματα σε δύο μαθήματα και η πειθαρχία DBMS διδάσκεται από δύο καθηγητές: τον I.M. Ivanov. και Petrov M.I.

Σχόλιο . Γενικά, οι εξαρτήσεις μπορούν να υπάρχουν μεταξύ δύο ιδιοτήτων μιας σχέσης: 1:1, 1:M, M:1 και M:M. Δεδομένου ότι οι εξαρτήσεις μεταξύ των χαρακτηριστικών προκαλούν ανωμαλίες, προσπαθούν να χωρίσουν τις σχέσεις με τις εξαρτήσεις χαρακτηριστικών σε πολλές σχέσεις. Ως αποτέλεσμα, σχηματίζεται ένα σύνολο σχετικών σχέσεων (πίνακες) με συνδέσεις της μορφής 1:1, 1:M, M:1 και M:M (υποενότητα 3.2). Οι σχέσεις μεταξύ πινάκων αντικατοπτρίζουν εξαρτήσεις μεταξύ ιδιοτήτων διαφορετικών σχέσεων.

Αμοιβαία ανεξάρτητα χαρακτηριστικά. Δύο ή περισσότερα χαρακτηριστικά λέγονται ότι είναι αμοιβαία ανεξάρτητα εάν κανένα από τα χαρακτηριστικά δεν εξαρτάται λειτουργικά από τα άλλα χαρακτηριστικά. Στην περίπτωση δύο ιδιοτήτων, η απουσία εξάρτησης του χαρακτηριστικού Α από το χαρακτηριστικό Β μπορεί να συμβολιστεί ως εξής: A¬->B. Η περίπτωση που τα A¬->B και B¬->A μπορούν να συμβολιστούν με A¬<->ΣΕ.

4.3.3 Αξιώματα Άρμστρονγκ

Για να προσδιορίσετε τα κλειδιά και να κατανοήσετε τις λογικές συνέπειες των λειτουργικών εξαρτήσεων στη γενική περίπτωση, είναι απαραίτητο να αξιολογήσετε το κλείσιμο φά + από φά ή τουλάχιστον να ξέρεις για ένα δεδομένο φά και λειτουργική εξάρτηση Χ Υ, περιέχεται Χ Υ V φά + . Για να το κάνετε αυτό, πρέπει να έχετε κανόνες συμπερασμάτων που καθορίζουν τον τρόπο εξαγωγής άλλων εξαρτήσεων από μία ή περισσότερες εξαρτήσεις.

Πολλοί τέτοιοι κανόνες λέγονται Τα αξιώματα του Άρμστρονγκ. Ας υποθέσουμε ότι μας δίνεται κάποιο σχήμα σχέσεων με πολλές ιδιότητες M, σετ γενικής χρήσηςχαρακτηριστικά και πολλές λειτουργικές εξαρτήσεις φά, συνδέοντας μόνο τα χαρακτηριστικά που ανήκουν σε Μ.Τότε έχουμε τους ακόλουθους κανόνες συμπερασμάτων (αξιώματα):

Α'1: (αντανακλαστικότητα).Αν Υ ≤ Χ ≤ Μ, λοιπόνΧ Υ λογικά προκύπτει από φά. Σημειώστε ότι αυτός ο κανόνας δίνει ασήμαντες εξαρτήσεις,δηλαδή εξαρτήσεις των οποίων η δεξιά πλευρά περιέχεται στην αριστερή πλευρά. Η χρήση του δεν εξαρτάται από φά.

Α2: (αναπλήρωση).Αν ΧΥ και Ζ≤ Μ, Οτι Χ U Ζ  Υ U Ζ . Είναι σημαντικό να θυμάστε ότι αυτή η εξάρτηση ΧΥ είτε ανήκει φά, ή μπορεί να προέρχεται από το ανήκειν φά εξαρτήσεις χρησιμοποιώντας τα περιγραφόμενα αξιώματα.

A3: (μεταβατικότητα).Αν ΧΥ Και ΥΖ, λοιπόν ΧΖ.

Είναι σχετικά εύκολο να αποδειχθεί ότι τα αξιώματα του Άρμστρονγκ είναι αξιόπιστα, δηλαδή οδηγούν μόνο σε αληθινά συμπεράσματα. Αυτό σημαίνει ότι από τη χρήση τους δεν μπορούμε να συμπεράνουμε φά οποιαδήποτε εξάρτηση που δεν ανήκει φά + . Είναι πιο δύσκολο να αποδειχθεί η πληρότητά τους, πράγμα που σημαίνει ότι αυτά τα αξιώματα μπορούν να χρησιμοποιηθούν για την απόκτηση κάθε έγκυρης συνέπειας των εξαρτήσεων. Αυτό σημαίνει ότι για ένα δεδομένο σύνολο εξαρτήσεων φά οι κανόνες μας επιτρέπουν να συμπεράνουμε όλες τις εξαρτήσεις που ανήκουν σε φά + .

Από τα αξιώματα ΆρμστρονγκΠροκύπτουν 5 ακόμη αξιώματα (επέκταση, συνέχεια, ψευδομεταβατικότητα, ένωση και αποσύνθεση) που χρησιμοποιούνται για την κατασκευή της πλήρους οικογένειας Ομοσπονδιακός νόμος.