Μετατροπέας αριθμών από δεκαδικό σε δυαδικό. Μετάφραση αριθμητικών συστημάτων. Μετατροπή κανονικών δεκαδικών κλασμάτων σε οποιοδήποτε άλλο σύστημα αριθμών
Μπορείτε να εισαγάγετε και ακέραιους αριθμούς, για παράδειγμα 34, και κλασματικούς αριθμούς, για παράδειγμα, 637.333. Για τους κλασματικούς αριθμούς, υποδεικνύεται η ακρίβεια μετάφρασης μετά την υποδιαστολή.
Τα ακόλουθα χρησιμοποιούνται επίσης με αυτήν την αριθμομηχανή:
Τρόποι αναπαράστασης αριθμών
Δυάδικος (δυαδικοί) αριθμοί - κάθε ψηφίο σημαίνει την τιμή ενός bit (0 ή 1), το πιο σημαντικό bit γράφεται πάντα στα αριστερά, το γράμμα "b" τοποθετείται μετά τον αριθμό. Για ευκολία αντίληψης, τα σημειωματάρια μπορούν να χωριστούν με κενά. Για παράδειγμα, 1010 0101b.Δεκαεξαδικό (δεκαεξαδικοί) αριθμοί - κάθε τετράδα αντιπροσωπεύεται από ένα σύμβολο 0...9, A, B, ..., F. Αυτή η αναπαράσταση μπορεί να οριστεί με διαφορετικούς τρόπους εδώ μόνο το σύμβολο "h" χρησιμοποιείται μετά το τελευταίο δεκαεξαδικό ψηφίο. Για παράδειγμα, A5h. Στα κείμενα του προγράμματος, ο ίδιος αριθμός μπορεί να οριστεί είτε ως 0xA5 είτε ως 0A5h, ανάλογα με τη σύνταξη της γλώσσας προγραμματισμού. Ένα αρχικό μηδέν (0) προστίθεται στα αριστερά του πιο σημαντικού δεκαεξαδικού ψηφίου που αντιπροσωπεύεται από το γράμμα για τη διάκριση μεταξύ αριθμών και συμβολικών ονομάτων.
Δεκαδικός (δεκαδικοί) αριθμοί - κάθε byte (λέξη, διπλή λέξη) αντιπροσωπεύεται από έναν κανονικό αριθμό και το σύμβολο δεκαδική παράσταση(το γράμμα «δ») συνήθως παραλείπεται. Το byte στα προηγούμενα παραδείγματα έχει δεκαδική τιμή 165. Σε αντίθεση με τον δυαδικό και δεκαεξαδικό συμβολισμό, το δεκαδικό είναι δύσκολο να προσδιοριστεί νοερά η τιμή κάθε bit, κάτι που μερικές φορές είναι απαραίτητο.
Οκτάεδρος (οκταδικοί) αριθμοί - κάθε τριπλό bit (η διαίρεση ξεκινά από το λιγότερο σημαντικό) γράφεται ως αριθμός 0–7, με ένα «o» στο τέλος. Ο ίδιος αριθμός θα γραφόταν ως 245ο. Το οκταδικό σύστημα δεν είναι βολικό επειδή το byte δεν μπορεί να διαιρεθεί ίσα.
Αλγόριθμος για τη μετατροπή αριθμών από ένα σύστημα αριθμών σε άλλο
Η μετατροπή ακέραιων δεκαδικών αριθμών σε οποιοδήποτε άλλο σύστημα αριθμών πραγματοποιείται με διαίρεση του αριθμού με τη βάση νέο σύστημααρίθμηση μέχρι το υπόλοιπο να παραμείνει αριθμός μικρότερος από τη βάση του νέου συστήματος αριθμών. Ο νέος αριθμός γράφεται ως υπολείμματα διαίρεσης, ξεκινώντας από τον τελευταίο.Η μετατροπή ενός κανονικού δεκαδικού κλάσματος σε άλλο PSS πραγματοποιείται πολλαπλασιάζοντας μόνο το κλασματικό μέρος του αριθμού με τη βάση του νέου συστήματος αριθμών έως ότου παραμείνουν όλα τα μηδενικά στο κλασματικό μέρος ή μέχρι να επιτευχθεί η καθορισμένη ακρίβεια μετάφρασης. Ως αποτέλεσμα κάθε λειτουργίας πολλαπλασιασμού, σχηματίζεται ένα ψηφίο ενός νέου αριθμού, ξεκινώντας από το υψηλότερο.
Η ακατάλληλη μετάφραση κλασμάτων πραγματοποιείται σύμφωνα με τους κανόνες 1 και 2. Φιλιά και κλασματικό μέροςγραμμένα μαζί, χωρισμένα με κόμμα.
Παράδειγμα Νο. 1. 
Μετατροπή από 2 σε 8 σε 16 αριθμητικό σύστημα.
Αυτά τα συστήματα είναι πολλαπλάσια των δύο, επομένως η μετάφραση πραγματοποιείται χρησιμοποιώντας έναν πίνακα αντιστοιχίας (βλ. παρακάτω).
Για να μετατρέψετε έναν αριθμό από το δυαδικό σύστημα αριθμών στο οκταδικό (δεκαεξαδικό) σύστημα αριθμών, είναι απαραίτητο να διαιρέσετε τον δυαδικό αριθμό από την υποδιαστολή δεξιά και αριστερά σε ομάδες των τριών (τέσσερα για δεκαεξαδικό) ψηφία, συμπληρώνοντας τις εξωτερικές ομάδες με μηδενικά αν χρειαστεί. Κάθε ομάδα αντικαθίσταται από το αντίστοιχο οκταδικό ή δεκαεξαδικό ψηφίο.
Παράδειγμα Νο. 2. 1010111010.1011 = 1.010.111.010.101.1 = 1272.51 8
εδώ 001=1; 010=2; 111=7; 010=2; 101=5; 001=1
Κατά τη μεταφορά σε δεκαεξαδικό σύστημαείναι απαραίτητο να διαιρέσετε τον αριθμό σε μέρη τεσσάρων ψηφίων, ακολουθώντας τους ίδιους κανόνες.
Παράδειγμα Νο. 3. 1010111010,1011 = 10.1011.1010,1011 = 2B12,13 HEX
εδώ 0010=2; 1011=B; 1010=12; 1011=13
Η μετατροπή των αριθμών από το 2, το 8 και το 16 στο δεκαδικό σύστημα πραγματοποιείται σπάζοντας τον αριθμό σε μεμονωμένους και πολλαπλασιάζοντάς τον με τη βάση του συστήματος (από την οποία μεταφράζεται ο αριθμός) που αυξάνεται στην ισχύ που αντιστοιχεί στον αύξοντα αριθμό του ο αριθμός που μετατρέπεται. Σε αυτήν την περίπτωση, οι αριθμοί αριθμούνται στα αριστερά της υποδιαστολής (ο πρώτος αριθμός αριθμείται 0) με αύξουσα σειρά και σε σωστη πλευραμε φθίνουσα (δηλαδή με αρνητικό πρόσημο). Τα αποτελέσματα που λαμβάνονται αθροίζονται.
Παράδειγμα αρ. 4.
Ένα παράδειγμα μετατροπής από δυαδικό σε δεκαδικό σύστημα αριθμών.
1010010.101 2 = 1·2 6 +0·2 5 +1·2 4 +0·2 3 +0·2 2 +1·2 1 +0·2 0 + 1·2 -1 +0·2 - 2 + 1 2 -3 =
= 64+0+16+0+0+2+0+0,5+0+0,125 = 82,625 10 Παράδειγμα μετατροπής από οκταδικό σε δεκαδικό σύστημα αριθμών. 108,5 8 = 1*·8 2 +0·8 1 +8·8 0 + 5·8 -1 = 64+0+8+0,625 = 72,625 10 Παράδειγμα μετατροπής από δεκαεξαδικό σε δεκαδικό σύστημα αριθμών. 108,5 16 = 1·16 2 +0·16 1 +8·16 0 + 5·16 -1 = 256+0+8+0,3125 = 264,3125 10
Για άλλη μια φορά επαναλαμβάνουμε τον αλγόριθμο για τη μετατροπή αριθμών από ένα σύστημα αριθμών σε ένα άλλο PSS
- Από μετρικό σύστημασημειογραφία:
- διαιρέστε τον αριθμό με τη βάση του συστήματος αριθμών που μεταφράζεται.
- Να βρείτε το υπόλοιπο κατά τη διαίρεση ενός ακέραιου μέρους ενός αριθμού.
- καταγράψτε όλα τα υπόλοιπα από τη διαίρεση με αντίστροφη σειρά.
- Από το δυαδικό σύστημα αριθμών
- Για τη μετατροπή στο δεκαδικό σύστημα αριθμών, είναι απαραίτητο να βρεθεί το άθροισμα των γινομένων της βάσης 2 με τον αντίστοιχο βαθμό ψηφίου.
- Για να μετατρέψετε έναν αριθμό σε οκταδικό, πρέπει να χωρίσετε τον αριθμό σε τριάδες.
Για παράδειγμα, 1000110 = 1.000 110 = 106 8 - Για να μετατρέψετε έναν αριθμό από δυαδικό σε δεκαεξαδικό, πρέπει να διαιρέσετε τον αριθμό σε ομάδες των 4 ψηφίων.
Για παράδειγμα, 1000110 = 100 0110 = 46 16
Πίνακας αντιστοιχίας συστήματος αριθμών:
| Δυαδικό SS | Δεκαεξαδικό SS |
| 0000 | 0 |
| 0001 | 1 |
| 0010 | 2 |
| 0011 | 3 |
| 0100 | 4 |
| 0101 | 5 |
| 0110 | 6 |
| 0111 | 7 |
| 1000 | 8 |
| 1001 | 9 |
| 1010 | ΕΝΑ |
| 1011 | σι |
| 1100 | ντο |
| 1101 | ρε |
| 1110 | μι |
| 1111 | φά |
Πίνακας για μετατροπή σε οκταδικό αριθμητικό σύστημα
Μέθοδοι μετατροπής αριθμών από ένα σύστημα αριθμών σε άλλο.
Μετατροπή αριθμών από ένα σύστημα αριθμών θέσης σε άλλο: μετατροπή ακεραίων.
Για να μετατρέψετε έναν ακέραιο από ένα σύστημα αριθμών με βάση d1 σε άλλο με βάση d2, πρέπει να διαιρέσετε διαδοχικά αυτόν τον αριθμό και τα πηλίκα που προκύπτουν με τη βάση d2 του νέου συστήματος μέχρι να λάβετε ένα πηλίκο μικρότερο από τη βάση d2. Το τελευταίο πηλίκο είναι το πιο σημαντικό ψηφίο ενός αριθμού στο νέο σύστημα αριθμών με βάση d2 και τα ψηφία που ακολουθούν είναι υπολείμματα από τη διαίρεση, γραμμένα με την αντίστροφη σειρά της λήψης τους. Αριθμητικές πράξειςεκτελέστε στο σύστημα αριθμών στο οποίο είναι γραμμένος ο αριθμός που μεταφράζεται.
Παράδειγμα 1. Μετατρέψτε τον αριθμό 11(10) σε δυαδικό σύστημαΥπολογισμός.
Απάντηση: 11(10)=1011(2).
Παράδειγμα 2. Μετατρέψτε τον αριθμό 122(10) στο οκταδικό σύστημα αριθμών.
Απάντηση: 122(10)=172(8).
Παράδειγμα 3. Μετατρέψτε τον αριθμό 500(10) σε δεκαεξαδικό σύστημα αριθμών.
Απάντηση: 500(10)=1F4(16).
Μετατροπή αριθμών από ένα σύστημα αριθμών θέσης σε ένα άλλο: μετατροπή κατάλληλων κλασμάτων.
Για να μετατρέψετε ένα σωστό κλάσμα από ένα σύστημα αριθμών με βάση d1 σε σύστημα με βάση d2, είναι απαραίτητο να πολλαπλασιάσετε διαδοχικά το αρχικό κλάσμα και τα κλασματικά μέρη των προϊόντων που προκύπτουν με τη βάση του νέου συστήματος αριθμών d2. Το σωστό κλάσμα ενός αριθμού στο νέο σύστημα αριθμών με βάση d2 σχηματίζεται με τη μορφή ακέραιων μερών των γινομένων που προκύπτουν, ξεκινώντας από το πρώτο.
Εάν η μετάφραση έχει ως αποτέλεσμα ένα κλάσμα με τη μορφή άπειρης ή αποκλίνουσας σειράς, η διαδικασία μπορεί να ολοκληρωθεί όταν επιτευχθεί η απαιτούμενη ακρίβεια.
Κατά τη μετάφραση μικτών αριθμών, είναι απαραίτητο να μεταφράσετε ξεχωριστά τα ακέραια και τα κλασματικά μέρη σε ένα νέο σύστημα σύμφωνα με τους κανόνες για τη μετάφραση ακεραίων και κατάλληλων κλασμάτων και στη συνέχεια να συνδυάσετε και τα δύο αποτελέσματα σε έναν μικτό αριθμό στο νέο σύστημα αριθμών.
Παράδειγμα 1. Μετατρέψτε τον αριθμό 0,625(10) στο δυαδικό σύστημα αριθμών.
Απάντηση: 0,625(10)=0,101(2).
Παράδειγμα 2. Μετατρέψτε τον αριθμό 0,6(10) στο οκταδικό σύστημα αριθμών.
Απάντηση: 0,6(10)=0,463(8).
Παράδειγμα 2. Μετατρέψτε τον αριθμό 0,7(10) σε δεκαεξαδικό σύστημα αριθμών.
Απάντηση: 0,7(10)=0,B333(16).
Μετατρέψτε δυαδικούς, οκταδικούς και δεκαεξαδικούς αριθμούς στο δεκαδικό σύστημα αριθμών.
Για να μετατρέψετε έναν αριθμό από το σύστημα P-ary σε δεκαδικό, πρέπει να χρησιμοποιήσετε τον ακόλουθο τύποαποσυνθέσεις:
ανάν-1…а1а0=аnPn+ аn-1Pn-1+…+ а1P+a0 .
Παράδειγμα 1. Μετατρέψτε τον αριθμό 101.11(2) στο δεκαδικό σύστημα αριθμών.
Απάντηση: 101.11(2)= 5.75(10) .
Παράδειγμα 2. Μετατρέψτε τον αριθμό 57.24(8) στο δεκαδικό σύστημα αριθμών.
Απάντηση: 57,24(8) = 47,3125(10) .
Παράδειγμα 3. Μετατρέψτε τον αριθμό 7A,84(16) στο δεκαδικό σύστημα αριθμών.
Απάντηση: 7A.84(16)= 122.515625(10) .
Μετατροπή οκταδικών και δεκαεξαδικών αριθμών στο δυαδικό σύστημα αριθμών και αντίστροφα.
Για να μετατρέψετε έναν αριθμό από το οκταδικό σύστημα αριθμών σε δυαδικό, κάθε ψηφίο αυτού του αριθμού πρέπει να γραφεί ως τριψήφιος δυαδικός αριθμός (τριάδα).
Παράδειγμα: γράψτε τον αριθμό 16.24(8) στο δυαδικό σύστημα αριθμών.
Απάντηση: 16.24(8)= 1110.0101(2) .
Για αντίστροφη μεταφορά δυάδικος αριθμόςστο σύστημα οκταδικών αριθμών, πρέπει να διαιρέσετε τον αρχικό αριθμό σε τριάδες αριστερά και δεξιά της υποδιαστολής και να αναπαραστήσετε κάθε ομάδα με έναν αριθμό στο σύστημα οκταδικών αριθμών. Οι ακραίες ημιτελείς τριάδες συμπληρώνονται με μηδενικά.
Παράδειγμα: γράψτε τον αριθμό 1110.0101(2) στο οκταδικό σύστημα αριθμών.
Απάντηση: 1110.0101(2)= 16.24(8) .
Για να μετατρέψετε έναν αριθμό από το δεκαεξαδικό σύστημα αριθμών στο δυαδικό σύστημα, πρέπει να γράψετε κάθε ψηφίο αυτού του αριθμού ως τετραψήφιο δυαδικό αριθμό (τετράδα).
Παράδειγμα: γράψτε τον αριθμό 7A,7E(16) στο δυαδικό σύστημα αριθμών. 
Απάντηση: 7A,7E(16)= 1111010.0111111(2) .
Σημείωση: τα μηδενικά που αρχίζουν στα αριστερά για ακέραιους αριθμούς και στα δεξιά για τα κλάσματα δεν γράφονται.
Για να μετατρέψετε έναν δυαδικό αριθμό ξανά στο δεκαεξαδικό σύστημα αριθμών, πρέπει να διαιρέσετε τον αρχικό αριθμό σε τετράδια αριστερά και δεξιά της υποδιαστολής και να αναπαραστήσετε κάθε ομάδα με ένα ψηφίο στο δεκαεξαδικό σύστημα αριθμών. Οι ακραίες ημιτελείς τριάδες συμπληρώνονται με μηδενικά.
Παράδειγμα: γράψτε τον αριθμό 1111010.0111111(2) σε δεκαεξαδικό σύστημα αριθμών.
Η αριθμομηχανή σάς επιτρέπει να μετατρέπετε ακέραιους και κλασματικούς αριθμούς από ένα σύστημα αριθμών σε άλλο. Η βάση του συστήματος αριθμών δεν μπορεί να είναι μικρότερη από 2 και μεγαλύτερη από 36 (10 ψηφία και 26 Λατινικά γράμματαπαρά όλα αυτά). Το μήκος των αριθμών δεν πρέπει να υπερβαίνει τους 30 χαρακτήρες. Για να εισαγάγετε κλασματικούς αριθμούς, χρησιμοποιήστε το σύμβολο. ή, . Για να μετατρέψετε έναν αριθμό από ένα σύστημα σε άλλο, εισαγάγετε τον αρχικό αριθμό στο πρώτο πεδίο, ρίζα αρχικό σύστηματον αριθμό στο δεύτερο και τη βάση του συστήματος αριθμών στο οποίο θέλετε να μετατρέψετε τον αριθμό στο τρίτο πεδίο και, στη συνέχεια, κάντε κλικ στο κουμπί "Λήψη εγγραφής".
Αρχικός αριθμός γραμμένο σε 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 -ο αριθμητικό σύστημα.
Θέλω να γράψω έναν αριθμό 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 -ο αριθμητικό σύστημα.
Λάβετε είσοδο
Ολοκληρωμένες μεταφράσεις: 1237182
Αριθμητικά συστήματα
Τα συστήματα αριθμών χωρίζονται σε δύο τύπους: θέσεωςΚαι όχι θέσεις. Χρησιμοποιούμε το αραβικό σύστημα, είναι θέσιο, αλλά υπάρχει και το ρωμαϊκό σύστημα - δεν είναι θέσιο. Στα συστήματα θέσεων, η θέση ενός ψηφίου σε έναν αριθμό καθορίζει μοναδικά την τιμή αυτού του αριθμού. Αυτό είναι εύκολο να γίνει κατανοητό κοιτάζοντας κάποιο αριθμό ως παράδειγμα.
Παράδειγμα 1. Ας πάρουμε τον αριθμό 5921 στο δεκαδικό σύστημα αριθμών. Ας αριθμήσουμε τον αριθμό από τα δεξιά προς τα αριστερά ξεκινώντας από το μηδέν:
Ο αριθμός 5921 μπορεί να γραφτεί με την εξής μορφή: 5921 = 5000+900+20+1 = 5·10 3 +9·10 2 +2·10 1 +1·10 0 . Ο αριθμός 10 είναι ένα χαρακτηριστικό που καθορίζει το σύστημα αριθμών. Οι τιμές της θέσης ενός δεδομένου αριθμού λαμβάνονται ως δυνάμεις.
Παράδειγμα 2. Σκεφτείτε το πραγματικό δεκαδικός αριθμός 1234.567. Ας τον αριθμήσουμε ξεκινώντας από τη μηδενική θέση του αριθμού από την υποδιαστολή προς τα αριστερά και προς τα δεξιά:
Ο αριθμός 1234.567 μπορεί να γραφτεί με την εξής μορφή: 1234.567 = 1000+200+30+4+0.5+0.06+0.007 = 1·10 3 +2·10 2 +3·10 1 +4·10 0 +5·10 -1 + 6·10 -2 +7·10 -3 .
Μετατροπή αριθμών από ένα σύστημα αριθμών σε άλλο
Πλέον με απλό τρόποΗ μετατροπή ενός αριθμού από ένα σύστημα αριθμών σε ένα άλλο σημαίνει πρώτα μετατροπή του αριθμού σε δεκαδικό σύστημα αριθμών και, στη συνέχεια, το αποτέλεσμα που προκύπτει στο απαιτούμενο σύστημα αριθμών.
Μετατροπή αριθμών από οποιοδήποτε σύστημα αριθμών στο δεκαδικό σύστημα αριθμών
Για να μετατρέψετε έναν αριθμό από οποιοδήποτε σύστημα αριθμών σε δεκαδικό, αρκεί να αριθμήσετε τα ψηφία του, ξεκινώντας από το μηδέν (το ψηφίο στα αριστερά της υποδιαστολής) παρόμοια με τα παραδείγματα 1 ή 2. Ας βρούμε το άθροισμα των γινομένων των ψηφίων του αριθμού από τη βάση του συστήματος αριθμών στη δύναμη της θέσης αυτού του ψηφίου:
1.
Μετατρέψτε τον αριθμό 1001101.1101 2 στο δεκαδικό σύστημα αριθμών.
Λύση: 10011.1101 2 = 1·2 4 +0·2 3 +0·2 2 +1·2 1 +1·2 0 +1·2 -1 +1·2 -2 +0·2 -3 +1·2 - 4 = 16+2+1+0,5+0,25+0,0625 = 19,8125 10
Απάντηση: 10011.1101 2 = 19.8125 10
2.
Μετατρέψτε τον αριθμό E8F.2D 16 στο σύστημα δεκαδικών αριθμών.
Λύση: E8F.2D 16 = 14·16 2 +8·16 1 +15·16 0 +2·16 -1 +13·16 -2 = 3584+128+15+0,125+0,05078125 = 3727,17578125 10
Απάντηση: E8F.2D 16 = 3727.17578125 10
Μετατροπή αριθμών από το δεκαδικό σύστημα αριθμών σε άλλο σύστημα αριθμών
Για να μετατρέψετε αριθμούς από το δεκαδικό σύστημα αριθμών σε άλλο σύστημα αριθμών, τα ακέραια και τα κλασματικά μέρη του αριθμού πρέπει να μετατραπούν χωριστά.
Μετατροπή ακέραιου μέρους ενός αριθμού από δεκαδικό σύστημα αριθμών σε άλλο σύστημα αριθμών
Ένα ακέραιο μέρος μετατρέπεται από ένα δεκαδικό σύστημα αριθμών σε ένα άλλο σύστημα αριθμών διαιρώντας διαδοχικά το ακέραιο μέρος ενός αριθμού με τη βάση του συστήματος αριθμών έως ότου ληφθεί ένα ακέραιο υπόλοιπο που είναι μικρότερο από τη βάση του συστήματος αριθμών. Το αποτέλεσμα της μετάφρασης θα είναι μια καταγραφή των υπολοίπων, ξεκινώντας από την τελευταία.
3.
Μετατρέψτε τον αριθμό 273 10 στο οκταδικό σύστημα αριθμών.
Λύση: 273 / 8 = 34 και υπόλοιπο 1. 34 / 8 = 4 και υπόλοιπο 2. 4 είναι μικρότερο από 8, οπότε ο υπολογισμός έχει ολοκληρωθεί. Το ρεκόρ από το υπόλοιπο θα έχει επόμενη προβολή: 421
Εξέταση: 4·8 2 +2·8 1 +1·8 0 = 256+16+1 = 273 = 273, το αποτέλεσμα είναι το ίδιο. Αυτό σημαίνει ότι η μετάφραση έγινε σωστά.
Απάντηση: 273 10 = 421 8
Ας εξετάσουμε τη μετάφραση του σωστού δεκαδικάσε διαφορετικά συστήματα αριθμών.
Μετατροπή του κλασματικού μέρους ενός αριθμού από το δεκαδικό σύστημα αριθμών σε άλλο σύστημα αριθμών
Θυμηθείτε ότι ένα σωστό δεκαδικό κλάσμα ονομάζεται πραγματικός αριθμόςμε μηδενικό ακέραιο μέρος. Για να μετατρέψετε έναν τέτοιο αριθμό σε ένα σύστημα αριθμών με βάση Ν, πρέπει να πολλαπλασιάσετε διαδοχικά τον αριθμό με το Ν μέχρι το κλασματικό μέρος να μηδενιστεί ή να ληφθεί ο απαιτούμενος αριθμός ψηφίων. Αν ο πολλαπλασιασμός έχει ως αποτέλεσμα έναν αριθμό με ακέραιο μέρος εκτός από το μηδέν, τότε ολόκληρο μέροςδεν λαμβάνεται περαιτέρω υπόψη, αφού εισάγεται διαδοχικά στο αποτέλεσμα.
4.
Μετατρέψτε τον αριθμό 0,125 10 στο δυαδικό σύστημα αριθμών.
Λύση: 0,125·2 = 0,25 (0 είναι το ακέραιο μέρος, που θα γίνει το πρώτο ψηφίο του αποτελέσματος), 0,25·2 = 0,5 (0 είναι το δεύτερο ψηφίο του αποτελέσματος), 0,5·2 = 1,0 (1 είναι το τρίτο ψηφίο του αποτελέσματος, και εφόσον το κλασματικό μέρος είναι μηδέν, τότε η μετάφραση ολοκληρώνεται).
Απάντηση: 0.125 10 = 0.001 2
Σημείωση 1
Εάν θέλετε να μετατρέψετε έναν αριθμό από ένα σύστημα αριθμών σε άλλο, τότε είναι πιο βολικό να τον μετατρέψετε πρώτα στο δεκαδικό σύστημα αριθμών και μόνο στη συνέχεια να τον μετατρέψετε από το δεκαδικό σύστημα αριθμών σε οποιοδήποτε άλλο σύστημα αριθμών.
Κανόνες μετατροπής αριθμών από οποιοδήποτε σύστημα αριθμών σε δεκαδικό
ΣΕ τεχνολογία υπολογιστών, χρησιμοποιώντας την αριθμητική μηχανής, σημαντικό ρόλο παίζει η μετατροπή αριθμών από ένα σύστημα αριθμών σε άλλο. Παρακάτω δίνουμε τους βασικούς κανόνες για τέτοιους μετασχηματισμούς (μεταφράσεις).
Κατά τη μετατροπή ενός δυαδικού αριθμού σε δεκαδικό, απαιτείται η αναπαράσταση του δυαδικού αριθμού ως πολυώνυμο, κάθε στοιχείο του οποίου αναπαρίσταται ως το γινόμενο ενός ψηφίου του αριθμού και της αντίστοιχης ισχύος του βασικού αριθμού, σε σε αυτήν την περίπτωση$2$ και, στη συνέχεια, πρέπει να υπολογίσετε το πολυώνυμο χρησιμοποιώντας τους κανόνες της δεκαδικής αριθμητικής:
$X_2=A_n \cdot 2^(n-1) + A_(n-1) \cdot 2^(n-2) + A_(n-2) \cdot 2^(n-3) + ... + A_2 \cdot 2^1 + A_1 \cdot 2^0$
Εικόνα 1. Πίνακας 1
Παράδειγμα 1
Μετατρέψτε τον αριθμό $11110101_2$ στο δεκαδικό σύστημα αριθμών.
Λύση.Χρησιμοποιώντας τον δεδομένο πίνακα με τις δυνάμεις $1$ της βάσης $2$, αντιπροσωπεύουμε τον αριθμό ως πολυώνυμο:
$11110101_2 = 1 \cdot 27 + 1 \cdot 26 + 1 \cdot 25 + 1 \cdot 24 + 0 \cdot 23 + 1 \cdot 22 + 0 \cdot 21 + 1 \cdot 20 = 616 + 128 + 0 + 4 + 0 + 1 = 245_(10)$
Για να μετατρέψετε έναν αριθμό από το οκταδικό σύστημα αριθμών στο δεκαδικό σύστημα αριθμών, πρέπει να τον αναπαραστήσετε ως πολυώνυμο, κάθε στοιχείο του οποίου αναπαρίσταται ως το γινόμενο ενός ψηφίου του αριθμού και της αντίστοιχης ισχύος του βασικού αριθμού, σε αυτό περίπτωση $8$ και, στη συνέχεια, πρέπει να υπολογίσετε το πολυώνυμο σύμφωνα με τους κανόνες της δεκαδικής αριθμητικής:
$X_8 = A_n \cdot 8^(n-1) + A_(n-1) \cdot 8^(n-2) + A_(n-2) \cdot 8^(n-3) + ... + A_2 \cdot 8^1 + A_1 \cdot 8^0$
Εικόνα 2. Πίνακας 2
Παράδειγμα 2
Μετατρέψτε τον αριθμό $75013_8$ στο σύστημα δεκαδικών αριθμών.
Λύση.Χρησιμοποιώντας τον δεδομένο πίνακα με τις δυνάμεις $2$ της βάσης $8$, αντιπροσωπεύουμε τον αριθμό ως πολυώνυμο:
75013_8 $ = 7\cdot 8^4 + 5 \cdot 8^3 + 0 \cdot 8^2 + 1 \cdot 8^1 + 3 \cdot 8^0 = 31243_(10)$
Για να μετατρέψετε έναν αριθμό από δεκαεξαδικό σε δεκαδικό, πρέπει να τον αναπαραστήσετε ως πολυώνυμο, κάθε στοιχείο του οποίου αντιπροσωπεύεται ως το γινόμενο ενός ψηφίου του αριθμού και της αντίστοιχης ισχύος του βασικού αριθμού, σε αυτήν την περίπτωση $16$, και στη συνέχεια πρέπει να υπολογίσετε το πολυώνυμο σύμφωνα με τους κανόνες της δεκαδικής αριθμητικής:
$X_(16) = A_n \cdot 16^(n-1) + A_(n-1) \cdot 16^(n-2) + A_(n-2) \cdot 16^(n-3) + . .. + A_2 \cdot 16^1 + A_1 \cdot 16^0$
Εικόνα 3. Πίνακας 3
Παράδειγμα 3
Μετατρέψτε τον αριθμό $FFA2_(16)$ στο δεκαδικό σύστημα αριθμών.
Λύση.Χρησιμοποιώντας τον δεδομένο πίνακα με τις δυνάμεις $3$ της βάσης $8$, αντιπροσωπεύουμε τον αριθμό ως πολυώνυμο:
$FFA2_(16) = 15 \cdot 16^3 + 15 \cdot 16^2 + 10 \cdot 16^1 + 2 \cdot 16^0 =61440 + 3840 + 160 + 2 = 65442_(10)$
Κανόνες μετατροπής αριθμών από το δεκαδικό σύστημα αριθμών σε άλλο
- Για να μετατρέψετε έναν αριθμό από το δεκαδικό σύστημα αριθμών στο δυαδικό σύστημα, πρέπει να διαιρεθεί διαδοχικά με $2$ έως ότου υπάρχει υπόλοιπο μικρότερο ή ίσο με $1$. Να αναπαραστήσετε έναν αριθμό στο δυαδικό σύστημα ως ακολουθία τελευταίο αποτέλεσμαδιαίρεση και υπολείμματα από τη διαίρεση με αντίστροφη σειρά.
Παράδειγμα 4
Μετατρέψτε τον αριθμό $22_(10)$ στο δυαδικό σύστημα αριθμών.
Λύση:
Εικόνα 4.
$22_{10} = 10110_2$
- Για να μετατρέψετε έναν αριθμό από το σύστημα δεκαδικών αριθμών σε οκταδικό, πρέπει να διαιρεθεί διαδοχικά με $8$ μέχρι να υπάρξει υπόλοιπο μικρότερο ή ίσο με $7$. Ένας αριθμός στο οκταδικό σύστημα αριθμών αναπαρίσταται ως μια ακολουθία ψηφίων του αποτελέσματος της τελευταίας διαίρεσης και των υπολοίπων από τη διαίρεση με αντίστροφη σειρά.
Παράδειγμα 5
Μετατρέψτε τον αριθμό $571_(10)$ στο οκταδικό σύστημα αριθμών.
Λύση:
Εικόνα 5.
$571_{10} = 1073_8$
- Για να μετατρέψετε έναν αριθμό από το δεκαδικό σύστημα αριθμών στο δεκαεξαδικό σύστημα, πρέπει να διαιρεθεί διαδοχικά με $16$ έως ότου υπάρξει ένα υπόλοιπο μικρότερο ή ίσο με $15$. Ένας αριθμός στο δεκαεξαδικό σύστημα αντιπροσωπεύεται ως μια ακολουθία ψηφίων του αποτελέσματος της τελευταίας διαίρεσης και του υπόλοιπου της διαίρεσης με αντίστροφη σειρά.
Παράδειγμα 6
Μετατρέψτε τον αριθμό $7467_(10)$ σε δεκαεξαδικό σύστημα αριθμών.
Λύση:
Εικόνα 6.
$7467_(10) = 1D2B_(16)$
Προκειμένου να μετατραπεί ένα σωστό κλάσμα από ένα σύστημα δεκαδικών αριθμών σε ένα μη δεκαδικό σύστημα αριθμών, είναι απαραίτητο να πολλαπλασιαστεί διαδοχικά το κλασματικό μέρος του αριθμού που μετατρέπεται με τη βάση του συστήματος στο οποίο πρέπει να μετατραπεί. Τα κλάσματα στο νέο σύστημα θα αντιπροσωπεύονται ως ολόκληρα μέρη προϊόντων, ξεκινώντας από το πρώτο.
Για παράδειγμα: $0,3125_((10))$ στο σύστημα οκταδικών αριθμών θα μοιάζει με $0,24_((8))$.
Σε αυτήν την περίπτωση, μπορεί να αντιμετωπίσετε πρόβλημα όταν ένα πεπερασμένο δεκαδικό κλάσμα μπορεί να αντιστοιχεί σε ένα άπειρο (περιοδικό) κλάσμα στο μη δεκαδικό σύστημα αριθμών. Σε αυτήν την περίπτωση, ο αριθμός των ψηφίων στο κλάσμα που αντιπροσωπεύεται στο νέο σύστημα θα εξαρτηθεί από την απαιτούμενη ακρίβεια. Θα πρέπει επίσης να σημειωθεί ότι οι ακέραιοι παραμένουν ακέραιοι και τα σωστά κλάσματα παραμένουν κλάσματα σε οποιοδήποτε σύστημα αριθμών.
Κανόνες μετατροπής αριθμών από δυαδικό σύστημα αριθμών σε άλλο
- Για να μετατρέψετε έναν αριθμό από το δυαδικό σύστημα αριθμών σε οκταδικό, πρέπει να διαιρεθεί σε τριάδες (τριπλάσια ψηφία), ξεκινώντας από το λιγότερο σημαντικό ψηφίο, εάν χρειάζεται, προσθέτοντας μηδενικά στην πρώτη τριάδα και, στη συνέχεια, αντικαταστήστε κάθε τριάδα με το αντίστοιχο οκταδικό ψηφίο σύμφωνα με τον Πίνακα 4.
Εικόνα 7. Πίνακας 4
Παράδειγμα 7
Μετατρέψτε τον αριθμό $1001011_2$ στο οκταδικό σύστημα αριθμών.
Λύση. Χρησιμοποιώντας τον Πίνακα 4, μετατρέπουμε τον αριθμό από το δυαδικό σύστημα αριθμών σε οκταδικό:
$001 001 011_2 = 113_8$
- Για να μετατρέψετε έναν αριθμό από το δυαδικό σύστημα αριθμών σε δεκαεξαδικό, θα πρέπει να διαιρεθεί σε τετράδια (τέσσερα ψηφία), ξεκινώντας με το λιγότερο σημαντικό ψηφίο, εάν είναι απαραίτητο, προσθέτοντας μηδενικά στο πιο σημαντικό τετράδιο και, στη συνέχεια, αντικαταστήστε κάθε τετράδιο με το αντίστοιχο οκταδικό ψηφίο σύμφωνα με τον Πίνακα 4.
1. Τακτική καταμέτρηση διάφορα συστήματαΥπολογισμός
ΣΕ μοντέρνα ζωήχρησιμοποιούμε συστήματα εντοπισμού θέσηςσυμβολισμός, δηλαδή συστήματα στα οποία ο αριθμός που συμβολίζεται με ένα ψηφίο εξαρτάται από τη θέση του ψηφίου στη σημειογραφία του αριθμού. Ως εκ τούτου, στο μέλλον θα μιλήσουμε μόνο για αυτούς, παραλείποντας τον όρο «θέσιο».
Για να μάθουμε πώς να μετατρέπουμε αριθμούς από ένα σύστημα σε άλλο, θα καταλάβουμε πώς γίνεται η διαδοχική εγγραφή αριθμών χρησιμοποιώντας το παράδειγμα του δεκαδικού συστήματος.
Εφόσον έχουμε δεκαδικό σύστημα αριθμών, έχουμε 10 σύμβολα (ψηφία) για να κατασκευάσουμε αριθμούς. Αρχίζουμε να μετράμε: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Οι αριθμοί τελείωσαν. Αυξάνουμε το βάθος bit του αριθμού και επαναφέρουμε το ψηφίο χαμηλής τάξης: 10. Στη συνέχεια αυξάνουμε ξανά το ψηφίο χαμηλής τάξης μέχρι να φύγουν όλα τα ψηφία: 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19. Αυξάνουμε το ψηφίο υψηλής τάξης κατά 1 και επαναφέρουμε το ψηφίο χαμηλής τάξης: 20. Όταν χρησιμοποιήσουμε όλα τα ψηφία και για τα δύο ψηφία (παίρνουμε τον αριθμό 99), αυξάνουμε ξανά τη χωρητικότητα του αριθμού και επαναφέρουμε το υπάρχοντα ψηφία: 100. Και ούτω καθεξής.
Ας προσπαθήσουμε να κάνουμε το ίδιο στο 2ο, 3ο και 5ο σύστημα (εισάγουμε τη σημειογραφία για το 2ο σύστημα, για το 3ο κ.λπ.):
| 0 | 0 | 0 | 0 |
| 1 | 1 | 1 | 1 |
| 2 | 10 | 2 | 2 |
| 3 | 11 | 10 | 3 |
| 4 | 100 | 11 | 4 |
| 5 | 101 | 12 | 10 |
| 6 | 110 | 20 | 11 |
| 7 | 111 | 21 | 12 |
| 8 | 1000 | 22 | 13 |
| 9 | 1001 | 100 | 14 |
| 10 | 1010 | 101 | 20 |
| 11 | 1011 | 102 | 21 |
| 12 | 1100 | 110 | 22 |
| 13 | 1101 | 111 | 23 |
| 14 | 1110 | 112 | 24 |
| 15 | 1111 | 120 | 30 |
Εάν το σύστημα αριθμών έχει βάση μεγαλύτερη από 10, τότε θα πρέπει να εισάγουμε πρόσθετους χαρακτήρες, συνηθίζεται να εισάγετε γράμματα Λατινικό αλφάβητο. Για παράδειγμα, για το 12ψήφιο σύστημα, εκτός από δέκα ψηφία, χρειαζόμαστε δύο γράμματα ( και ):
| 0 | 0 |
| 1 | 1 |
| 2 | 2 |
| 3 | 3 |
| 4 | 4 |
| 5 | 5 |
| 6 | 6 |
| 7 | 7 |
| 8 | 8 |
| 9 | 9 |
| 10 | |
| 11 | |
| 12 | 10 |
| 13 | 11 |
| 14 | 12 |
| 15 | 13 |
2. Μετατροπή από το δεκαδικό σύστημα αριθμών σε οποιοδήποτε άλλο.
Για να μετατρέψετε έναν θετικό ακέραιο δεκαδικό αριθμό σε ένα σύστημα αριθμών με διαφορετική βάση, πρέπει να διαιρέσετε αυτόν τον αριθμό με τη βάση. Διαιρέστε ξανά το πηλίκο που προκύπτει με τη βάση και περαιτέρω μέχρι το πηλίκο να είναι μικρότερο από τη βάση. Ως αποτέλεσμα, σημειώστε σε μια γραμμή το τελευταίο πηλίκο και όλα τα υπόλοιπα, ξεκινώντας από το τελευταίο.
Παράδειγμα 1.Ας μετατρέψουμε τον δεκαδικό αριθμό 46 στο δυαδικό σύστημα αριθμών.
Παράδειγμα 2.Ας μετατρέψουμε τον δεκαδικό αριθμό 672 στο οκταδικό σύστημα αριθμών.
Παράδειγμα 3.Ας μετατρέψουμε τον δεκαδικό αριθμό 934 στο δεκαεξαδικό σύστημα αριθμών.
3. Μετατροπή από οποιοδήποτε σύστημα αριθμών σε δεκαδικό.
Για να μάθουμε πώς να μετατρέπουμε αριθμούς από οποιοδήποτε άλλο σύστημα σε δεκαδικό, ας αναλύσουμε τη συνήθη σημειογραφία για έναν δεκαδικό αριθμό.
Για παράδειγμα, ο δεκαδικός αριθμός 325 είναι 5 μονάδες, 2 δεκάδες και 3 εκατοντάδες, δηλ.
Η κατάσταση είναι ακριβώς η ίδια και σε άλλα συστήματα αριθμών, μόνο που θα πολλαπλασιάσουμε όχι με το 10, το 100 κ.λπ., αλλά με τις δυνάμεις της βάσης του συστήματος αριθμών. Για ας πάρουμε ένα παράδειγμααριθμός 1201 ίντσες τριμερές σύστημαΥπολογισμός Ας αριθμήσουμε τα ψηφία από τα δεξιά προς τα αριστερά ξεκινώντας από το μηδέν και ας φανταστούμε τον αριθμό μας ως το άθροισμα των γινομένων ενός ψηφίου και τρία στη δύναμη του ψηφίου του αριθμού:
Αυτός είναι ο δεκαδικός συμβολισμός του αριθμού μας, δηλ.
Παράδειγμα 4.Ας μετατρέψουμε στο σύστημα δεκαδικών αριθμών οκταδικός αριθμός 511.
Παράδειγμα 5.Ας μετατρέψουμε στο σύστημα δεκαδικών αριθμών δεκαεξαδικός αριθμός 1151.
4. Μετατροπή από το δυαδικό σύστημα στο σύστημα με βάση τη «δύναμη δύο» (4, 8, 16, κ.λπ.).
Για να μετατρέψετε έναν δυαδικό αριθμό σε έναν αριθμό με ισχύ δύο βάσεων, είναι απαραίτητο να διαιρέσετε τη δυαδική ακολουθία σε ομάδες σύμφωνα με τον αριθμό των ψηφίων ίσο με την ισχύ από δεξιά προς τα αριστερά και να αντικαταστήσετε κάθε ομάδα με το αντίστοιχο ψηφίο του νέου αριθμητικό σύστημα.
Για παράδειγμα, Ας μετατρέψουμε τον δυαδικό αριθμό 1100001111010110 στο οκταδικό σύστημα. Για να γίνει αυτό, θα το χωρίσουμε σε ομάδες των 3 χαρακτήρων ξεκινώντας από τα δεξιά (από ), και στη συνέχεια θα χρησιμοποιήσουμε τον πίνακα αντιστοιχίας και θα αντικαταστήσουμε κάθε ομάδα με έναν νέο αριθμό:
Μάθαμε πώς να δημιουργήσουμε έναν πίνακα αντιστοιχίας στο βήμα 1.
| 0 | 0 |
| 1 | 1 |
| 10 | 2 |
| 11 | 3 |
| 100 | 4 |
| 101 | 5 |
| 110 | 6 |
| 111 | 7 |
Εκείνοι.
Παράδειγμα 6.Ας μετατρέψουμε τον δυαδικό αριθμό 1100001111010110 σε δεκαεξαδικό.
| 0 | 0 |
| 1 | 1 |
| 10 | 2 |
| 11 | 3 |
| 100 | 4 |
| 101 | 5 |
| 110 | 6 |
| 111 | 7 |
| 1000 | 8 |
| 1001 | 9 |
| 1010 | ΕΝΑ |
| 1011 | σι |
| 1100 | ντο |
| 1101 | ρε |
| 1110 | μι |
| 1111 | φά |
5. Μετατροπή από σύστημα με βάση «δύναμη δύο» (4, 8, 16 κ.λπ.) σε δυαδικό.
Αυτή η μετάφραση είναι παρόμοια με την προηγούμενη, που έγινε στο αντιθετη πλευρα: Αντικαθιστούμε κάθε ψηφίο με μια ομάδα δυαδικών ψηφίων από τον πίνακα αναζήτησης.
Παράδειγμα 7.Ας μετατρέψουμε τον δεκαεξαδικό αριθμό C3A6 στο δυαδικό σύστημα αριθμών.
Για να το κάνετε αυτό, αντικαταστήστε κάθε ψηφίο του αριθμού με μια ομάδα 4 ψηφίων (από ) από τον πίνακα αντιστοιχίας, συμπληρώνοντας την ομάδα με μηδενικά στην αρχή εάν χρειάζεται: