Μετατροπή αριθμού από το πρωτεύον σύστημα σε οκταδικό. Μετατροπή δεκαδικών αριθμών σε οκταδικό σύστημα αριθμών. Δυαδικές-οκταδικές και δυαδικές-δεκαεξαδικές μετατροπές
Το αποτέλεσμα έχει ήδη ληφθεί!
Αριθμητικά συστήματα
Υπάρχουν συστήματα αριθμών θέσης και μη. Το αραβικό σύστημα αριθμών στο οποίο χρησιμοποιούμε καθημερινή ζωή, είναι θέση, αλλά ο Ρωμαίος όχι. ΣΕ συστήματα θέσηςΣτη σημειογραφία, η θέση ενός αριθμού καθορίζει μοναδικά το μέγεθος του αριθμού. Ας το εξετάσουμε χρησιμοποιώντας το παράδειγμα του αριθμού 6372 στο δεκαδικό σύστημα αριθμών. Ας αριθμήσουμε αυτόν τον αριθμό από δεξιά προς τα αριστερά ξεκινώντας από το μηδέν:
Τότε ο αριθμός 6372 μπορεί να αναπαρασταθεί ως εξής:
6372=6000+300+70+2 =6·10 3 +3·10 2 +7·10 1 +2·10 0 .
Ο αριθμός 10 ορίζει το σύστημα αριθμών (σε σε αυτή την περίπτωσηαυτό είναι 10). Οι τιμές της θέσης ενός δεδομένου αριθμού λαμβάνονται ως δυνάμεις.
Θεωρήστε τον πραγματικό δεκαδικό αριθμό 1287.923. Ας τον αριθμήσουμε ξεκινώντας από το μηδέν, τοποθετώντας τον αριθμό από την υποδιαστολή αριστερά και δεξιά:
Τότε ο αριθμός 1287.923 μπορεί να αναπαρασταθεί ως:
1287.923 =1000+200+80 +7+0.9+0.02+0.003 = 1·10 3 +2·10 2 +8·10 1 +7·10 0 +9·10 -1 +2·10 -2 +3· 10 -3.
ΣΕ γενική περίπτωσηο τύπος μπορεί να αναπαρασταθεί ως εξής:
C n μικρό n +C n-1 · μικρό n-1 +...+C 1 · μικρό 1 +C 0 ·s 0 +D -1 ·s -1 +D -2 ·s -2 +...+D -k ·s -k
όπου C n είναι ένας ακέραιος στη θέση του n, D -k - κλασματικός αριθμός στη θέση (-k), μικρό- σύστημα αριθμών.
Λίγα λόγια για τα συστήματα αριθμών Ένας αριθμός στο δεκαδικό σύστημα αριθμών αποτελείται από πολλά ψηφία (0,1,2,3,4,5,6,7,8,9), στο οκταδικό σύστημα αριθμών αποτελείται από πολλά ψηφία. (0,1, 2,3,4,5,6,7), στο δυαδικό σύστημα αριθμών - από ένα σύνολο ψηφίων (0,1), στο δεκαεξαδικό σύστημα αριθμών - από ένα σύνολο ψηφίων (0,1 ,2,3,4,5,6, 7,8,9,A,B,C,D,E,F), όπου τα A,B,C,D,E,F αντιστοιχούν στους αριθμούς 10,11, 12,13,14,15 Στον πίνακα Πιν.1 παρουσιάζονται οι αριθμοί διαφορετικά συστήματαΥπολογισμός
| Πίνακας 1 | |||
|---|---|---|---|
| Σημειογραφία | |||
| 10 | 2 | 8 | 16 |
| 0 | 0 | 0 | 0 |
| 1 | 1 | 1 | 1 |
| 2 | 10 | 2 | 2 |
| 3 | 11 | 3 | 3 |
| 4 | 100 | 4 | 4 |
| 5 | 101 | 5 | 5 |
| 6 | 110 | 6 | 6 |
| 7 | 111 | 7 | 7 |
| 8 | 1000 | 10 | 8 |
| 9 | 1001 | 11 | 9 |
| 10 | 1010 | 12 | ΕΝΑ |
| 11 | 1011 | 13 | σι |
| 12 | 1100 | 14 | ντο |
| 13 | 1101 | 15 | ρε |
| 14 | 1110 | 16 | μι | 15 | 1111 | 17 | φά |
Μετατροπή αριθμών από ένα σύστημα αριθμών σε άλλο
Για να μετατρέψετε αριθμούς από ένα σύστημα αριθμών σε άλλο, ο ευκολότερος τρόπος είναι πρώτα να μετατρέψετε τον αριθμό στο δεκαδικό σύστημα αριθμών και, στη συνέχεια, από μετρικό σύστημαμετατρέψτε τους αριθμούς στο απαιτούμενο σύστημα αριθμών.
Μετατροπή αριθμών από οποιοδήποτε σύστημα αριθμών στο δεκαδικό σύστημα αριθμών
Χρησιμοποιώντας τον τύπο (1), μπορείτε να μετατρέψετε αριθμούς από οποιοδήποτε σύστημα αριθμών στο δεκαδικό σύστημα αριθμών.
Παράδειγμα 1. Μετατρέψτε τον αριθμό 1011101.001 από δυαδικό σύστημα αριθμών (SS) σε δεκαδικό SS. Διάλυμα:
1 ·2 6 +0 ·2 5 + 1 ·2 4 + 1 ·2 3 + 1 ·2 2 + 0 ·2 1 + 1 ·2 0 + 0 ·2 -1 + 0 ·2 -2 + 1 ·2 -3 =64+16+8+4+1+1/8=93.125
Παράδειγμα2. Μετατρέψτε τον αριθμό 1011101.001 από οκταδικό σύστημα αριθμών (SS) σε δεκαδικό SS. Διάλυμα:
Παράδειγμα 3 . Μετατρέψτε τον αριθμό AB572.CDF από δεκαεξαδικό σύστημα αριθμών σε δεκαδικό SS. Διάλυμα:
Εδώ ΕΝΑ-αντικαταστάθηκε από 10, σι- στις 11, ντο- στις 12, φά- έως 15.
Μετατροπή αριθμών από το δεκαδικό σύστημα αριθμών σε άλλο σύστημα αριθμών
Για να μετατρέψετε αριθμούς από το δεκαδικό σύστημα αριθμών σε άλλο σύστημα αριθμών, πρέπει να μετατρέψετε το ακέραιο μέρος του αριθμού και το κλασματικό μέρος του αριθμού ξεχωριστά.
Το ακέραιο μέρος ενός αριθμού μετατρέπεται από δεκαδικό SS σε άλλο σύστημα αριθμών διαιρώντας διαδοχικά το ακέραιο μέρος του αριθμού με τη βάση του συστήματος αριθμών (για δυαδικό SS - με 2, για 8-ary SS - με 8, για 16 -ary SS - κατά 16, κ.λπ. ) έως ότου ληφθεί ένα ολόκληρο υπόλειμμα, μικρότερο από το βασικό CC.
Παράδειγμα 4 . Ας μετατρέψουμε τον αριθμό 159 από δεκαδικό SS σε δυαδικό SS:
| 159 | 2 | ||||||
| 158 | 79 | 2 | |||||
| 1 | 78 | 39 | 2 | ||||
| 1 | 38 | 19 | 2 | ||||
| 1 | 18 | 9 | 2 | ||||
| 1 | 8 | 4 | 2 | ||||
| 1 | 4 | 2 | 2 | ||||
| 0 | 2 | 1 | |||||
| 0 |
Όπως φαίνεται από το Σχ. 1, ο αριθμός 159 όταν διαιρείται με το 2 δίνει το πηλίκο 79 και το υπόλοιπο 1. Επιπλέον, ο αριθμός 79 όταν διαιρείται με το 2 δίνει το πηλίκο 39 και το υπόλοιπο 1, κ.λπ. Ως αποτέλεσμα, κατασκευάζοντας έναν αριθμό από υπολείμματα διαίρεσης (από δεξιά προς τα αριστερά), λαμβάνουμε έναν αριθμό σε δυαδικό SS: 10011111 . Επομένως μπορούμε να γράψουμε:
159 10 =10011111 2 .
Παράδειγμα 5 . Ας μετατρέψουμε τον αριθμό 615 από δεκαδικό SS σε οκταδικό SS.
| 615 | 8 | ||
| 608 | 76 | 8 | |
| 7 | 72 | 9 | 8 |
| 4 | 8 | 1 | |
| 1 |
Όταν μετατρέπετε έναν αριθμό από δεκαδικό SS σε οκταδικό SS, πρέπει να διαιρέσετε διαδοχικά τον αριθμό με το 8 έως ότου λάβετε ένα ακέραιο υπόλοιπο μικρότερο από το 8. Ως αποτέλεσμα, κατασκευάζοντας έναν αριθμό από υπολείμματα διαίρεσης (από δεξιά προς τα αριστερά) παίρνουμε έναν αριθμό σε οκταδικό SS: 1147 (βλ. Εικ. 2). Επομένως μπορούμε να γράψουμε:
615 10 =1147 8 .
Παράδειγμα 6 . Ας μετατρέψουμε τον αριθμό 19673 από το δεκαδικό σύστημα αριθμών σε δεκαεξαδικό SS.
| 19673 | 16 | ||
| 19664 | 1229 | 16 | |
| 9 | 1216 | 76 | 16 |
| 13 | 64 | 4 | |
| 12 |
Όπως φαίνεται από το σχήμα 3, διαιρώντας διαδοχικά τον αριθμό 19673 με το 16, τα υπόλοιπα είναι 4, 12, 13, 9. Στο δεκαεξαδικό σύστημα αριθμών, ο αριθμός 12 αντιστοιχεί στο C, ο αριθμός 13 στο D. Επομένως, ο δεκαεξαδικός αριθμός είναι 4CD9.
Για να μετατρέψετε σωστά δεκαδικά κλάσματα ( πραγματικός αριθμόςαπό την αρχή ολόκληρο μέρος) σε ένα σύστημα αριθμών με βάση s είναι απαραίτητο δεδομένου αριθμούπολλαπλασιάζουμε διαδοχικά με s έως ότου το κλασματικό μέρος είναι καθαρό μηδέν ή λάβουμε τον απαιτούμενο αριθμό ψηφίων. Εάν από τον πολλαπλασιασμό προκύπτει ένας αριθμός με ακέραιο μέρος εκτός του μηδενός, τότε αυτό το ακέραιο μέρος δεν λαμβάνεται υπόψη (περιλαμβάνονται διαδοχικά στο αποτέλεσμα).
Ας δούμε τα παραπάνω με παραδείγματα.
Παράδειγμα 7 . Ας μετατρέψουμε τον αριθμό 0,214 από το δεκαδικό σύστημα αριθμών σε δυαδικό SS.
| 0.214 | ||
| x | 2 | |
| 0 | 0.428 | |
| x | 2 | |
| 0 | 0.856 | |
| x | 2 | |
| 1 | 0.712 | |
| x | 2 | |
| 1 | 0.424 | |
| x | 2 | |
| 0 | 0.848 | |
| x | 2 | |
| 1 | 0.696 | |
| x | 2 | |
| 1 | 0.392 |
Όπως φαίνεται από το Σχ. 4, ο αριθμός 0,214 πολλαπλασιάζεται διαδοχικά με το 2. Εάν το αποτέλεσμα του πολλαπλασιασμού είναι ένας αριθμός με ακέραιο μέρος διαφορετικό από το μηδέν, τότε το ακέραιο μέρος γράφεται χωριστά (στα αριστερά του αριθμού). και ο αριθμός γράφεται με μηδενικό ακέραιο μέρος. Αν από τον πολλαπλασιασμό προκύπτει ένας αριθμός με μηδενικό ακέραιο μέρος, τότε γράφεται ένα μηδέν στα αριστερά του. Η διαδικασία πολλαπλασιασμού συνεχίζεται έως ότου το κλασματικό μέρος φτάσει σε ένα καθαρό μηδέν ή λάβουμε τον απαιτούμενο αριθμό ψηφίων. Γράφοντας έντονους αριθμούς (Εικ. 4) από πάνω προς τα κάτω, παίρνουμε τον απαιτούμενο αριθμό στο δυαδικό σύστημα αριθμών: 0. 0011011 .
Επομένως μπορούμε να γράψουμε:
0.214 10 =0.0011011 2 .
Παράδειγμα 8 . Ας μετατρέψουμε τον αριθμό 0,125 από το δεκαδικό σύστημα αριθμών σε δυαδικό SS.
| 0.125 | ||
| x | 2 | |
| 0 | 0.25 | |
| x | 2 | |
| 0 | 0.5 | |
| x | 2 | |
| 1 | 0.0 |
Για να μετατρέψετε τον αριθμό 0,125 από δεκαδικό SS σε δυαδικό, αυτός ο αριθμός πολλαπλασιάζεται διαδοχικά με το 2. Στο τρίτο στάδιο, το αποτέλεσμα είναι 0. Κατά συνέπεια, προκύπτει το ακόλουθο αποτέλεσμα:
0.125 10 =0.001 2 .
Παράδειγμα 9 . Ας μετατρέψουμε τον αριθμό 0,214 από το δεκαδικό σύστημα αριθμών σε δεκαεξαδικό SS.
| 0.214 | ||
| x | 16 | |
| 3 | 0.424 | |
| x | 16 | |
| 6 | 0.784 | |
| x | 16 | |
| 12 | 0.544 | |
| x | 16 | |
| 8 | 0.704 | |
| x | 16 | |
| 11 | 0.264 | |
| x | 16 | |
| 4 | 0.224 |
Ακολουθώντας τα παραδείγματα 4 και 5, παίρνουμε τους αριθμούς 3, 6, 12, 8, 11, 4. Αλλά στο δεκαεξαδικό SS, οι αριθμοί 12 και 11 αντιστοιχούν στους αριθμούς C και B. Επομένως, έχουμε:
0,214 10 =0,36C8B4 16 .
Παράδειγμα 10 . Ας μετατρέψουμε τον αριθμό 0,512 από το δεκαδικό σύστημα αριθμών σε οκταδικό SS.
| 0.512 | ||
| x | 8 | |
| 4 | 0.096 | |
| x | 8 | |
| 0 | 0.768 | |
| x | 8 | |
| 6 | 0.144 | |
| x | 8 | |
| 1 | 0.152 | |
| x | 8 | |
| 1 | 0.216 | |
| x | 8 | |
| 1 | 0.728 |
Λήφθηκε:
0.512 10 =0.406111 8 .
Παράδειγμα 11 . Ας μετατρέψουμε τον αριθμό 159.125 από το δεκαδικό σύστημα αριθμών σε δυαδικό SS. Για να γίνει αυτό, μεταφράζουμε χωριστά το ακέραιο μέρος του αριθμού (Παράδειγμα 4) και το κλασματικό μέρος του αριθμού (Παράδειγμα 8). Συνδυάζοντας περαιτέρω αυτά τα αποτελέσματα έχουμε:
159.125 10 =10011111.001 2 .
Παράδειγμα 12 . Ας μετατρέψουμε τον αριθμό 19673.214 από το δεκαδικό σύστημα αριθμών σε δεκαεξαδικό SS. Για να γίνει αυτό, μεταφράζουμε ξεχωριστά το ακέραιο μέρος του αριθμού (Παράδειγμα 6) και το κλασματικό μέρος του αριθμού (Παράδειγμα 9). Περαιτέρω, συνδυάζοντας αυτά τα αποτελέσματα παίρνουμε.
Μετατροπή αριθμών από δυαδικό σε οκταδικό και δεκαεξαδικό και αντίστροφα
Η μετατροπή αριθμών μεταξύ συστημάτων αριθμών των οποίων οι βάσεις είναι δυνάμεις 2 (q = 2 n) μπορεί να γίνει χρησιμοποιώντας περισσότερα από απλούς αλγόριθμους. Τέτοιοι αλγόριθμοι μπορούν να χρησιμοποιηθούν για τη μετατροπή αριθμών μεταξύ δυαδικών (q = 2 1), οκταδικών (q = 2 3) και δεκαεξαδικών (q = 2 4) συστημάτων αριθμών.
Μετατροπή αριθμών από δυαδικό σε οκταδικό.Για την εγγραφή δυαδικών αριθμών χρησιμοποιούνται δύο ψηφία, δηλαδή σε κάθε ψηφίο του αριθμού είναι δυνατές 2 επιλογές γραφής. Λύνουμε την εκθετική εξίσωση:
2 = 2 i. Αφού 2 = 2 1, τότε i = 1 bit.
Κάθε κατάταξη δυάδικος αριθμόςπεριέχει 1 bit πληροφοριών.
Για την εγγραφή οκταδικών αριθμών χρησιμοποιούνται οκτώ ψηφία, δηλαδή σε κάθε ψηφίο του αριθμού είναι δυνατές 8 επιλογές γραφής. Λύνουμε την εκθετική εξίσωση:
8 = 2 i. Αφού 8 = 2 3, τότε i = 3 bit.
Κάθε κατάταξη οκταδικός αριθμόςπεριέχει 3 bit πληροφοριών.
Έτσι, για να μετατρέψετε έναν ακέραιο δυαδικό αριθμό σε οκταδικό, πρέπει να τον αναλύσετε σε ομάδες των τριών ψηφίων, από τα δεξιά προς τα αριστερά, και στη συνέχεια να μετατρέψετε κάθε ομάδα σε ένα οκταδικό ψηφίο. Εάν η τελευταία, αριστερή, ομάδα περιέχει λιγότερα από τρία ψηφία, τότε πρέπει να συμπληρωθεί στα αριστερά με μηδενικά.
Ας μετατρέψουμε τον δυαδικό αριθμό 101001 2 σε οκταδικό με αυτόν τον τρόπο:
101 001 2 => 1 × 2 2 + 0 × 2 1 + 1 × 2 0 0 × 2 2 + 0 × 2 1 + 1 × 2 0 => 51 8 .
Για να απλοποιήσετε τη μετάφραση, μπορείτε να προετοιμάσετε εκ των προτέρων έναν πίνακα για τη μετατροπή δυαδικών τριάδων (ομάδες 3 ψηφίων) σε οκταδικά ψηφία:
| Δυαδικές τριάδες | 000 | 001 | 010 | 011 | 100 | 101 | 110 | 111 |
| Οκταδικά ψηφία | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
Για να μετατρέψετε έναν κλασματικό δυαδικό αριθμό ( κατάλληλο κλάσμα) σε οκταδικό είναι απαραίτητο να το χωρίσουμε σε τριάδες από αριστερά προς τα δεξιά και, αν η τελευταία, δεξιά, ομάδα περιέχει λιγότερα από τρία ψηφία, συμπληρώστε τη με μηδενικά στα δεξιά. Στη συνέχεια, πρέπει να αντικαταστήσετε τις τριάδες με οκταδικούς αριθμούς.
Για παράδειγμα, μετατρέπουμε τον κλασματικό δυαδικό αριθμό A 2 = 0,110101 2 σε οκταδικό σύστημασημειογραφία:
| Δυαδικές τριάδες | 110 | 101 |
| Οκταδικά ψηφία | 6 | 5 |
Παίρνουμε: A 8 = 0,65 8.
Μετατροπή αριθμών από δυαδικό σε δεκαεξαδικό.Για την εγγραφή δεκαεξαδικών αριθμών χρησιμοποιούνται δεκαέξι ψηφία, δηλαδή σε κάθε ψηφίο του αριθμού είναι δυνατές 16 επιλογές γραφής. Λύνουμε την εκθετική εξίσωση:
16 = 2 i. Αφού 16 = 2 4, τότε i = 4 bit.
Κάθε κατάταξη δεκαεξαδικός αριθμόςπεριέχει 4 bit πληροφοριών.
Έτσι, για να μετατρέψετε έναν ακέραιο δυαδικό αριθμό σε δεκαεξαδικό, πρέπει να χωριστεί σε ομάδες των τεσσάρων ψηφίων (τετράδια), ξεκινώντας από τα δεξιά, και, εάν η τελευταία αριστερή ομάδα περιέχει λιγότερα από τέσσερα ψηφία, να την προσθέσετε στα αριστερά με μηδενικά. Για να μετατρέψετε έναν κλασματικό δυαδικό αριθμό (κατάλληλο κλάσμα) σε δεκαεξαδικό, πρέπει να τον διαιρέσετε σε τετράδια από τα αριστερά προς τα δεξιά και, εάν η τελευταία δεξιά ομάδα περιέχει λιγότερα από τέσσερα ψηφία, τότε πρέπει να την συμπληρώσετε με μηδενικά στα δεξιά.
Στη συνέχεια, πρέπει να μετατρέψετε κάθε ομάδα σε δεκαεξαδικό ψηφίο, χρησιμοποιώντας έναν προηγουμένως καταρτισμένο πίνακα αντιστοιχίας μεταξύ δυαδικών τετραδίων και δεκαεξαδικών ψηφίων.
Ας μετατρέψουμε τον ακέραιο δυαδικό αριθμό A 2 = 101001 2 σε δεκαεξαδικό:
Παίρνουμε: A 16 = 0,D4 16.
Για τη μετατροπή οποιουδήποτε δυαδικού αριθμού σε οκταδικά ή δεκαεξαδικά συστήματα αριθμών, είναι απαραίτητο να πραγματοποιηθούν μετατροπές χρησιμοποιώντας τους αλγόριθμους που συζητήθηκαν παραπάνω ξεχωριστά για τα ακέραια και τα κλασματικά μέρη του.
Μετατροπή αριθμών από οκταδικά και δεκαεξαδικά συστήματα αριθμών σε δυαδικά.Για να μετατρέψετε αριθμούς από οκταδικά και δεκαεξαδικά συστήματα αριθμών σε δυαδικά, πρέπει να μετατρέψετε τα ψηφία του αριθμού σε ομάδες δυαδικά ψηφία. Για τη μετατροπή από οκταδικό σε δυαδικό, κάθε ψηφίο ενός αριθμού πρέπει να μετατραπεί σε μια ομάδα τριών δυαδικών ψηφίων (τριάδα) και κατά τη μετατροπή ενός δεκαεξαδικού αριθμού σε μια ομάδα τεσσάρων ψηφίων (τετράδα).
Για παράδειγμα, μετατρέπουμε τον κλασματικό οκταδικό αριθμό A 8 = 0,47 8 σε δυαδικό σύστημασημειογραφία:
Ως αποτέλεσμα, έχουμε: A 2 = 10101011 2
3 εργασίες
1.16. Δημιουργήστε έναν πίνακα αντιστοιχίας μεταξύ δυαδικών τετραδίων και δεκαεξαδικών ψηφίων.
1.17. Μετατρέψτε τους ακόλουθους ακέραιους σε οκταδικά και δεκαεξαδικά συστήματα αριθμών: 1111 2, 1010101 2.
1.18. Μετατρέψτε τους ακόλουθους κλασματικούς αριθμούς σε οκταδικά και δεκαεξαδικά συστήματα αριθμών: 0,01111 2, 0,10101011 2.
1.19. Μετατρέψτε τους παρακάτω αριθμούς σε οκταδικά και δεκαεξαδικά συστήματα αριθμών: 11.01 2, 110.101 2.
1.20. Μετατρέψτε τους παρακάτω αριθμούς στο δυαδικό σύστημα αριθμών: 46.27 8, EF, 12 16.
1.21. Συγκρίνετε αριθμούς που εκφράζονται σε διάφορα συστήματασημειώσεις: 1101 2 και D 16; 0,11111 2 και 0,22 8; 35,63 8 και 16, Γ 16.
Σκοπός της υπηρεσίας. Η υπηρεσία έχει σχεδιαστεί για να μετατρέπει αριθμούς από ένα σύστημα αριθμών σε ένα άλλο online λειτουργία. Για να το κάνετε αυτό, επιλέξτε τη βάση του συστήματος από το οποίο θέλετε να μετατρέψετε τον αριθμό. Μπορείτε να εισάγετε και ακέραιους και αριθμούς με κόμματα.Μπορείτε να εισαγάγετε και ακέραιους αριθμούς, για παράδειγμα 34, και κλασματικούς αριθμούς, για παράδειγμα, 637.333. Για τους κλασματικούς αριθμούς, υποδεικνύεται η ακρίβεια μετάφρασης μετά την υποδιαστολή.
Τα ακόλουθα χρησιμοποιούνται επίσης με αυτήν την αριθμομηχανή:
Τρόποι αναπαράστασης αριθμών
Δυάδικος (δυαδικοί) αριθμοί - κάθε ψηφίο σημαίνει την τιμή ενός bit (0 ή 1), το πιο σημαντικό bit γράφεται πάντα στα αριστερά, το γράμμα "b" τοποθετείται μετά τον αριθμό. Για ευκολία αντίληψης, τα σημειωματάρια μπορούν να χωριστούν με κενά. Για παράδειγμα, 1010 0101b.Δεκαεξαδικό (δεκαεξαδικοί) αριθμοί - κάθε τετράδα αντιπροσωπεύεται από ένα σύμβολο 0...9, A, B, ..., F. Αυτή η αναπαράσταση μπορεί να οριστεί με διαφορετικούς τρόπους εδώ μόνο το σύμβολο "h" χρησιμοποιείται μετά το τελευταίο δεκαεξαδικό ψηφίο. Για παράδειγμα, A5h. Στα κείμενα του προγράμματος, ο ίδιος αριθμός μπορεί να οριστεί είτε ως 0xA5 είτε ως 0A5h, ανάλογα με τη σύνταξη της γλώσσας προγραμματισμού. Ένα αρχικό μηδέν (0) προστίθεται στα αριστερά του πιο σημαντικού δεκαεξαδικού ψηφίου που αντιπροσωπεύεται από το γράμμα για τη διάκριση μεταξύ αριθμών και συμβολικών ονομάτων.
Δεκαδικός (δεκαδικοί) αριθμοί - κάθε byte (λέξη, διπλή λέξη) αντιπροσωπεύεται από έναν συνηθισμένο αριθμό και το δεκαδικό σύμβολο αναπαράστασης (το γράμμα "d") συνήθως παραλείπεται. Το byte στα προηγούμενα παραδείγματα έχει δεκαδική τιμή 165. Σε αντίθεση με τον δυαδικό και δεκαεξαδικό συμβολισμό, το δεκαδικό είναι δύσκολο να προσδιοριστεί νοερά η τιμή κάθε bit, κάτι που μερικές φορές είναι απαραίτητο.
Οκτάεδρος (οκταδικοί) αριθμοί - κάθε τριπλό bit (η διαίρεση ξεκινά από το λιγότερο σημαντικό) γράφεται ως αριθμός 0–7, με ένα «o» στο τέλος. Ο ίδιος αριθμός θα γραφόταν ως 245ο. Το οκταδικό σύστημα δεν είναι βολικό επειδή το byte δεν μπορεί να διαιρεθεί ίσα.
Αλγόριθμος για τη μετατροπή αριθμών από ένα σύστημα αριθμών σε άλλο
Μετάφραση ακεραίων δεκαδικοί αριθμοίσε οποιοδήποτε άλλο σύστημα αριθμών πραγματοποιείται με διαίρεση του αριθμού με τη βάση νέο σύστημααρίθμηση μέχρι το υπόλοιπο να παραμείνει αριθμός μικρότερος από τη βάση του νέου συστήματος αριθμών. Ο νέος αριθμός γράφεται ως υπολείμματα διαίρεσης, ξεκινώντας από τον τελευταίο.Η μετατροπή ενός κανονικού δεκαδικού κλάσματος σε άλλο PSS πραγματοποιείται πολλαπλασιάζοντας μόνο το κλασματικό μέρος του αριθμού με τη βάση του νέου συστήματος αριθμών έως ότου παραμείνουν όλα τα μηδενικά στο κλασματικό μέρος ή μέχρι να επιτευχθεί η καθορισμένη ακρίβεια μετάφρασης. Ως αποτέλεσμα κάθε πράξης πολλαπλασιασμού, σχηματίζεται ένα ψηφίο ενός νέου αριθμού, ξεκινώντας από το υψηλότερο.
Η ακατάλληλη μετάφραση κλασμάτων πραγματοποιείται σύμφωνα με τους κανόνες 1 και 2. Τα ακέραια και τα κλασματικά μέρη γράφονται μαζί, χωρίζονται με κόμμα.
Παράδειγμα Νο. 1. 
Μετατροπή από 2 σε 8 σε 16 αριθμητικό σύστημα.
Αυτά τα συστήματα είναι πολλαπλάσια των δύο, επομένως η μετάφραση πραγματοποιείται χρησιμοποιώντας έναν πίνακα αντιστοιχίας (βλ. παρακάτω).
Για να μετατρέψετε έναν αριθμό από το δυαδικό σύστημα αριθμών στο οκταδικό (δεκαεξαδικό) σύστημα αριθμών, είναι απαραίτητο να διαιρέσετε τον δυαδικό αριθμό από την υποδιαστολή δεξιά και αριστερά σε ομάδες των τριών (τέσσερα για δεκαεξαδικό) ψηφία, συμπληρώνοντας τις εξωτερικές ομάδες με μηδενικά αν χρειαστεί. Κάθε ομάδα αντικαθίσταται από το αντίστοιχο οκταδικό ή δεκαεξαδικό ψηφίο.
Παράδειγμα Νο. 2. 1010111010.1011 = 1.010.111.010.101.1 = 1272.51 8
εδώ 001=1; 010=2; 111=7; 010=2; 101=5; 001=1
Κατά τη μετατροπή στο δεκαεξαδικό σύστημα, πρέπει να διαιρέσετε τον αριθμό σε μέρη τεσσάρων ψηφίων, ακολουθώντας τους ίδιους κανόνες.
Παράδειγμα Νο. 3. 1010111010,1011 = 10.1011.1010,1011 = 2B12,13 HEX
εδώ 0010=2; 1011=B; 1010=12; 1011=13
Η μετατροπή των αριθμών από το 2, το 8 και το 16 στο δεκαδικό σύστημα πραγματοποιείται με σπάσιμο του αριθμού σε μεμονωμένους και πολλαπλασιασμό του με τη βάση του συστήματος (από το οποίο μεταφράζεται ο αριθμός) που αυξάνεται στην ισχύ που αντιστοιχεί στον αύξοντα αριθμό του ο αριθμός που μετατρέπεται. Σε αυτήν την περίπτωση, οι αριθμοί αριθμούνται στα αριστερά της υποδιαστολής (ο πρώτος αριθμός αριθμείται 0) με αύξουσα σειρά και σε δεξιά πλευράμε φθίνουσα (δηλαδή με αρνητικό πρόσημο). Τα αποτελέσματα που λαμβάνονται αθροίζονται.
Παράδειγμα αρ. 4.
Ένα παράδειγμα μετατροπής από δυαδικό σε δεκαδικό σύστημα αριθμών.
1010010.101 2 = 1·2 6 +0·2 5 +1·2 4 +0·2 3 +0·2 2 +1·2 1 +0·2 0 + 1·2 -1 +0·2 - 2 + 1 2 -3 =
= 64+0+16+0+0+2+0+0,5+0+0,125 = 82,625 10 Παράδειγμα μετατροπής από οκταδικό σε δεκαδικό σύστημα αριθμών.
108,5 8 = 1*·8 2 +0·8 1 +8·8 0 + 5·8 -1 = 64+0+8+0,625 = 72,625 10 Παράδειγμα μετατροπής από δεκαεξαδικό σε δεκαδικό σύστημα αριθμών.
- 108,5 16 = 1·16 2 +0·16 1 +8·16 0 + 5·16 -1 = 256+0+8+0,3125 = 264,3125 10
- Για άλλη μια φορά επαναλαμβάνουμε τον αλγόριθμο για τη μετατροπή αριθμών από ένα σύστημα αριθμών σε ένα άλλο PSS
- Από το δεκαδικό σύστημα αριθμών:
- διαιρέστε τον αριθμό με τη βάση του συστήματος αριθμών που μεταφράζεται. Να βρείτε το υπόλοιπο κατά τη διαίρεση ενός ακέραιου μέρους ενός αριθμού.;
- γράψτε όλα τα υπόλοιπα από τη διαίρεση σε
- αντίστροφη σειρά
- Από το δυαδικό σύστημα αριθμών
Για τη μετατροπή στο δεκαδικό σύστημα αριθμών, είναι απαραίτητο να βρεθεί το άθροισμα των γινομένων της βάσης 2 με τον αντίστοιχο βαθμό ψηφίου. - Για να μετατρέψετε έναν αριθμό σε οκταδικό, πρέπει να χωρίσετε τον αριθμό σε τριάδες.
Για παράδειγμα, 1000110 = 1.000 110 = 106 8
Το σύστημα ονομάζεται θέσιο
| Πίνακας αντιστοιχίας συστήματος αριθμών: | Πίνακας για μετατροπή σε δεκαεξαδικό σύστημα αριθμών |
| 0000 | 0 |
| 0001 | 1 |
| 0010 | 2 |
| 0011 | 3 |
| 0100 | 4 |
| 0101 | 5 |
| 0110 | 6 |
| 0111 | 7 |
| 1000 | 8 |
| 1001 | 9 |
| 1010 | ΕΝΑ |
| 1011 | σι |
| 1100 | ντο |
| 1101 | ρε |
| 1110 | μι |
| 1111 | φά |
Δυαδικό SS
Δεκαεξαδικό SS Πίνακας για μετατροπή σε οκταδικό αριθμητικό σύστημα- δεν είναι εύκολη υπόθεση. Στο χαρτί, λαμβάνετε πολύ μεγάλους συνδυασμούς μηδενικών και μονάδων. Είναι δύσκολο για έναν άνθρωπο.Η χρήση του γνωστού δεκαδικού συστήματος στην τεκμηρίωση και τον προγραμματισμό υπολογιστή είναι πολύ ενοχλητική. Οι μετατροπές από δυαδικά σε δεκαδικά συστήματα και αντίστροφα είναι διαδικασίες πολύ απαιτητικές.
Η προέλευση του οκταδικού συστήματος, καθώς και του δεκαδικού συστήματος, σχετίζεται με το μέτρημα στα δάχτυλα. Δεν είναι όμως τα δάχτυλα που πρέπει να μετρηθούν, αλλά τα κενά μεταξύ τους. Υπάρχουν μόνο οκτώ από αυτούς.
Η λύση στο πρόβλημα ήταν οκταδική. Με τουλάχιστοντην αυγή εξοπλισμός υπολογιστών. Όταν η χωρητικότητα του επεξεργαστή ήταν μικρή. Το οκταδικό σύστημα διευκόλυνε τη μετατροπή και των δύο δυαδικών αριθμών σε οκταδικό και αντίστροφα.
Το οκταδικό σύστημα αριθμών είναι ένα σύστημα αριθμών με βάση το 8. Χρησιμοποιεί τους αριθμούς από το 0 έως το 7 για να αναπαραστήσει αριθμούς.
Μετατροπή
Για να μετατρέψετε έναν αριθμό σε δυαδικό, πρέπει να αντικαταστήσετε κάθε ψηφίο του οκταδικού αριθμού με ένα τριπλό δυαδικών ψηφίων. Είναι σημαντικό μόνο να θυμάστε ποιος δυαδικός συνδυασμός αντιστοιχεί στα ψηφία του αριθμού. Είναι πολύ λίγοι από αυτούς. Μόνο οκτώ!Σε όλα τα συστήματα αριθμών, εκτός από τα δεκαδικά, τα ψηφία διαβάζονται ένα κάθε φορά. Για παράδειγμα, στο οκταδικό σύστημα ο αριθμός 610 προφέρεται "έξι, ένα, μηδέν".
Βίντεο σχετικά με το θέμα
Τα εξαρτήματα των ηλεκτρονικών μηχανών, που περιλαμβάνουν τους υπολογιστές, έχουν μόνο δύο διακριτές καταστάσεις: υπάρχει ρεύμα και δεν υπάρχει ρεύμα. Ονομάζονται "1" και "0" αντίστοιχα. Δεδομένου ότι υπάρχουν μόνο δύο τέτοιες καταστάσεις, πολλές διεργασίες και λειτουργίες στην ηλεκτρονική μπορούν να περιγραφούν χρησιμοποιώντας δυαδικούς αριθμούς.
Οδηγίες
Διαιρέστε τον δεκαδικό αριθμό με δύο μέχρι να πάρετε ένα υπόλοιπο αδιαίρετο με το δύο. Στο βήμα παίρνουμε το υπόλοιπο 1 (αν ο αριθμός ήταν περιττός) ή 0 (αν το μέρισμα διαιρείται με δύο χωρίς υπόλοιπο). Όλα αυτά τα υπόλοιπα πρέπει να ληφθούν υπόψη. Το τελευταίο πηλίκο που προκύπτει ως αποτέλεσμα μιας τέτοιας σταδιακής διαίρεσης θα είναι πάντα ένα.
Γράφουμε την τελευταία μονάδα στο πιο σημαντικό ψηφίο του επιθυμητού δυαδικού αρχείου και γράφουμε τα υπόλοιπα που λαμβάνονται στη διαδικασία μετά από αυτήν τη μονάδα με αντίστροφη σειρά. Εδώ πρέπει να είστε προσεκτικοί και να μην παραλείπετε μηδενικά.
Έτσι, ο αριθμός 235 στον δυαδικό κώδικα θα αντιστοιχεί στον αριθμό 11101011.
Τώρα ας μετατρέψουμε το κλασματικό μέρος του δεκαδικού αριθμού στο δυαδικό σύστημα αριθμών. Για να γίνει αυτό, πολλαπλασιάζουμε διαδοχικά το κλασματικό μέρος του αριθμού επί 2 και διορθώνουμε τους ακέραιους αριθμούς των αριθμών που προκύπτουν. Προσθέτουμε ολόκληρα αυτά τα μέρη σε αυτό που ελήφθη προηγούμενο βήμααριθμός μετά το δυαδικό σε απευθείας σειρά.
Στη συνέχεια δεκαδικό κλασματικός αριθμόςΤο 235,62 αντιστοιχεί στο δυαδικό κλάσμα 11101011,100111.
Βίντεο σχετικά με το θέμα
Παρακαλώ σημειώστε
Δυάδικος κλασματικό μέροςΟ αριθμός θα είναι πεπερασμένος μόνο αν το κλασματικό μέρος του αρχικού αριθμού είναι πεπερασμένο και τελειώνει στο 5. Η πιο απλή περίπτωση: 0,5 x 2 = 1, επομένως το 0,5 στο δεκαδικό είναι 0,1 στο δυαδικό.
Πηγές:
- Μετατροπή δεκαδικών αριθμών σε δυαδικούς το 2019
Συμβουλή 4: Πώς να μετατρέψετε δυαδικούς αριθμούς σε δεκαδικούς
Δυαδικό ή δυαδικό σύστημασυμβολισμός χρησιμοποιείται για την εμφάνιση ηλεκτρονικές πληροφορίες. Οποιοσδήποτε αριθμός μπορεί να γραφτεί σε δυαδική μορφή. Το δυαδικό σύστημα χρησιμοποιείται σε όλα υπολογιστές. Κάθε καταχώρηση σε αυτά κωδικοποιείται από ορισμένους κανόνεςχρησιμοποιώντας ένα σύνολο δύο χαρακτήρων: 0 και 1. Μετατρέψτε έναν δυαδικό αριθμό σε αυτόν δεκαδική παράσταση, πιο βολικό για τον χρήστη, είναι δυνατό χρησιμοποιώντας τον αναπτυγμένο αλγόριθμο.
Οδηγίες
Φανταστείτε τον αριθμό ως δυνάμεις του 2. Για να γίνει αυτό, και τα οκτώ ψηφία πολλαπλασιάζονται διαδοχικά με τον αριθμό 2 αυξημένο σε . Το πτυχίο πρέπει να αντιστοιχεί στην κατηγορία ψηφίων. Το ψηφίο μετράται από το μηδέν, ξεκινώντας από το λιγότερο σημαντικό, δεξιότερο σύμβολο του δυαδικού αριθμοί. Γράψτε και τα οκτώ έργα που έχουν συντεθεί σε .
Συμβουλή 5: Πώς να γράψετε έναν δεκαδικό αριθμό στο δυαδικό σύστημα αριθμών
Μετρικό σύστημα νεκρός απολογισμός- ένα από τα πιο κοινά σε μαθηματική θεωρία. Ωστόσο, με την έλευση πληροφορικής, το δυαδικό σύστημα δεν είναι λιγότερο διαδεδομένο, καθώς είναι ο κύριος τρόπος αναπαράστασης πληροφοριών μνήμη υπολογιστή.
Οδηγίες
Η μετατροπή από δεκαδικό σε δυαδικό εφαρμόζεται τόσο για ακέραιους όσο και για κλάσματα. Η μετάφραση ενός ακέραιου δεκαδικού αριθμού πραγματοποιείται διαιρώντας τον διαδοχικά με το 2. Σε αυτή την περίπτωση, ο αριθμός των επαναλήψεων (δράσεων) αυξάνεται έως ότου το πηλίκο γίνει μηδέν και το τελικό δυαδικό αριθμόςγράφεται ως τα υπολείμματα που προκύπτουν από δεξιά προς τα αριστερά.
Για παράδειγμα, ο μετασχηματισμός του αριθμού 19 μοιάζει με αυτό: 19/2 = 18/2 + 1 = 9, το υπόλοιπο είναι 1, γράφουμε 1;9/2 = 8/2 + 1 = 4, το υπόλοιπο είναι 1 , γράφουμε 1;4/ 2 = 2, δεν υπάρχει υπόλοιπο, γράφουμε 0;2/2 = 1, δεν υπάρχει υπόλοιπο, γράφουμε 0;1/2 = 0 + 1, το υπόλοιπο είναι 1, γράφουμε 1. Έτσι, μετά τη μέθοδο της διαδοχικής διαίρεσης στον αριθμό 19 πήραμε δυαδικό αριθμός 10011.
Εργαστηριακή εργασία Νο 1
Θέμα: Αριθμητικό σύστημα. Μετατροπή ακέραιων δεκαδικών αριθμών σε δυαδικά, οκταδικά, δεκαεξαδικά συστήματα αριθμών. (1 ώρα), SRSP (1 ώρα).
Σύστημα δεκαδικών αριθμών
Η ονομασία "δεκαδικός" εξηγείται από το γεγονός ότι αυτό το σύστημα βασίζεται στη βάση του δέκα. Αυτό το σύστημα χρησιμοποιεί δέκα ψηφία για να γράψει αριθμούς - 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.
Το δεκαδικό σύστημα είναι θέσιο επειδή η σημασία ενός ψηφίου σε έναν δεκαδικό αριθμό εξαρτάται από τη θέση ή τη θέση του στον αριθμό.
Η θέση που εκχωρείται για το ψηφίο ενός αριθμού ονομάζεται ψηφίο.
Για παράδειγμα, η καταχώριση 526 σημαίνει ότι ο αριθμός αποτελείται από 5 εκατοντάδες, 2 δεκάδες και 6 μονάδες Ο αριθμός 6 βρίσκεται στη θέση των μονάδων. Ο αριθμός 2 βρίσκεται στη θέση των δεκάδων και ο αριθμός 5 στη θέση των εκατοντάδων.
Γράψε αυτόν τον αριθμό ως άθροισμα:
526=5*10 2 +2*10 1 +6*10 0
σε αυτήν την καταχώρηση ο αριθμός 10 είναι η βάση του συστήματος αριθμών. Για κάθε ψηφίο ενός αριθμού, η βάση 10 αυξάνεται σε ισχύ ανάλογα με τη θέση του ψηφίου και πολλαπλασιάζεται με αυτό το ψηφίο. Η βασική ισχύς για μονάδες είναι μηδέν, για δεκάδες είναι ένα, για εκατοντάδες είναι δύο κ.λπ.
Οι αρνητικοί εκθέτες χρησιμοποιούνται για την εγγραφή δεκαδικών κλασμάτων. Για παράδειγμα, ο αριθμός 555.55 σε διευρυμένη μορφή γράφεται ως εξής:
555,55 10 = 5*10 2 + 5*10 1 + 5*10°+ 5*10- 1 +5*10- 2 .:
Μετατροπή ακέραιων δεκαδικών αριθμών στο δυαδικό σύστημα αριθμών.
Κατά τη μετατροπή ενός δεκαδικού αριθμού σε δυαδικό, πρέπει να διαιρέσετε αυτόν τον αριθμό με το 2. Για να μετατρέψετε έναν ακέραιο θετικό δεκαδικό αριθμό στο δυαδικό σύστημα αριθμών, πρέπει να διαιρέσετε αυτόν τον αριθμό με το 2. Το πηλίκο που προκύπτει διαιρείται και πάλι με το 2, κ.λπ. μέχρι το πηλίκο να είναι μικρότερο από 2. Ως αποτέλεσμα, γράψτε το τελευταίο πηλίκο και όλα τα υπόλοιπα, ξεκινώντας από το τελευταίο, σε μία γραμμή.
Παράδειγμα.Μετατρέψτε τον αριθμό 891 από το δεκαδικό σύστημα στο δυαδικό σύστημα αριθμών.
Διάλυμα:
1:2=0, 1 (το πιο σημαντικό ψηφίο του δυαδικού αριθμού)
Σημειώνουμε το τελευταίο πηλίκο και όλα τα υπόλοιπα, ξεκινώντας από το τελευταίο, σε μία γραμμή.
Απάντηση: 891 10 =1101111011 2
Μετατροπή δεκαδικών κλασμάτων σε δυαδικό σύστημα αριθμών
Η μετατροπή δεκαδικών κλασμάτων στο δυαδικό σύστημα αριθμών περιλαμβάνει την εύρεση των ακέραιων μερών κατά τον πολλαπλασιασμό με το 2.
Παράδειγμα. Ας μεταφράσουμε δεκαδικός 0,322 στο δυαδικό σύστημα αριθμών.
Για να βρείτε το πρώτο δεκαδικό ψηφίο ενός δυαδικού κλάσματος, πρέπει να πολλαπλασιάσετε δεδομένου αριθμούμε 2 και επισημάνετε ολόκληρο το μέρος της εργασίας.
Διάλυμα:
0,322 10 8,83 10
0,322*2=0,644 0 8:2=4 υπόλοιπο 0
0,644*2=1,288 1 4:2=2 υπόλοιπο 0
0,288*2=0,576 0 2:2=1 υπόλοιπο 0
0,576*2=1,152 1 1:2=0 υπόλοιπο 1
0,3222 10 =0,0101 2 0,83*2=1,66 το ακέραιο μέρος είναι 1
0,66*2=1,32 το ακέραιο μέρος είναι 1
0,32*2=0,64 το ακέραιο μέρος είναι 0
0,64*2=1,28 το ακέραιο μέρος είναι 1
Απάντηση: 8,83=1000,1101
Μετατροπή δεκαδικών αριθμών σε οκταδικό σύστημα αριθμών
Για τη μετατροπή ενός αριθμού από το δεκαδικό σύστημα σε οκταδικό, χρησιμοποιείται η ίδια τεχνική όπως κατά τη μετατροπή στο δυαδικό σύστημα.
Ο αριθμός που έχει μετατραπεί διαιρείται με το 8 σύμφωνα με τους κανόνες του δεκαδικού συστήματος, με το υπόλοιπο να αποθηκεύεται, το οποίο φυσικά δεν ξεπερνά το 7. Εάν το πηλίκο που προκύπτει είναι μεγαλύτερο του 7, διαιρείται επίσης με το 8, διατηρώντας το υπόλοιπο.
Διάλυμα:
(το πιο σημαντικό ψηφίο ενός δυαδικού αριθμού).
Απάντηση: 891 10 =1573 8