Η αριθμομηχανή σάς επιτρέπει να μετατρέπετε ακέραιους και κλασματικούς αριθμούς από ένα σύστημα αριθμών σε άλλο. Η βάση του αριθμητικού συστήματος δεν μπορεί να είναι μικρότερη από 2 και μεγαλύτερη από 36 (10 ψηφία και 26 λατινικά γράμματα τελικά). Το μήκος των αριθμών δεν πρέπει να υπερβαίνει τους 30 χαρακτήρες. Για να εισαγάγετε κλασματικούς αριθμούς, χρησιμοποιήστε το σύμβολο. ή, . Για να μετατρέψετε έναν αριθμό από ένα σύστημα σε άλλο, εισαγάγετε τον αρχικό αριθμό στο πρώτο πεδίο, τη βάση του αρχικού συστήματος αριθμών στο δεύτερο και τη βάση του συστήματος αριθμών στο οποίο θέλετε να μετατρέψετε τον αριθμό στο τρίτο πεδίο, στη συνέχεια κάντε κλικ στο κουμπί "Λήψη εγγραφής".

Αρχικός αριθμός γραμμένο σε 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 -ο αριθμητικό σύστημα.

Θέλω να γράψω έναν αριθμό 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 -ο αριθμητικό σύστημα.

Λάβετε είσοδο

Ολοκληρωμένες μεταφράσεις: 1237177

Αριθμητικά συστήματα

Τα συστήματα αριθμών χωρίζονται σε δύο τύπους: θέσεωςΚαι όχι θέσεις. Χρησιμοποιούμε το αραβικό σύστημα, είναι θέσιο, αλλά υπάρχει και το ρωμαϊκό σύστημα - δεν είναι θέσιο. Στα συστήματα θέσεων, η θέση ενός ψηφίου σε έναν αριθμό καθορίζει μοναδικά την τιμή αυτού του αριθμού. Αυτό είναι εύκολο να γίνει κατανοητό κοιτάζοντας κάποιο αριθμό ως παράδειγμα.

Παράδειγμα 1. Ας πάρουμε τον αριθμό 5921 στο δεκαδικό σύστημα αριθμών. Ας αριθμήσουμε τον αριθμό από τα δεξιά προς τα αριστερά ξεκινώντας από το μηδέν:

Ο αριθμός 5921 μπορεί να γραφτεί με την εξής μορφή: 5921 = 5000+900+20+1 = 5·10 3 +9·10 2 +2·10 1 +1·10 0 . Ο αριθμός 10 είναι ένα χαρακτηριστικό που καθορίζει το σύστημα αριθμών. Οι τιμές της θέσης ενός δεδομένου αριθμού λαμβάνονται ως δυνάμεις.

Παράδειγμα 2. Θεωρήστε τον πραγματικό δεκαδικό αριθμό 1234.567. Ας τον αριθμήσουμε ξεκινώντας από τη μηδενική θέση του αριθμού από την υποδιαστολή προς τα αριστερά και προς τα δεξιά:

Ο αριθμός 1234.567 μπορεί να γραφτεί με την εξής μορφή: 1234.567 = 1000+200+30+4+0.5+0.06+0.007 = 1·10 3 +2·10 2 +3·10 1 +4·10 0 +5·10 -1 + 6·10 -2 +7·10 -3 .

Μετατροπή αριθμών από ένα σύστημα αριθμών σε άλλο

Ο απλούστερος τρόπος για να μετατρέψετε έναν αριθμό από ένα σύστημα αριθμών σε άλλο είναι να μετατρέψετε πρώτα τον αριθμό στο δεκαδικό σύστημα αριθμών και στη συνέχεια το αποτέλεσμα που προκύπτει στο απαιτούμενο σύστημα αριθμών.

Μετατροπή αριθμών από οποιοδήποτε σύστημα αριθμών στο δεκαδικό σύστημα αριθμών

Για να μετατρέψετε έναν αριθμό από οποιοδήποτε σύστημα αριθμών σε δεκαδικό, αρκεί να αριθμήσετε τα ψηφία του, ξεκινώντας από το μηδέν (το ψηφίο στα αριστερά της υποδιαστολής) παρόμοια με τα παραδείγματα 1 ή 2. Ας βρούμε το άθροισμα των γινομένων των ψηφίων του αριθμού από τη βάση του συστήματος αριθμών στη δύναμη της θέσης αυτού του ψηφίου:

1. Μετατρέψτε τον αριθμό 1001101.1101 2 στο δεκαδικό σύστημα αριθμών.
Λύση: 10011.1101 2 = 1·2 4 +0·2 3 +0·2 2 +1·2 1 +1·2 0 +1·2 -1 +1·2 -2 +0·2 -3 +1·2 - 4 = 16+2+1+0,5+0,25+0,0625 = 19,8125 10
Απάντηση: 10011.1101 2 = 19.8125 10

2. Μετατρέψτε τον αριθμό E8F.2D 16 στο δεκαδικό σύστημα αριθμών.
Λύση: E8F.2D 16 = 14·16 2 +8·16 1 +15·16 0 +2·16 -1 +13·16 -2 = 3584+128+15+0,125+0,05078125 = 3727,17578125 10
Απάντηση: E8F.2D 16 = 3727.17578125 10

Μετατροπή αριθμών από το δεκαδικό σύστημα αριθμών σε άλλο σύστημα αριθμών

Για να μετατρέψετε αριθμούς από το δεκαδικό σύστημα αριθμών σε άλλο σύστημα αριθμών, τα ακέραια και τα κλασματικά μέρη του αριθμού πρέπει να μετατραπούν χωριστά.

Μετατροπή ακέραιου μέρους ενός αριθμού από δεκαδικό σύστημα αριθμών σε άλλο σύστημα αριθμών

Ένα ακέραιο μέρος μετατρέπεται από ένα δεκαδικό σύστημα αριθμών σε ένα άλλο σύστημα αριθμών διαιρώντας διαδοχικά το ακέραιο μέρος ενός αριθμού με τη βάση του συστήματος αριθμών έως ότου ληφθεί ένα ακέραιο υπόλοιπο που είναι μικρότερο από τη βάση του συστήματος αριθμών. Το αποτέλεσμα της μετάφρασης θα είναι μια καταγραφή των υπολοίπων, ξεκινώντας από την τελευταία.

3. Μετατρέψτε τον αριθμό 273 10 στο οκταδικό σύστημα αριθμών.
Λύση: 273 / 8 = 34 και υπόλοιπο 1. 34 / 8 = 4 και υπόλοιπο 2. 4 είναι μικρότερο από 8, οπότε ο υπολογισμός έχει ολοκληρωθεί. Το ρεκόρ από τα υπόλοιπα θα μοιάζει με αυτό: 421
Εξέταση: 4·8 2 +2·8 1 +1·8 0 = 256+16+1 = 273 = 273, το αποτέλεσμα είναι το ίδιο. Αυτό σημαίνει ότι η μετάφραση έγινε σωστά.
Απάντηση: 273 10 = 421 8

Ας εξετάσουμε τη μετάφραση κανονικών δεκαδικών κλασμάτων σε διάφορα συστήματα αριθμών.

Μετατροπή του κλασματικού μέρους ενός αριθμού από το δεκαδικό σύστημα αριθμών σε άλλο σύστημα αριθμών

Θυμηθείτε ότι ένα σωστό δεκαδικό κλάσμα ονομάζεται πραγματικός αριθμός με μηδενικό ακέραιο μέρος. Για να μετατρέψετε έναν τέτοιο αριθμό σε ένα σύστημα αριθμών με βάση Ν, πρέπει να πολλαπλασιάσετε διαδοχικά τον αριθμό με το Ν μέχρι το κλασματικό μέρος να μηδενιστεί ή να ληφθεί ο απαιτούμενος αριθμός ψηφίων. Εάν κατά τον πολλαπλασιασμό προκύψει αριθμός με ακέραιο μέρος εκτός του μηδενός, τότε το ακέραιο μέρος δεν λαμβάνεται περαιτέρω υπόψη, αφού εισάγεται διαδοχικά στο αποτέλεσμα.

4. Μετατρέψτε τον αριθμό 0,125 10 στο δυαδικό σύστημα αριθμών.
Λύση: 0,125·2 = 0,25 (0 είναι το ακέραιο μέρος, που θα γίνει το πρώτο ψηφίο του αποτελέσματος), 0,25·2 = 0,5 (0 είναι το δεύτερο ψηφίο του αποτελέσματος), 0,5·2 = 1,0 (1 είναι το τρίτο ψηφίο του αποτελέσματος, και εφόσον το κλασματικό μέρος είναι μηδέν, τότε η μετάφραση ολοκληρώνεται).
Απάντηση: 0.125 10 = 0.001 2

2.3. Μετατροπή αριθμών από ένα σύστημα αριθμών σε άλλο

2.3.1. Μετατροπή ακεραίων από ένα σύστημα αριθμών σε άλλο

Είναι δυνατό να διαμορφωθεί ένας αλγόριθμος για τη μετατροπή ακεραίων από ένα σύστημα ριζών Π σε ένα σύστημα με βάση q :

1. Εκφράστε τη βάση του νέου συστήματος αριθμών με αριθμούς από το αρχικό σύστημα αριθμών και πραγματοποιήστε όλες τις επόμενες ενέργειες στο αρχικό σύστημα αριθμών.

2. Διαιρέστε σταθερά τον δεδομένο αριθμό και τα προκύπτοντα ακέραια πηλίκα με τη βάση του νέου αριθμητικού συστήματος μέχρι να λάβουμε ένα πηλίκο που είναι μικρότερο από το διαιρέτη.

3. Τα υπόλοιπα που προκύπτουν, τα οποία είναι ψηφία του αριθμού στο νέο αριθμητικό σύστημα, φέρονται σύμφωνα με το αλφάβητο του νέου αριθμητικού συστήματος.

4. Συνθέστε έναν αριθμό στο νέο αριθμητικό σύστημα, γράφοντάς τον ξεκινώντας από το τελευταίο υπόλοιπο.

Παράδειγμα 2.12.Μετατρέψτε τον δεκαδικό αριθμό 173 10 σε οκταδικό σύστημα αριθμών:

Παίρνουμε: 173 10 = 255 8

Παράδειγμα 2.13.Μετατρέψτε τον δεκαδικό αριθμό 173 10 σε δεκαεξαδικό σύστημα αριθμών:

Παίρνουμε: 173 10 = 16 μ.Χ.

Παράδειγμα 2.14.Μετατρέψτε τον δεκαδικό αριθμό 11 10 στο δυαδικό σύστημα αριθμών. Είναι πιο βολικό να απεικονίσετε την ακολουθία των ενεργειών που συζητήθηκαν παραπάνω (αλγόριθμος μετάφρασης) ως εξής:

Παίρνουμε: 11 10 = 1011 2.

Παράδειγμα 2.15.Μερικές φορές είναι πιο βολικό να γράψετε τον αλγόριθμο μετάφρασης σε μορφή πίνακα. Ας μετατρέψουμε τον δεκαδικό αριθμό 363 10 σε δυαδικό αριθμό.

Παίρνουμε: 363 10 =101101011 2

2.3.2. Μετατροπή κλασματικών αριθμών από ένα σύστημα αριθμών σε άλλο

Είναι δυνατό να διαμορφωθεί ένας αλγόριθμος για τη μετατροπή ενός σωστού κλάσματος με βάση Π σε κλάσμα με βάση q:

1. Εκφράστε τη βάση του νέου συστήματος αριθμών με αριθμούς από το αρχικό σύστημα αριθμών και πραγματοποιήστε όλες τις επόμενες ενέργειες στο αρχικό σύστημα αριθμών.

2. Πολλαπλασιάστε σταθερά τους δεδομένους αριθμούς και τα προκύπτοντα κλασματικά μέρη των γινομένων με τη βάση του νέου συστήματος μέχρι το κλασματικό μέρος του γινομένου να γίνει ίσο με μηδέν ή να επιτευχθεί η απαιτούμενη ακρίβεια αναπαράστασης των αριθμών.

3. Τα ακέραια μέρη των προϊόντων που προκύπτουν, τα οποία είναι ψηφία του αριθμού στο νέο σύστημα αριθμών, θα πρέπει να συμμορφώνονται με το αλφάβητο του νέου συστήματος αριθμών.

4. Να συνθέσετε το κλασματικό μέρος ενός αριθμού στο νέο σύστημα αριθμών, ξεκινώντας από το ακέραιο μέρος του πρώτου γινομένου.

Παράδειγμα 2.17.Μετατρέψτε τον αριθμό 0,65625 10 στο οκταδικό σύστημα αριθμών.

Παίρνουμε: 0,65625 10 = 0,52 8

Παράδειγμα 2.17.Μετατρέψτε τον αριθμό 0,65625 10 σε δεκαεξαδικό σύστημα αριθμών.

Παίρνουμε: 0,65625 10 = 0,A8 1

Παράδειγμα 2.18.Μετατρέψτε το δεκαδικό κλάσμα 0,5625 10 στο δυαδικό σύστημα αριθμών.

Παίρνουμε: 0,5625 10 = 0,1001 2

Παράδειγμα 2.19.Μετατρέψτε το δεκαδικό κλάσμα 0,7 10 στο δυαδικό σύστημα αριθμών.

Προφανώς, αυτή η διαδικασία μπορεί να συνεχιστεί επ 'αόριστον, δίνοντας όλο και περισσότερα νέα σημάδια στην εικόνα του δυαδικού ισοδύναμου του αριθμού 0,7 10. Έτσι, σε τέσσερα βήματα παίρνουμε τον αριθμό 0,1011 2, και σε επτά βήματα τον αριθμό 0,1011001 2, που είναι μια πιο ακριβής αναπαράσταση του αριθμού 0,7 10 στο δυαδικό σύστημα αριθμών, κ.λπ. Μια τέτοια ατελείωτη διαδικασία τερματίζεται σε κάποιο βήμα, όταν πιστεύεται ότι έχει επιτευχθεί η απαιτούμενη ακρίβεια αναπαράστασης των αριθμών.

2.3.3. Μετάφραση αυθαίρετων αριθμών

Μετάφραση αυθαίρετων αριθμών, δηλ. Οι αριθμοί που περιέχουν έναν ακέραιο και ένα κλασματικό μέρος εκτελούνται σε δύο στάδια Το ακέραιο μέρος μεταφράζεται χωριστά και το κλασματικό μέρος χωριστά. Στην τελική καταγραφή του προκύπτοντος αριθμού, το ακέραιο μέρος χωρίζεται από το κλασματικό μέρος με κόμμα (κουκκίδα).

Παράδειγμα 2.20. Μετατρέψτε τον αριθμό 17.25 10 στο δυαδικό σύστημα αριθμών.

Παίρνουμε: 17,25 10 =1001,01 2

Παράδειγμα 2.21.Μετατρέψτε τον αριθμό 124.25 10 σε οκταδικό σύστημα.

Παίρνουμε: 124,25 10 = 174,2 8

2.3.4. Μετατροπή αριθμών από τη βάση 2 στη βάση 2 n και αντίστροφα

Μετάφραση ακεραίων αριθμών.Εάν η βάση του συστήματος αριθμών q-ary είναι δύναμη 2, τότε η μετατροπή των αριθμών από το σύστημα αριθμών q-ary στο 2-ary σύστημα αριθμών και πίσω μπορεί να πραγματοποιηθεί σύμφωνα με απλούστερους κανόνες. Για να γράψετε έναν ακέραιο δυαδικό αριθμό στο αριθμητικό σύστημα με βάση q=2 n, χρειάζεστε:

1. Διαιρέστε τον δυαδικό αριθμό από τα δεξιά προς τα αριστερά σε ομάδες των n ψηφίων η καθεμία.

2. Εάν η τελευταία αριστερή ομάδα έχει λιγότερα από n ψηφία, τότε πρέπει να συμπληρωθεί στα αριστερά με μηδενικά στον απαιτούμενο αριθμό ψηφίων.

Παράδειγμα 2.22.Ο αριθμός 101100001000110010 2 θα μετατραπεί στο οκταδικό σύστημα αριθμών.

Διαιρούμε τον αριθμό από δεξιά προς τα αριστερά σε τριάδες και κάτω από κάθε μία από αυτές γράφουμε το αντίστοιχο οκταδικό ψηφίο:

Παίρνουμε την οκταδική αναπαράσταση του αρχικού αριθμού: 541062 8 .

Παράδειγμα 2.23.Ο αριθμός 1000000000111110000111 2 θα μετατραπεί στο δεκαεξαδικό σύστημα αριθμών.

Διαιρούμε τον αριθμό από δεξιά προς τα αριστερά σε τετράδια και κάτω από καθένα από αυτά γράφουμε το αντίστοιχο δεκαεξαδικό ψηφίο:

Παίρνουμε τη δεκαεξαδική αναπαράσταση του αρχικού αριθμού: 200F87 16.

Μετατροπή κλασματικών αριθμών.Για να γράψετε έναν κλασματικό δυαδικό αριθμό σε ένα αριθμητικό σύστημα με βάση q=2 n, χρειάζεστε:

1. Διαιρέστε τον δυαδικό αριθμό από αριστερά προς τα δεξιά σε ομάδες των n ψηφίων η καθεμία.

2. Εάν η τελευταία δεξιά ομάδα έχει λιγότερα από n ψηφία, τότε πρέπει να συμπληρωθεί στα δεξιά με μηδενικά στον απαιτούμενο αριθμό ψηφίων.

3. Θεωρήστε κάθε ομάδα ως δυαδικό αριθμό n-bit και γράψτε την με το αντίστοιχο ψηφίο στο αριθμητικό σύστημα με βάση q=2 n.

Παράδειγμα 2.24.Ο αριθμός 0,10110001 2 θα μετατραπεί στο οκταδικό σύστημα αριθμών.

Διαιρούμε τον αριθμό από αριστερά προς τα δεξιά σε τριάδες και κάτω από καθεμία από αυτές γράφουμε το αντίστοιχο οκταδικό ψηφίο:

Παίρνουμε την οκταδική αναπαράσταση του αρχικού αριθμού: 0,542 8 .

Παράδειγμα 2.25.Ο αριθμός 0,100000000011 2 θα μετατραπεί στο δεκαεξαδικό σύστημα αριθμών. Διαιρούμε τον αριθμό από αριστερά προς τα δεξιά σε τετράδια και κάτω από καθένα από αυτά γράφουμε το αντίστοιχο δεκαεξαδικό ψηφίο:

Παίρνουμε τη δεκαεξαδική αναπαράσταση του αρχικού αριθμού: 0,803 16

Μετάφραση αυθαίρετων αριθμών.Για να γράψετε έναν αυθαίρετο δυαδικό αριθμό στο αριθμητικό σύστημα με βάση q=2 n, χρειάζεστε:

1. Διαιρέστε το ακέραιο μέρος ενός δεδομένου δυαδικού αριθμού από δεξιά προς τα αριστερά και το κλασματικό μέρος από αριστερά προς τα δεξιά σε ομάδες των n ψηφίων η καθεμία.

2. Εάν η τελευταία αριστερή και/ή δεξιά ομάδα έχουν λιγότερα από n ψηφία, τότε πρέπει να συμπληρωθούν στα αριστερά ή/και δεξιά με μηδενικά στον απαιτούμενο αριθμό ψηφίων.

3. Θεωρήστε κάθε ομάδα ως δυαδικό αριθμό n-bit και γράψτε την με το αντίστοιχο ψηφίο στο σύστημα αριθμών με βάση q = 2 n

Παράδειγμα 2.26.Ας μετατρέψουμε τον αριθμό 111100101.0111 2 στο οκταδικό σύστημα αριθμών.

Χωρίζουμε τα ακέραια και τα κλασματικά μέρη του αριθμού σε τριάδες και κάτω από κάθε ένα από αυτά γράφουμε το αντίστοιχο οκταδικό ψηφίο:

Παίρνουμε την οκταδική αναπαράσταση του αρχικού αριθμού: 745.34 8 .

Παράδειγμα 2.27.Ο αριθμός 11101001000,11010010 2 θα μετατραπεί στο δεκαεξαδικό σύστημα αριθμών.

Χωρίζουμε τα ακέραια και τα κλασματικά μέρη του αριθμού σε τετράδια και κάτω από καθένα από αυτά γράφουμε το αντίστοιχο δεκαεξαδικό ψηφίο:

Παίρνουμε τη δεκαεξαδική αναπαράσταση του αρχικού αριθμού: 748, D2 16.

Μετατροπή αριθμών από αριθμητικά συστήματα με βάση q=2n σε δυαδικό.Για να μετατρέψετε έναν αυθαίρετο αριθμό γραμμένο στο σύστημα αριθμών με βάση q=2 n στο δυαδικό σύστημα αριθμών, πρέπει να αντικαταστήσετε κάθε ψηφίο αυτού του αριθμού με το n-ψηφίο του ισοδύναμο στο δυαδικό σύστημα αριθμών.

Παράδειγμα 2.28.Ας μετατρέψουμε τον δεκαεξαδικό αριθμό 4AC35 16 στο δυαδικό σύστημα αριθμών.

Σύμφωνα με τον αλγόριθμο:

Παίρνουμε: 1001010110000110101 2 .

Εργασίες για ανεξάρτητη ολοκλήρωση (Απαντήσεις)

2.38. Συμπληρώστε τον πίνακα, σε κάθε σειρά του οποίου πρέπει να γράφεται ο ίδιος ακέραιος σε διαφορετικά συστήματα αριθμών.

2.39. Συμπληρώστε τον πίνακα, σε κάθε σειρά του οποίου πρέπει να γράφεται ο ίδιος κλασματικός αριθμός σε διαφορετικά συστήματα αριθμών.

2.40. Συμπληρώστε τον πίνακα, σε κάθε σειρά του οποίου ο ίδιος αυθαίρετος αριθμός (ο αριθμός μπορεί να περιέχει και έναν ακέραιο και ένα κλασματικό μέρος) πρέπει να γράφεται σε διαφορετικά συστήματα αριθμών.

Για να μετατρέψετε αριθμούς από δεκαδικά s/s σε οποιονδήποτε άλλο, πρέπει να διαιρέσετε τον δεκαδικό αριθμό με τη βάση του συστήματος στο οποίο μετατρέπετε, ενώ διατηρείτε το υπόλοιπο από κάθε διαίρεση. Το αποτέλεσμα δημιουργείται από τα δεξιά προς τα αριστερά. Η διαίρεση συνεχίζεται έως ότου το αποτέλεσμα της διαίρεσης είναι μικρότερο από το διαιρέτη.

Η αριθμομηχανή μετατρέπει αριθμούς από ένα σύστημα αριθμών σε οποιοδήποτε άλλο. Μπορεί να μετατρέψει αριθμούς από δυαδικούς σε δεκαδικούς ή δεκαδικούς σε δεκαεξαδικούς, δείχνοντας τη λεπτομερή πρόοδο της λύσης. Μπορείτε εύκολα να μετατρέψετε έναν αριθμό από τριαδικό σε πεπτικό ή ακόμα και από επταήλιο σε δέκατο έβδομο. Η αριθμομηχανή μπορεί να μετατρέψει αριθμούς από οποιοδήποτε σύστημα αριθμών σε οποιοδήποτε άλλο.

Το αποτέλεσμα έχει ήδη ληφθεί!

Αριθμητικά συστήματα

Υπάρχουν συστήματα αριθμών θέσης και μη. Το αραβικό σύστημα αριθμών, το οποίο χρησιμοποιούμε στην καθημερινή ζωή, είναι θέσιο, αλλά το ρωμαϊκό σύστημα αριθμών δεν είναι. Στα συστήματα αριθμών θέσης, η θέση ενός αριθμού καθορίζει μοναδικά το μέγεθος του αριθμού. Ας το εξετάσουμε χρησιμοποιώντας το παράδειγμα του αριθμού 6372 στο δεκαδικό σύστημα αριθμών. Ας αριθμήσουμε αυτόν τον αριθμό από δεξιά προς τα αριστερά ξεκινώντας από το μηδέν:

Τότε ο αριθμός 6372 μπορεί να αναπαρασταθεί ως εξής:

6372=6000+300+70+2 =6·10 3 +3·10 2 +7·10 1 +2·10 0 .

Ο αριθμός 10 ορίζει το σύστημα αριθμών (σε σε αυτήν την περίπτωσηαυτό είναι 10). Οι τιμές της θέσης ενός δεδομένου αριθμού λαμβάνονται ως δυνάμεις.

Θεωρήστε τον πραγματικό δεκαδικό αριθμό 1287.923. Ας τον αριθμήσουμε ξεκινώντας από τη μηδενική θέση του αριθμού από την υποδιαστολή προς τα αριστερά και προς τα δεξιά:

Τότε ο αριθμός 1287.923 μπορεί να αναπαρασταθεί ως:

1287.923 =1000+200+80 +7+0.9+0.02+0.003 = 1·10 3 +2·10 2 +8·10 1 +7·10 0 +9·10 -1 +2·10 -2 +3· 10 -3.

Γενικά, ο τύπος μπορεί να αναπαρασταθεί ως εξής:

C n μικρό n +C n-1 · μικρό n-1 +...+C 1 · μικρό 1 +C 0 ·s 0 +D -1 ·s -1 +D -2 ·s -2 +...+D -k ·s -k

όπου C n είναι ένας ακέραιος στη θέση του n, D -k - κλασματικός αριθμός στη θέση (-k), μικρό- σύστημα αριθμών.

Λίγα λόγια για τα συστήματα αριθμών Ένας αριθμός στο δεκαδικό σύστημα αριθμών αποτελείται από πολλά ψηφία (0,1,2,3,4,5,6,7,8,9), στο οκταδικό σύστημα αριθμών αποτελείται από πολλά ψηφία. (0,1, 2,3,4,5,6,7), στο δυαδικό σύστημα αριθμών - από ένα σύνολο ψηφίων (0,1), στο δεκαεξαδικό σύστημα αριθμών - από ένα σύνολο ψηφίων (0,1 ,2,3,4,5,6, 7,8,9,A,B,C,D,E,F), όπου τα A,B,C,D,E,F αντιστοιχούν στους αριθμούς 10,11, 12,13,14,15 Στον πίνακα Πίνακας 1 παρουσιάζονται οι αριθμοί σε διαφορετικά συστήματα αριθμών.

Μετατροπή αριθμών από ένα σύστημα αριθμών σε άλλο

Για να μετατρέψετε αριθμούς από ένα σύστημα αριθμών σε άλλο, ο ευκολότερος τρόπος είναι πρώτα να μετατρέψετε τον αριθμό στο δεκαδικό σύστημα αριθμών και, στη συνέχεια, να μετατρέψετε από το δεκαδικό σύστημα αριθμών στο απαιτούμενο σύστημα αριθμών.

Μετατροπή αριθμών από οποιοδήποτε σύστημα αριθμών στο δεκαδικό σύστημα αριθμών

Χρησιμοποιώντας τον τύπο (1), μπορείτε να μετατρέψετε αριθμούς από οποιοδήποτε σύστημα αριθμών στο δεκαδικό σύστημα αριθμών.

Παράδειγμα 1. Μετατρέψτε τον αριθμό 1011101.001 από δυαδικό σύστημα αριθμών (SS) σε δεκαδικό SS. Λύση:

1 ·2 6 +0 ·2 5 + 1 ·2 4 + 1 ·2 3 + 1 ·2 2 + 0 ·2 1 + 1 ·2 0 + 0 ·2 -1 + 0 ·2 -2 + 1 ·2 -3 =64+16+8+4+1+1/8=93.125

Παράδειγμα2. Μετατρέψτε τον αριθμό 1011101.001 από οκταδικό σύστημα αριθμών (SS) σε δεκαδικό SS. Λύση:

Παράδειγμα 3 . Μετατρέψτε τον αριθμό AB572.CDF από δεκαεξαδικό σύστημα αριθμών σε δεκαδικό SS. Λύση:

Εδώ ΕΝΑ-αντικαταστάθηκε από 10, σι- στις 11, ντο- στα 12, φά- έως 15.

Μετατροπή αριθμών από το δεκαδικό σύστημα αριθμών σε άλλο σύστημα αριθμών

Για να μετατρέψετε αριθμούς από το δεκαδικό σύστημα αριθμών σε άλλο σύστημα αριθμών, πρέπει να μετατρέψετε το ακέραιο μέρος του αριθμού και το κλασματικό μέρος του αριθμού ξεχωριστά.

Το ακέραιο μέρος ενός αριθμού μετατρέπεται από δεκαδικό SS σε άλλο σύστημα αριθμών διαιρώντας διαδοχικά το ακέραιο μέρος του αριθμού με τη βάση του συστήματος αριθμών (για δυαδικό SS - με 2, για 8-ary SS - με 8, για 16 -ary SS - κατά 16, κ.λπ. ) έως ότου ληφθεί ένα ολόκληρο υπόλειμμα, μικρότερο από το βασικό CC.

Παράδειγμα 4 . Ας μετατρέψουμε τον αριθμό 159 από δεκαδικό SS σε δυαδικό SS:

Όπως φαίνεται από το Σχ. 1, ο αριθμός 159 όταν διαιρείται με το 2 δίνει το πηλίκο 79 και το υπόλοιπο 1. Επιπλέον, ο αριθμός 79 όταν διαιρείται με το 2 δίνει το πηλίκο 39 και το υπόλοιπο 1, κ.λπ. Ως αποτέλεσμα, κατασκευάζοντας έναν αριθμό από υπολείμματα διαίρεσης (από δεξιά προς τα αριστερά), λαμβάνουμε έναν αριθμό σε δυαδικό SS: 10011111 . Επομένως μπορούμε να γράψουμε:

159 10 =10011111 2 .

Παράδειγμα 5 . Ας μετατρέψουμε τον αριθμό 615 από δεκαδικό SS σε οκταδικό SS.

Όταν μετατρέπετε έναν αριθμό από δεκαδικό SS σε οκταδικό SS, πρέπει να διαιρέσετε διαδοχικά τον αριθμό με το 8 έως ότου λάβετε ένα ακέραιο υπόλοιπο μικρότερο από το 8. Ως αποτέλεσμα, κατασκευάζοντας έναν αριθμό από υπολείμματα διαίρεσης (από δεξιά προς τα αριστερά) παίρνουμε ένας αριθμός σε οκταδικό SS: 1147 (Βλέπε Εικ. 2). Επομένως μπορούμε να γράψουμε:

615 10 =1147 8 .

Παράδειγμα 6 . Ας μετατρέψουμε τον αριθμό 19673 από το δεκαδικό σύστημα αριθμών σε δεκαεξαδικό SS.

Όπως φαίνεται από το σχήμα 3, με τη διαδοχική διαίρεση του αριθμού 19673 με το 16, τα υπόλοιπα είναι 4, 12, 13, 9. Στο δεκαεξαδικό σύστημα αριθμών, ο αριθμός 12 αντιστοιχεί στο C, ο αριθμός 13 στο D. Επομένως, ο δεκαεξαδικός αριθμός είναι 4CD9.

Για να μετατρέψετε κανονικά δεκαδικά κλάσματα (πραγματικός αριθμός με μηδενικό ακέραιο μέρος) σε σύστημα αριθμών με βάση s, είναι απαραίτητο να πολλαπλασιάσετε διαδοχικά αυτόν τον αριθμό με το s έως ότου το κλασματικό μέρος περιέχει ένα καθαρό μηδέν ή λάβουμε τον απαιτούμενο αριθμό ψηφίων . Εάν κατά τον πολλαπλασιασμό προκύψει αριθμός με ακέραιο μέρος εκτός του μηδενός, τότε αυτό το ακέραιο μέρος δεν λαμβάνεται υπόψη (περιλαμβάνονται διαδοχικά στο αποτέλεσμα).

Ας δούμε τα παραπάνω με παραδείγματα.

Παράδειγμα 7 . Ας μετατρέψουμε τον αριθμό 0,214 από το δεκαδικό σύστημα αριθμών σε δυαδικό SS.

Όπως φαίνεται από το Σχ. 4, ο αριθμός 0,214 πολλαπλασιάζεται διαδοχικά με το 2. Εάν το αποτέλεσμα του πολλαπλασιασμού είναι ένας αριθμός με ακέραιο μέρος διαφορετικό από το μηδέν, τότε το ακέραιο μέρος γράφεται χωριστά (στα αριστερά του αριθμού). και ο αριθμός γράφεται με μηδενικό ακέραιο μέρος. Αν από τον πολλαπλασιασμό προκύπτει ένας αριθμός με μηδενικό ακέραιο μέρος, τότε γράφεται ένα μηδέν στα αριστερά του. Η διαδικασία πολλαπλασιασμού συνεχίζεται έως ότου το κλασματικό μέρος φτάσει σε ένα καθαρό μηδέν ή λάβουμε τον απαιτούμενο αριθμό ψηφίων. Γράφοντας έντονους αριθμούς (Εικ. 4) από πάνω προς τα κάτω, παίρνουμε τον απαιτούμενο αριθμό στο δυαδικό σύστημα αριθμών: 0. 0011011 .

Επομένως μπορούμε να γράψουμε:

0.214 10 =0.0011011 2 .

Παράδειγμα 8 . Ας μετατρέψουμε τον αριθμό 0,125 από το δεκαδικό σύστημα αριθμών σε δυαδικό SS.

Για να μετατρέψετε τον αριθμό 0,125 από δεκαδικό SS σε δυαδικό, αυτός ο αριθμός πολλαπλασιάζεται διαδοχικά με το 2. Στο τρίτο στάδιο, το αποτέλεσμα είναι 0. Κατά συνέπεια, προκύπτει το ακόλουθο αποτέλεσμα:

0.125 10 =0.001 2 .

Παράδειγμα 9 . Ας μετατρέψουμε τον αριθμό 0,214 από το δεκαδικό σύστημα αριθμών σε δεκαεξαδικό SS.

Ακολουθώντας τα παραδείγματα 4 και 5, παίρνουμε τους αριθμούς 3, 6, 12, 8, 11, 4. Αλλά στο δεκαεξαδικό SS, οι αριθμοί 12 και 11 αντιστοιχούν στους αριθμούς C και B. Επομένως, έχουμε:

0,214 10 =0,36C8B4 16 .

Παράδειγμα 10 . Ας μετατρέψουμε τον αριθμό 0,512 από το δεκαδικό σύστημα αριθμών σε οκταδικό SS.

Πήρα:

0.512 10 =0.406111 8 .

Παράδειγμα 11 . Ας μετατρέψουμε τον αριθμό 159.125 από το δεκαδικό σύστημα αριθμών σε δυαδικό SS. Για να γίνει αυτό, μεταφράζουμε χωριστά το ακέραιο μέρος του αριθμού (Παράδειγμα 4) και το κλασματικό μέρος του αριθμού (Παράδειγμα 8). Συνδυάζοντας περαιτέρω αυτά τα αποτελέσματα έχουμε:

159.125 10 =10011111.001 2 .

Παράδειγμα 12 . Ας μετατρέψουμε τον αριθμό 19673.214 από το δεκαδικό σύστημα αριθμών σε δεκαεξαδικό SS. Για να γίνει αυτό, μεταφράζουμε χωριστά το ακέραιο μέρος του αριθμού (Παράδειγμα 6) και το κλασματικό μέρος του αριθμού (Παράδειγμα 9). Περαιτέρω, συνδυάζοντας αυτά τα αποτελέσματα παίρνουμε.