Αντιπαράγωγο 1 cosx τετράγωνο. Ολοκλήρωση τριγωνομετρικών συναρτήσεων. Ολοκληρώματα με το γινόμενο των συναρτήσεων ισχύος των cos x και sin x
Για να ενσωματωθούν ορθολογικές συναρτήσεις της μορφής R(sin x, cos x), χρησιμοποιείται μια υποκατάσταση, η οποία ονομάζεται καθολική τριγωνομετρική υποκατάσταση. Επειτα . Η καθολική τριγωνομετρική υποκατάσταση οδηγεί συχνά σε μεγάλους υπολογισμούς. Επομένως, όποτε είναι δυνατόν, χρησιμοποιήστε τις ακόλουθες αντικαταστάσεις. 
Ολοκλήρωση συναρτήσεων ορθολογικά εξαρτώμενων από τριγωνομετρικές συναρτήσεις
1. Ολοκληρώματα της μορφής ∫ sin n xdx , ∫ cos n xdx , n>0α) Εάν το n είναι περιττό, τότε μια δύναμη του sinx (ή cosx) πρέπει να εισαχθεί κάτω από το διαφορικό πρόσημο και από το υπόλοιπο ακόμη και πτυχίοθα πρέπει να μετακινηθείτε στην αντίθετη συνάρτηση.
β) Αν το n είναι άρτιο, τότε χρησιμοποιούμε τύπους για τη μείωση του βαθμού
2. Ολοκληρώματα της μορφής ∫ tg n xdx , ∫ ctg n xdx , όπου n είναι ακέραιος.
Πρέπει να χρησιμοποιούνται φόρμουλες
3. Ολοκληρώματα της μορφής ∫ sin n x cos m x dx
α) Έστω m και n διαφορετικών ισοτιμιών. Χρησιμοποιούμε την αντικατάσταση t=sin x αν το n είναι περιττό ή t=cos x αν το m είναι περιττό.
β) Αν τα m και n είναι άρτια, τότε χρησιμοποιούμε τύπους για τη μείωση του βαθμού
2sin 2 x=1-cos2x, 2cos 2 x=1+cos2x.
4. Ολοκληρώματα της φόρμας
Αν οι αριθμοί m και n είναι της ίδιας ισοτιμίας, τότε χρησιμοποιούμε την αντικατάσταση t=tg x. Συχνά είναι βολικό να χρησιμοποιείτε την τεχνική της τριγωνομετρικής μονάδας.
5. ∫ sin(nx) cos(mx)dx , ∫ cos(mx) cos(nx)dx , ∫ sin(mx) sin(nx)dx
Ας χρησιμοποιήσουμε τους τύπους για τη μετατροπή του γινομένου των τριγωνομετρικών συναρτήσεων στο άθροισμά τους
Παραδείγματα
1. Υπολογίστε το ολοκλήρωμα ∫ cos 4 x·sin 3 xdx .
Κάνουμε την αντικατάσταση cos(x)=t. Τότε ∫ cos 4 x sin 3 xdx = 
2. Υπολογίστε το ολοκλήρωμα.
Κάνοντας την αντικατάσταση sin x=t , παίρνουμε
3. Βρείτε το ολοκλήρωμα.
Κάνουμε την αντικατάσταση tg(x)=t . Αντικαθιστώντας, παίρνουμε
Σημειώστε ότι η αντικατάσταση ctg(x)=t είναι πιο βολική εδώ, από τότε , και επομένως
Ολοκλήρωση εκφράσεων της μορφής R(sinx, cosx)
Παράδειγμα Νο. 1. Υπολογισμός ολοκληρωμάτων: 
Λύση.
α) Ολοκλήρωση παραστάσεων της μορφής R(sinx, cosx), όπου R είναι μια ορθολογική συνάρτηση των sin x και cos x, μετατρέπονται σε ολοκληρώματα ορθολογικών συναρτήσεων χρησιμοποιώντας την καθολική τριγωνομετρική αντικατάσταση tg(x/2) = t.
Τότε έχουμε
Μια καθολική τριγωνομετρική υποκατάσταση καθιστά δυνατή τη μετάβαση από ένα ολοκλήρωμα της μορφής ∫ R(sinx, cosx) dx σε ένα ολοκλήρωμα μιας κλασματικής ορθολογικής συνάρτησης, αλλά συχνά μια τέτοια αντικατάσταση οδηγεί σε δυσκίνητες εκφράσεις. Υπό ορισμένες προϋποθέσεις, απλούστερες αντικαταστάσεις είναι αποτελεσματικές:
- Εάν η ισότητα R(-sin x, cos x) = -R(sin x, cos x)dx ικανοποιείται, τότε εφαρμόζεται η αντικατάσταση cos x = t.
- Αν ισχύει η ισότητα R(sin x, -cos x) = -R(sin x, cos x)dx, τότε η αντικατάσταση sin x = t.
- Αν ισχύει η ισότητα R(-sin x, -cos x) = R(sin x, cos x)dx, τότε η αντικατάσταση tgx = t ή ctg x = t.
ας εφαρμόσουμε καθολική τριγωνομετρική αντικατάσταση tg(x/2) = t.
Επειτα
Δεδομένου ότι το κλάσμα είναι ακατάλληλο, τότε, απομονώνοντας ολόκληρο το μέρος, παίρνουμε
Επιστρέφοντας στην αρχική μεταβλητή θα έχουμε
β) Στο δεύτερο παράδειγμα, εξετάστε ένα σημαντικό ειδική περίπτωση, όταν η γενική έκφραση ∫ R(sinx, cosx) dx είναι ∫ sin m x cos n xdx . Στη συγκεκριμένη περίπτωση, εάν το m είναι περιττό, θα πρέπει να εφαρμοστεί η αντικατάσταση cos x = t. Εάν το n είναι περιττό, θα πρέπει να εφαρμοστεί η αντικατάσταση sin x = t. Εάν και οι δύο εκθέτες είναι τύπου - ακόμη και μη αρνητικοί αριθμοί (συγκεκριμένα, ένας από αυτούς μπορεί να είναι ίσο με μηδέν), τότε η αντικατάσταση πραγματοποιείται χρησιμοποιώντας γνωστούς τριγωνομετρικούς τύπους:
Σε αυτήν την περίπτωση 
Απάντηση: 
Ας εξετάσουμε τα ολοκληρώματα των τριγωνομετρικών ορθολογικών συναρτήσεων:
,
όπου R είναι μια ορθολογική συνάρτηση, δηλαδή μια συνάρτηση που αποτελείται από τις πράξεις της πρόσθεσης, της διαίρεσης και της αύξησης σε μια ακέραια δύναμη. Αυτό μπορεί επίσης να περιλαμβάνει εφαπτομένες και συνεφαπτομένες (όπως προκύπτουν με τη διαίρεση του ημιτόνου και του συνημιτίου). Τις περισσότερες φορές, θα πρέπει να μετατρέπονται μέσω ημιτόνων και συνημιτόνων.
Ανάλογα με τον τύπο του ολοκληρωτή, χρησιμοποιούνται διάφορες μέθοδοι για την ολοκλήρωση τριγωνομετρικών ορθολογικών συναρτήσεων.
Αντικαταστάσεις t = sin x ή t = cos x
Αν R( cos x, sin x)πολλαπλασιάζεται επί -1 κατά την αντικατάσταση
cos x → - cos xή αμαρτία x → - αμαρτία x,
τότε είναι χρήσιμο να συμβολίσουμε το άλλο από αυτά με t.
Έτσι, κατά την αντικατάσταση
t = cos x,
dt = (cos x )′ dx = - sin x dx,
αμαρτία 2 x = 1 - cos 2 x = 1 - t 2.
Κατά την αντικατάσταση
t = αμαρτία x,
dt = (sin x )′ dx = cos x dx,
cos 2 x = 1 - sin 2 x = 1 - t 2.
Αντικατάσταση t = tg x
Αν R( cos x, sin x)δεν αλλάζει όταν αντικαθίσταται ταυτόχρονα
cos x → - cos xΚαι αμαρτία x → - αμαρτία x,
είναι χρήσιμο να βάλεις tg x = tή κούνια x = t.
Έστω t = tg x, Επειτα
,
,
,
.
Αντικατάσταση t = tg(x/2)
Υποκατάσταση
σε όλες τις περιπτώσεις οδηγεί στο ολοκλήρωμα του ορθολογικού κλάσματος.
Εν
,
,
,
,
,
.
Ετσι,
.
Αυτή η αντικατάσταση είναι καθολική και επιτρέπει σε όλες τις περιπτώσεις τη μείωση των ολοκληρωμάτων από τριγωνομετρικές ορθολογικές συναρτήσεις σε ολοκληρώματα από ορθολογικές συναρτήσεις. Δυστυχώς, αυτή η αντικατάσταση έχει ως αποτέλεσμα μεγαλύτερους υπολογισμούς από τους προηγούμενους, εάν υπάρχει.
Ολοκληρώματα με το γινόμενο των συναρτήσεων ισχύος των cos x και sin x
Συχνά συναντάμε ολοκληρώματα στα οποία το integrand είναι το γινόμενο λειτουργίες ισχύοςαπό ημίτονο και συνημίτονο:
Για ακέραιο m και n, το ολοκλήρωμα είναι τριγωνομετρικό λογική λειτουργίακαι, για την ενσωμάτωσή του, ισχύουν οι μέθοδοι που αναφέρονται παραπάνω. Ωστόσο, λόγω των ιδιαιτεροτήτων, υπάρχει ένας αριθμός πρόσθετες μέθοδοι, τα οποία, σε ορισμένες περιπτώσεις, καθιστούν δυνατή την απλούστευση του υπολογισμού τέτοιων ολοκληρωμάτων.
Παραδείγματα
Τρία παραδείγματα ολοκλήρωσης ορθολογικών τριγωνομετρικών συναρτήσεων αναλύονται λεπτομερώς παρακάτω.
Παράδειγμα 1
Υπολογίστε ολοκλήρωμα
Λύση
Ολοκληρωτέου
είναι ένα κλάσμα που αποτελείται από πολυώνυμα σε τριγωνομετρικές συναρτήσεις αμαρτία xΚαι cos x αμαρτία xΚαι cos x.
Θα αντικαταστήσουμε cos xεπί - cos x:
Ολόκληρη η συνάρτηση πολλαπλασιάζεται με -1.
Σύμφωνα με τον κανόνα 1, κάνουμε μια αντικατάσταση:
t = αμαρτία x.
Επειτα
dt = (sin x)′ dx = cos x dx.
Αντικατάσταση στο ολοκλήρωμα:
Λάβαμε το ολοκλήρωμα μιας ορθολογικής συνάρτησης (κλάσματα από πολυώνυμα). Επιλέγουμε ολόκληρο το μέρος και αποσυνθέτουμε το κλάσμα στην απλούστερη μορφή του:
.
Ας ενσωματώσουμε:
Απάντηση
Παράδειγμα 2
Προσδιορίστε το ολοκλήρωμα
Λύση
Ολοκληρωτέου
είναι ένα κλάσμα που αποτελείται από πολυώνυμα στην τριγωνομετρική συνάρτηση αμαρτία x. Επομένως είναι μια λογική συνάρτηση του αμαρτία xΚαι cos x.
Θα αντικαταστήσουμε αμαρτία xεπί - αμαρτία x:
Η λειτουργία δεν έχει αλλάξει.
Θα αντικαταστήσουμε cos xεπί - cos x. Δεδομένου ότι το ολοκλήρωμα δεν εξαρτάται από cos x, τότε με αυτήν την αντικατάσταση επίσης δεν αλλάζει.
Σύμφωνα με τον δεύτερο κανόνα που δίνεται παραπάνω, κάνουμε μια αντικατάσταση:
t = tg x.
;
;
.
Ας εφαρμόσουμε τον τύπο αμαρτία 2 x + cos 2 x = 1και διαιρέστε τον αριθμητή και τον παρονομαστή με cos 2 x.
.
Αντικαθιστούμε και επεκτείνουμε το κλάσμα στην απλούστερη μορφή του:
.
Απάντηση
Παράδειγμα 3
Λύστε το ολοκλήρωμα
Λύση
Ολοκληρωτέου
είναι ένα κλάσμα που αποτελείται από ένα πολυώνυμο τριγωνομετρικών συναρτήσεων αμαρτία xΚαι cos x. Επομένως είναι μια λογική συνάρτηση του αμαρτία xΚαι cos x.
Εάν αντικαταστήσετε αμαρτία xεπί - αμαρτία xή cos xεπί - cos x, τότε η συνάρτηση αλλάζει μορφή, επομένως οι κανόνες 1 ή 2 δεν ισχύουν.
Σύμφωνα με τον τρίτο κανόνα που δόθηκε παραπάνω, κάνουμε μια αντικατάσταση:
.
;
.
Ας μετατρέψουμε τον παρονομαστή χρησιμοποιώντας τους τύπους:
,
,
.
.
.
Φέρνουμε τον παρονομαστή στο άθροισμα των τετραγώνων:
.
Ας αντικαταστήσουμε:
Απάντηση
Βιβλιογραφικές αναφορές:
Ν.Μ. Gunter, R.O. Kuzmin, Συλλογή προβλημάτων στα ανώτερα μαθηματικά, "Lan", 2003.