Καθοριστικός πίνακας στο Excel. Επίλυση συστημάτων γραμμικών αλγεβρικών εξισώσεων στο Excel. Υπολογισμός της ορίζουσας ενός πίνακα

Λειτουργίες Matrix

Μεταθέτω

Υπολογισμός της ορίζουσας ενός πίνακα

Εύρεση αντίστροφη μήτρα

Πρόσθεση και αφαίρεση πινάκων

Πολλαπλασιάζοντας έναν πίνακα με έναν αριθμό

Πολλαπλασιασμός μήτρας

Βιβλιογραφία

Τα εργαλεία MSExcel είναι πολύ χρήσιμα στη γραμμική άλγεβρα, κυρίως για πράξεις με πίνακες και συστήματα επίλυσης γραμμικές εξισώσεις.

Πίνακες

Ουσιαστικό μέρος μαθηματικά μοντέλα διάφορα αντικείμενακαι οι διαδικασίες είναι γραμμένες σε ένα αρκετά απλό και συμπαγές μορφή μήτρας. Ειδικότερα, όταν λύνουμε γραμμικές εξισώσεις έχουμε να κάνουμε με πίνακες και αριθμητικές πράξειςμε αυτούς. Τι είναι μια μήτρα; Πώς εκτελούνται οι λειτουργίες με πίνακες;

Πίνακας μεγέθους Μ × nείναι ένας ορθογώνιος πίνακας αριθμών που περιέχει m γραμμές και n στήλες. Οι πίνακες συμβολίζονται με κεφαλαία γράμματα Λατινικό αλφάβητο. Οι αριθμοί που απαρτίζουν έναν πίνακα ονομάζονται στοιχεία μήτρας και συμβολίζονται πεζά γράμματαμε διπλή ευρετηρίαση: a ij, όπου I είναι ο αριθμός σειράς και j είναι ο αριθμός της στήλης. Για παράδειγμα, μήτρα Α μεγέθους Μ × nμπορεί να αναπαρασταθεί ως:

όπου i=1, …, m; j=1, …, n.

Δύο πίνακες Α και Β ίδιου μεγέθους ονομάζονται ίσοι αν συμπίπτουν στοιχείο προς στοιχείο, δηλαδή a ij =b ij για οποιαδήποτε i=1,2, ..., m; j=1,2, …, n.

Ένας πίνακας που αποτελείται από μία σειρά ονομάζεται πίνακας γραμμής (διάνυσμα):

και από μια στήλη - μια μήτρα (διάνυσμα)-στήλη:

Εάν ο αριθμός των σειρών ενός πίνακα είναι ίσος με τον αριθμό των στηλών και ισούται με n, τότε ένας τέτοιος πίνακας ονομάζεται τετραγωνικός πίνακας nης τάξης. Για παράδειγμα, ένας τετραγωνικός πίνακας 2ης τάξης:

Εάν ένα στοιχείο πίνακα a ij έχει αριθμό στήλης ίσο με τον αριθμό σειράς (i=j), τότε ένα τέτοιο στοιχείο ονομάζεται διαγώνιο. Τα διαγώνια στοιχεία σχηματίζουν την κύρια διαγώνιο του πίνακα

Τετράγωνη μήτρα με ίσο με μηδένόλα τα μη διαγώνια στοιχεία λέγονται διαγώνια.

Ένας τετραγωνικός πίνακας ονομάζεται ταυτότητα εάν είναι διαγώνιος και όλα τα διαγώνια στοιχεία είναι ίσα με ένα. Ο πίνακας ταυτότητας έχει την ακόλουθη μορφή: Υπάρχουν πίνακες μονάδων της πρώτης, δεύτερης, τρίτης, κ.λπ. τάξης:

Ένας πίνακας οποιουδήποτε μεγέθους ονομάζεται μηδενικός ή μηδενικός πίνακας εάν όλα τα στοιχεία του είναι μηδέν:

Λειτουργίες Matrix

Όπως και με τους αριθμούς, ένας αριθμός πράξεων μπορούν να εκτελεστούν σε πίνακες και στην περίπτωση των πινάκων, ορισμένες από τις πράξεις είναι συγκεκριμένες.

Μεταθέτω

Ένας πίνακας (A T) ονομάζεται μεταφερόμενος, στον οποίο οι στήλες του αρχικού πίνακα (A) αντικαθίστανται από γραμμές με τους αντίστοιχους αριθμούς.

Σε συντομευμένη σημειογραφία, αν A = (a ij), τότε A T = (a ji).

Το σύμβολο "'" (A') χρησιμοποιείται μερικές φορές για να υποδηλώσει έναν μετατιθέμενο πίνακα. Μετάθεση είναι η πράξη μετακίνησης από τον αρχικό πίνακα (Α) στον μετατιθέμενο (Α Τ).

Από τον ορισμό ενός μετατιθέμενου πίνακα προκύπτει ότι εάν ο αρχικός πίνακας Α έχει μέγεθος Μ × n , τότε ο μετατιθέμενος πίνακας A T έχει μέγεθος n × Μ .

Για να εκτελέσετε μεταφορά στο Excel, χρησιμοποιήστε τη συνάρτηση TRANSPOSE, η οποία σας επιτρέπει να αλλάξετε τον προσανατολισμό ενός πίνακα σε ένα φύλλο εργασίας από κατακόρυφο σε οριζόντιο και αντίστροφα.

Η συνάρτηση έχει τη μορφή TRANSPO (πίνακας). Εδώ, ένας πίνακας είναι ένας μετατιθέμενος πίνακας ή εύρος κελιών σε ένα φύλλο εργασίας. Η μεταφορά ενός πίνακα σημαίνει ότι η πρώτη γραμμή του πίνακα γίνεται η πρώτη στήλη του νέου πίνακα, η δεύτερη σειρά του πίνακα γίνεται η δεύτερη στήλη του νέου πίνακα, κλπ. Ας το δούμε αυτό με ένα παράδειγμα.

Παράδειγμα 1.1Ας υποθέσουμε ότι η περιοχή κελιών A1:E2 έχει εισαχθεί σε έναν πίνακα 2x5

Είναι απαραίτητο να ληφθεί ένας μετατιθέμενος πίνακας.

Λύση.

1. Επιλέξτε (με το δείκτη του ποντικιού ενώ είναι πατημένο το αριστερό κουμπί) το μπλοκ των κελιών για τον μετατιθέμενο πίνακα (52). Για παράδειγμα, A4:B8.

3. Στο πλαίσιο διαλόγου Function Wizard που εμφανίζεται, στο πεδίο εργασίας Κατηγορία, επιλέξτε Σύνδεσμοι και πίνακες και στο πεδίο εργασίας Function επιλέξτε το όνομα της συνάρτησης TRANSPOSE (Εικ. 1.1). Μετά από αυτό, κάντε κλικ στο κουμπί ΟΚ.

Ρύζι. 1.1.Ένα παράδειγμα επιλογής τύπου συνάρτησης στο πλαίσιο διαλόγου Οδηγός συναρτήσεων

4. Μετακινήστε το πλαίσιο διαλόγου TRANSPORT που εμφανίζεται στο πλάι από τον αρχικό πίνακα A1:E2 στο πεδίο εργασίας Array (με το δείκτη του ποντικιού ενώ πατάτε το αριστερό κουμπί). Στη συνέχεια, πατήστε το συνδυασμό πλήκτρων CTRL+SHIFT+ENTER (Εικ. 1.2).

Ρύζι. 1.2.Ένα παράδειγμα συμπλήρωσης του πλαισίου διαλόγου ΜΕΤΑΦΟΡΑ

5. Εάν ο μετατιθέμενος πίνακας δεν εμφανίζεται στην περιοχή A4:B8, κάντε κλικ στον δείκτη του ποντικιού στη γραμμή τύπων και πατήστε ξανά CTRL+SHIFT+ENTER.

Ως αποτέλεσμα, ένας μετατιθέμενος πίνακας θα εμφανιστεί στην περιοχή A4:B8:

Υπολογισμός της ορίζουσας ενός πίνακα

Ένα σημαντικό χαρακτηριστικό των τετραγωνικών πινάκων είναι ο προσδιοριστής τους. Η ορίζουσα ενός πίνακα είναι ένας αριθμός που υπολογίζεται από τις τιμές των στοιχείων του πίνακα. Η ορίζουσα του πίνακα Α συμβολίζεται ως |A| ή ∆.

Η ορίζουσα ενός πίνακα πρώτης τάξης A = (a 11), ή η ορίζουσα πρώτης τάξης, είναι το στοιχείο a 11.

∆ 1 = |A| = α 11

Η ορίζουσα ενός πίνακα δεύτερης τάξης A = (a ij), ή η ορίζουσα δεύτερης τάξης, είναι ένας αριθμός που υπολογίζεται χρησιμοποιώντας τον τύπο:

Τα γινόμενα a 11 a 22 και a 12 a 21 ονομάζονται όροι της ορίζουσας δεύτερης τάξης.

Καθώς η σειρά του πίνακα αυξάνεται, το n αυξάνει απότομα τον αριθμό των όρων της ορίζουσας (n!). Για παράδειγμα, με n=4 έχουμε 24 όρους. Υπάρχουν ειδικοί κανόνες που διευκολύνουν τον χειροκίνητο υπολογισμό των οριζόντων· λαμβάνονται υπόψη οι ιδιότητες των οριζόντων κ.λπ. Όταν χρησιμοποιείτε υπολογιστή, δεν χρειάζεται να χρησιμοποιείτε αυτές τις τεχνικές.

Στο MSExcel για τον υπολογισμό της ορίζουσας τετράγωνη μήτραΧρησιμοποιείται η λειτουργία MOPRED.

Η συνάρτηση έχει τη μορφή MOPRED(πίνακας).

Εδώ, ο πίνακας είναι ένας αριθμητικός πίνακας που αποθηκεύει έναν πίνακα με ίσο αριθμό σειρών και στηλών. Σε αυτήν την περίπτωση, ο πίνακας μπορεί να καθοριστεί ως ένα διάστημα κελιών, για παράδειγμα, A1:C3; ή ως πίνακας σταθερών, για παράδειγμα, (1;2;3;4;5;6;7;8;9). Για έναν πίνακα A1:C3 που αποτελείται από τρεις σειρές και τρεις στήλες (ένας πίνακας 3x3), η ορίζουσα υπολογίζεται ως εξής:

Ας εξετάσουμε ένα παράδειγμα εύρεσης της ορίζουσας ενός πίνακα.

Παράδειγμα 1.2.Ας υποθέσουμε ότι ένας πίνακας έχει εισαχθεί στην περιοχή των κελιών A1:C3:

Είναι απαραίτητο να υπολογιστεί η ορίζουσα αυτού του πίνακα.

Λύση

1. Τοποθετήστε τον κέρσορα του πίνακα στο κελί στο οποίο θέλετε να λάβετε την τιμή της ορίζουσας, για παράδειγμα, A4.

2. Κάντε κλικ στη γραμμή εργαλείων Τυπικό κουμπίΕισαγωγή συνάρτησης.

3. Στο πλαίσιο διαλόγου Function Wizard που εμφανίζεται, στο πεδίο εργασίας Category, επιλέξτε Mathematical και στο πεδίο Function work, επιλέξτε το όνομα της συνάρτησης MOPRED. Μετά από αυτό, κάντε κλικ στο κουμπί ΟΚ.

4. Μετακινήστε το πλαίσιο διαλόγου MOPRED μακριά από τη μήτρα πηγής με το ποντίκι και εισαγάγετε το εύρος της μήτρας πηγής A1:C3 στο πεδίο εργασίας Array (με τον δείκτη του ποντικιού ενώ είναι πατημένο το αριστερό κουμπί) Κάντε κλικ στο OK (Εικ. 1.3) .

Ρύζι. 1.3.Παράδειγμα συμπλήρωσης του πλαισίου διαλόγου MOPRED

Η τιμή της ορίζουσας θα εμφανιστεί στο κελί A4 - 6.

Εύρεση του αντίστροφου πίνακα

Για κάθε αριθμό a≠0 υπάρχει ένας αντίστροφος αριθμός a -1, και μια παρόμοια έννοια εισάγεται για τετράγωνους πίνακες. Οι αντίστροφοι πίνακες χρησιμοποιούνται συνήθως για την επίλυση συστημάτων εξισώσεων με πολλαπλούς αγνώστους.

Ο πίνακας A -1 ονομάζεται αντίστροφος ενός τετραγωνικού πίνακα A εάν, κατά τον πολλαπλασιασμό αυτού του πίνακα με τον δεδομένο, τόσο στα αριστερά όσο και στα δεξιά προκύπτει μήτρα ταυτότητας:

όπως προκύπτει από τον ορισμό, ο αντίστροφος πίνακας είναι ένας τετραγωνικός πίνακας της ίδιας τάξης με τον αρχικό πίνακα.

Απαραίτητη και επαρκής προϋπόθεση για την ύπαρξη ενός αντίστροφου πίνακα είναι ο μη εκφυλισμός του αρχικού πίνακα. Ένας πίνακας ονομάζεται μη εκφυλισμένος ή μη ενικός εάν η ορίζοντή του είναι μη μηδενική (|A|≠0). διαφορετικά (|A|=0) ο πίνακας ονομάζεται ενικός ή ενικός.

Υπάρχουν αρκετά ειδικά πολύπλοκους αλγόριθμουςγια χειροκίνητο υπολογισμό αντίστροφων πινάκων. Ως παράδειγμα του τρόπου υπολογισμού του αντίστροφου πίνακα, λάβετε υπόψη έναν τετραγωνικό πίνακα δεύτερης τάξης

Στη συνέχεια, ο αντίστροφος πίνακας υπολογίζεται ως εξής:

Στο MSExcel, για να βρεθεί το αντίστροφο ενός πίνακα, χρησιμοποιείται η συνάρτηση MOBR, η οποία υπολογίζει το αντίστροφο ενός πίνακα για έναν πίνακα που είναι αποθηκευμένος σε έναν πίνακα ως πίνακας.

Ενας από συχνές επεμβάσεις, που εκτελείται όταν εργάζεστε με πίνακες, είναι να πολλαπλασιάσετε έναν από αυτούς με έναν άλλο. Πρόγραμμα Excelείναι ισχυρό επεξεργαστής τραπεζιού, το οποίο προορίζεται, μεταξύ άλλων, για εργασία σε πίνακες. Επομένως, έχει εργαλεία που του επιτρέπουν να τα πολλαπλασιάζει μαζί. Ας μάθουμε πώς μπορεί να γίνει αυτό με διάφορους τρόπους.

Πρέπει να ειπωθεί αμέσως ότι δεν μπορούν να πολλαπλασιαστούν όλοι οι πίνακες μεταξύ τους, αλλά μόνο αυτοί που πληρούν μια συγκεκριμένη προϋπόθεση: ο αριθμός των στηλών ενός πίνακα πρέπει να είναι ίσο με τον αριθμόδιαφορετικές γραμμές και το αντίστροφο. Επιπλέον, αποκλείεται η παρουσία κενών στοιχείων στους πίνακες. Σε αυτήν την περίπτωση, δεν θα είναι επίσης δυνατή η εκτέλεση της απαιτούμενης λειτουργίας.

Δεν υπάρχουν ακόμα τόσοι πολλοί τρόποι πολλαπλασιασμού πινάκων στο Excel - μόνο δύο. Και οι δύο περιλαμβάνουν τη χρήση ενσωματωμένου Λειτουργίες Excel. Ας δούμε αναλυτικά καθεμία από αυτές τις επιλογές.

Μέθοδος 1: ΠΟΛΛΑΠΛΗ συνάρτηση

Η απλούστερη και πιο δημοφιλής επιλογή μεταξύ των χρηστών είναι να χρησιμοποιήσετε τη λειτουργία MUMNIFE. Χειριστής MUMNIFEανήκει στη μαθηματική ομάδα των συναρτήσεων. Το άμεσο καθήκον του είναι να βρει το γινόμενο δύο πινάκων μήτρας. Σύνταξη MUMNIFEμοιάζει με αυτό:

MMULT(πίνακας1,πίνακας2)

Έτσι, αυτός ο τελεστής έχει δύο ορίσματα, τα οποία είναι αναφορές στις περιοχές των δύο πινάκων που πολλαπλασιάζονται.

Τώρα ας δούμε πώς χρησιμοποιείται η συνάρτηση MUMNIFEεπί συγκεκριμένο παράδειγμα. Υπάρχουν δύο πίνακες, ο αριθμός των σειρών της μιας από τις οποίες αντιστοιχεί στον αριθμό των στηλών της άλλης και αντίστροφα. Πρέπει να πολλαπλασιάσουμε αυτά τα δύο στοιχεία.

Μέθοδος 2: Χρήση σύνθετου τύπου

Επιπλέον, υπάρχει ένας άλλος τρόπος πολλαπλασιασμού δύο πινάκων. Είναι πιο περίπλοκο από το προηγούμενο, αλλά αξίζει επίσης να αναφερθεί, όπως Εναλλακτική επιλογη. Αυτή η μέθοδοςπεριλαμβάνει τη χρήση ενός τύπου σύνθετου πίνακα, ο οποίος θα αποτελείται από μια συνάρτηση SUMPRODUCTκαι ο τελεστής ενσωματώθηκε σε αυτό ως όρισμα TRANSSP.

1. Αυτή τη φορά επιλέγουμε μόνο το επάνω αριστερό στοιχείο του πίνακα στο φύλλο άδεια κελιά, το οποίο αναμένουμε να χρησιμοποιήσουμε για να εμφανίσουμε το αποτέλεσμα. Κάντε κλικ στο εικονίδιο "Εισαγωγή συνάρτησης".



2. Οδηγός λειτουργιώνξεκινά. Μετακίνηση στο μπλοκ χειριστή "Μαθηματικός", αλλά αυτή τη φορά επιλέγουμε όνομα SUMPRODUCT. Κάντε κλικ στο κουμπί "ΕΝΤΑΞΕΙ".



3. Ανοίγει το παράθυρο ορισμάτων για την παραπάνω συνάρτηση. Αυτός ο τελεστής προορίζεται για τον πολλαπλασιασμό διαφορετικών πινάκων μεταξύ τους. Η σύνταξή του είναι η εξής:

   SUMPRODUCT(πίνακας1,πίνακας2,…)

   Ως επιχειρήματα από την ομάδα "Πίνακας"χρησιμοποιείται μια αναφορά σε ένα συγκεκριμένο εύρος που πρέπει να πολλαπλασιαστεί. Συνολικά, μπορούν να χρησιμοποιηθούν από δύο έως 255 τέτοια επιχειρήματα. Αλλά στην περίπτωσή μας, εφόσον έχουμε να κάνουμε με δύο πίνακες, θα χρειαστούμε μόνο δύο ορίσματα.

   Τοποθετήστε τον κέρσορα στο πεδίο "Πίνακας 1". Εδώ θα χρειαστεί να εισάγουμε τη διεύθυνση της πρώτης σειράς του πρώτου πίνακα. Για να το κάνετε αυτό, κρατήστε πατημένο αριστερό κουμπίποντίκι, απλά πρέπει να το επιλέξετε στο φύλλο με τον κέρσορα. Αμέσως οι συντεταγμένες αυτού του εύρους θα εμφανιστούν στο αντίστοιχο πεδίο του παραθύρου ορισμάτων. Μετά από αυτό, θα πρέπει να καταγράψετε τις συντεταγμένες του συνδέσμου που προκύπτει σε στήλες, δηλαδή αυτές οι συντεταγμένες πρέπει να γίνουν απόλυτες. Για να το κάνετε αυτό, τοποθετήστε ένα σύμβολο δολαρίου μπροστά από τα γράμματα της έκφρασης που εισαγάγετε στο πεδίο ( $ ). Αυτό δεν πρέπει να γίνεται πριν εμφανιστούν οι συντεταγμένες σε αριθμούς (γραμμές). Εναλλακτικά, μπορείτε να επιλέξετε ολόκληρη την έκφραση στο πεδίο και να κάνετε τριπλό κλικ πλήκτρο λειτουργίας F4. ΣΕ σε αυτήν την περίπτωσηΜόνο οι συντεταγμένες της στήλης θα γίνουν επίσης απόλυτες.



4. Μετά από αυτό, τοποθετήστε τον κέρσορα στο πεδίο "Array2". Αυτό το επιχείρημα θα είναι πιο περίπλοκο, αφού σύμφωνα με τους κανόνες του πολλαπλασιασμού του πίνακα, ο δεύτερος πίνακας πρέπει να "αναστραφεί". Για να το κάνουμε αυτό χρησιμοποιούμε μια ένθετη συνάρτηση TRANSSP.

   Για να μεταβείτε σε αυτό, κάντε κλικ στο εικονίδιο με τη μορφή τριγώνου που δείχνει οξεία γωνίακάτω, το οποίο βρίσκεται στα αριστερά της γραμμής τύπων. Ανοίγει μια λίστα με τύπους που χρησιμοποιήθηκαν πρόσφατα. Αν βρεις όνομα σε αυτό "TRANSP", μετά κάντε κλικ σε αυτό. Εάν έχετε χρησιμοποιήσει αυτόν τον τελεστή για μεγάλο χρονικό διάστημα ή δεν τον έχετε χρησιμοποιήσει ποτέ καθόλου, τότε δεν θα βρείτε το καθορισμένο όνομα σε αυτήν τη λίστα. Σε αυτήν την περίπτωση, πρέπει να κάνετε κλικ στο στοιχείο "Άλλες λειτουργίες...".



5. Ανοίγει ένα παράθυρο που μας είναι ήδη γνωστό Οδηγοί λειτουργιών. Αυτή τη φορά περνάμε στην κατηγορία "Σύνδεσμοι και πίνακες"και επιλέξτε ένα όνομα "TRANSP". Κάντε κλικ στο κουμπί "ΕΝΤΑΞΕΙ".



6. Ανοίγει το παράθυρο ορισμάτων συνάρτησης TRANSSP. Αυτός ο τελεστής προορίζεται για τη μεταφορά πινάκων. Δηλαδή, με απλά λόγια, ανταλλάσσει στήλες και γραμμές. Αυτό πρέπει να κάνουμε για το δεύτερο όρισμα του τελεστή SUMPRODUCT. Συντακτικό συνάρτησης TRANSSPεξαιρετικά απλό:

   TRANSP(πίνακας)

   Δηλαδή το μόνο επιχείρημα αυτού του χειριστήείναι μια αναφορά στον πίνακα που πρέπει να "αντιστραφεί". Ή μάλλον, στην περίπτωσή μας, ούτε καν για ολόκληρο τον πίνακα, αλλά μόνο για την πρώτη του στήλη.

   Λοιπόν, ας τοποθετήσουμε τον κέρσορα στο πεδίο "Πίνακας"και επιλέξτε την πρώτη στήλη του δεύτερου πίνακα στο φύλλο κρατώντας πατημένο το αριστερό κουμπί του ποντικιού. Η διεύθυνση θα εμφανιστεί στο πεδίο. Όπως και στην προηγούμενη περίπτωση, εδώ πρέπει επίσης να κάνετε ορισμένες συντεταγμένες απόλυτες, αλλά αυτή τη φορά όχι οι συντεταγμένες στηλών, αλλά οι διευθύνσεις σειρών. Επομένως, βάζουμε ένα σύμβολο δολαρίου μπροστά από τους αριθμούς στο σύνδεσμο που εμφανίζεται στο πεδίο. Μπορείτε επίσης να επιλέξετε ολόκληρη την έκφραση και να κάνετε διπλό κλικ στο πλήκτρο F4. Μετά απαραίτητα στοιχείαάρχισε να έχει απόλυτες ιδιότητες, μην πατήσετε το κουμπί "ΕΝΤΑΞΕΙ", και το ίδιο όπως στο προηγούμενη μέθοδο, εφαρμόστε τον συνδυασμό πλήκτρων Ctrl+Shift+Enter.



7. Αλλά αυτή τη φορά, δεν είναι ο πίνακας που είναι γεμάτος, αλλά μόνο ένα κελί που είχαμε εκχωρήσει προηγουμένως κατά την κλήση Οδηγοί λειτουργιών.



8. Πρέπει να γεμίσουμε έναν πίνακα ίδιου μεγέθους με δεδομένα όπως στην πρώτη μέθοδο. Για να το κάνετε αυτό, αντιγράψτε τον τύπο που λαμβάνεται στο κελί σε μια ισοδύναμη περιοχή, η οποία θα είναι ίση με τον αριθμό των γραμμών του πρώτου πίνακα και τον αριθμό των στηλών του δεύτερου. Στη συγκεκριμένη περίπτωσή μας, έχουμε τρεις σειρές και τρεις στήλες.

   Για να αντιγράψουμε, θα καταφύγουμε στη χρήση ενός δείκτη πλήρωσης. Τοποθετήστε τον κέρσορα στην κάτω δεξιά γωνία του κελιού στο οποίο βρίσκεται ο τύπος. Ο κέρσορας αλλάζει σε μαύρο σταυρό. Αυτός είναι ο δείκτης πλήρωσης. Κρατήστε πατημένο το αριστερό κουμπί του ποντικιού και σύρετε τον κέρσορα σε όλο το παραπάνω εύρος. Το αρχικό κελί με τον ίδιο τον τύπο θα πρέπει να γίνει το επάνω αριστερό στοιχείο αυτού του πίνακα.



9. Όπως μπορείτε να δείτε, το επιλεγμένο εύρος είναι γεμάτο με δεδομένα. Αν τα συγκρίνουμε με το αποτέλεσμα που λάβαμε χρησιμοποιώντας τον τελεστή MUMNIFE, θα δούμε ότι οι τιμές είναι εντελώς ίδιες. Αυτό σημαίνει ότι ο πολλαπλασιασμός δύο πινάκων έγινε σωστά.

Όπως μπορούμε να δούμε, παρά το γεγονός ότι προέκυψε ισοδύναμο αποτέλεσμα, χρησιμοποιήστε τη συνάρτηση για να πολλαπλασιάσετε πίνακες MUMNIFEπολύ πιο απλό από τη χρήση ενός σύνθετου τύπου τελεστών για τους ίδιους σκοπούς SUMPRODUCTΚαι TRANSSP. Ωστόσο, αυτή η εναλλακτική επιλογή δεν μπορεί επίσης να αγνοηθεί κατά τη μελέτη όλων των δυνατοτήτων πολλαπλασιασμού πινάκων στο Microsoft Excel.

Υπολογίστε τις τιμές των ριζών του σχηματισμένου συστήματος εξισώσεων χρησιμοποιώντας δύο μεθόδους: τον αντίστροφο πίνακα και τη μέθοδο Cramer.

Ας εισαγάγουμε αυτές τις τιμές στα κελιά A2:C4 - matrix A και κελιά D2:D4 - matrix B.

Επίλυση συστήματος εξισώσεων με τη μέθοδο του αντίστροφου πίνακα

Ας βρούμε τον αντίστροφο πίνακα του πίνακα A. Για να γίνει αυτό, στο κελί A9 εισάγουμε τον τύπο =MOBR(A2:C4). Μετά από αυτό, επιλέξτε την περιοχή A9:C11, ξεκινώντας από το κελί που περιέχει τον τύπο. Πατήστε το πλήκτρο F2 και μετά πατήστε τα πλήκτρα CTRL+SHIFT+ENTER. Ο τύπος θα εισαχθεί ως τύπος πίνακα. =MOBR(A2:C4).
Ας βρούμε το γινόμενο των πινάκων A-1 * b. Στα κελιά F9:F11, εισαγάγετε τον τύπο: =MULTIPLE(A9:C11,D2:D4) ως τύπο πίνακα. Παίρνουμε στα κελιά F9:F11ρίζες της εξίσωσης:

Επίλυση συστήματος εξισώσεων με τη μέθοδο του Cramer

Ας λύσουμε το σύστημα χρησιμοποιώντας τη μέθοδο του Cramer, για αυτό βρίσκουμε την ορίζουσα του πίνακα.
Ας βρούμε τις ορίζουσες των πινάκων που λαμβάνονται αντικαθιστώντας μια στήλη με τη στήλη b.

Στο κελί B16, εισαγάγετε τον τύπο =MOPRED(D15:F17),

Στο κελί B17, εισαγάγετε τον τύπο =MOPRED(D19:F21).

Στο κελί B18, εισαγάγετε τον τύπο =MOPRED(D23:F25).

Ας βρούμε τις ρίζες της εξίσωσης, για αυτό εισάγουμε στο κελί B21: =B16/$B$15, στο κελί B22 εισάγουμε: = =B17/$B$15, στο κελί B23 εισάγουμε: ==B18/$B$15 .

Ας πάρουμε τις ρίζες της εξίσωσης:

Στην ενότητα σχετικά με την ερώτηση Πώς να δημιουργήσετε μια μήτρα στο Excel;;; δίνεται από τον συγγραφέα Μάσα Καλγκάνοβαη καλύτερη απάντηση είναι Τι ακριβώς πρέπει να γίνει;
Ένα έγγραφο Excel είναι ένας αδιάστατος (πανδιάστατος) πίνακας, κάθε στοιχείο του οποίου μπορεί να είναι ένας αριθμός, κείμενο ή οποιαδήποτε άλλη τιμή. Ναι, τουλάχιστον με μια φόρμουλα.
Εάν εκτυπώσετε 3 αριθμούς στη σειρά, κάτω από αυτούς άλλους 3 στη σειρά, κάτω από αυτούς 3 ακόμη στη σειρά, παίρνουμε έναν τετράγωνο πίνακα 3x3.
Ποια είναι η ερώτηση?
Πολλαπλασιάζοντας έναν πίνακα με έναν αριθμό στο Excel
Γράψτε τύπους;
Στο επάνω αριστερό κελί του νέου πίνακα
= επάνω αριστερό κελί της παλιάς μήτρας * κελί με έναν αριθμό (σπρώξτε με το ποντίκι), πατήστε F4 για να γίνει $x$y, όπου x,y είναι οι συντεταγμένες του κελιού. Αυτό θα διορθώσει το κελί κατά την αντιγραφή. Περαιτέρω πατήστε Enterκαι αντιγράψτε τα περιεχόμενα του κελιού σε 2 γειτονικά κελιά στη σειρά. Στη συνέχεια, αντιγράφουμε αυτά τα 3 κελιά στις επόμενες 3 σειρές και παίρνουμε το ίδιο αποτέλεσμα όπως στην εικόνα μου. Δηλαδή πολλαπλασιάζοντας έναν πίνακα με έναν αριθμό.
Ανάθεμα, δεν ξέρουν μαθηματικά, αλλά σερφάρουν στο Διαδίκτυο!

Μέθοδος 1

Εξετάστε τη μήτρα ΕΝΑδιάσταση 3x4. Ας πολλαπλασιάσουμε αυτόν τον πίνακα με τον αριθμό κ. Όταν ένας πίνακας πολλαπλασιάζεται με έναν αριθμό, ο πίνακας που προκύπτει έχει την ίδια διάσταση με τον αρχικό και κάθε στοιχείο του πίνακα ΕΝΑπολλαπλασιάζεται με έναν αριθμό κ.

Ας εισάγουμε τα στοιχεία του πίνακα στο εύρος Β3:Ε5και τον αριθμό κ- σε ένα κελί Η4. Στο εύρος K3:Ν5 υπολογίστε τον πίνακα ΣΕ, που προκύπτει με πολλαπλασιασμό πίνακα ΕΝΑανά αριθμό κ: B=A*κ. Για να γίνει αυτό, εισάγουμε τον τύπο =B3*$H$4στο κελί κ3 , Οπου ΣΤΙΣ 3- στοιχείο ένα 11μήτρες ΕΝΑ.

Σημείωση: διεύθυνση κελιού H4 Το εισάγουμε ως απόλυτο σύνδεσμο, ώστε κατά την αντιγραφή του τύπου, ο σύνδεσμος να μην αλλάξει.

Χρησιμοποιώντας τον δείκτη αυτόματης συμπλήρωσης, αντιγράψτε τον τύπο κελιού Κ3 ΣΕ.

Πολλαπλασιάσαμε λοιπόν τον πίνακα ΕΝΑστο Excel και λάβετε μια μήτρα ΣΕ.

Για να διαιρέσετε έναν πίνακα ΕΝΑμε τον αριθμό k στο κελί κ3 ας εισαγάγουμε τον τύπο =B3/$H$4 ΣΕ.

Μέθοδος 2

Αυτή η μέθοδος διαφέρει στο ότι το αποτέλεσμα του πολλαπλασιασμού/διαίρεσης ενός πίνακα με έναν αριθμό είναι το ίδιο ένας πίνακας. Σε αυτήν την περίπτωση, δεν μπορείτε να διαγράψετε ένα στοιχείο πίνακα.

Για να διαιρέσετε έναν πίνακα με έναν αριθμό χρησιμοποιώντας αυτήν τη μέθοδο, επιλέξτε το εύρος στο οποίο θα υπολογιστεί το αποτέλεσμα, εισάγετε το σύμβολο "=", επιλέξτε το εύρος που περιέχει τον αρχικό πίνακα A, πατήστε το σύμβολο πολλαπλασιασμού (*) στο πληκτρολόγιο και επιλέξτε το κελί με τον αριθμό κ Ctrl+Shift+Εισαγω

Για να πραγματοποιήσετε διαίρεση σε σε αυτό το παράδειγμαεισάγετε τον τύπο =B3:E5/H4 στο εύρος, δηλ. αλλάξτε το σύμβολο "*" σε "/".

Προσθήκη και αφαίρεση πινάκων στο Excel

Μέθοδος 1

Πρέπει να σημειωθεί ότι πίνακες της ίδιας διάστασης μπορούν να προστεθούν και να αφαιρεθούν (κάθε πίνακας έχει τον ίδιο αριθμό σειρών και στηλών). Επιπλέον, κάθε στοιχείο του προκύπτοντος πίνακα ΜΕθα είναι ίσο με το άθροισμα των αντίστοιχων στοιχείων του πίνακα ΕΝΑΚαι ΣΕ, δηλ. με ij =και ij + σιij.

Ας εξετάσουμε τους πίνακες ΕΝΑΚαι ΣΕδιάσταση 3x4. Ας υπολογίσουμε το άθροισμα αυτών των πινάκων. Για να γίνει αυτό, στο κελί Ν3 ας εισαγάγουμε τον τύπο =Β3+Η3, Οπου Β3Και H3- πρώτα στοιχεία πινάκων ΕΝΑΚαι ΣΕαντίστοιχα. Επιπλέον, ο τύπος περιέχει σχετικοί σύνδεσμοι (ΣΤΙΣ 3Και H3 ), έτσι ώστε κατά την αντιγραφή ενός τύπου σε ολόκληρο το εύρος του πίνακα ΜΕθα μπορούσαν να έχουν αλλάξει.

Χρησιμοποιώντας τον δείκτη αυτόματης συμπλήρωσης, αντιγράψτε τον τύπο από το κελί Ν3 προς τα κάτω και προς τα δεξιά σε όλο το εύρος του πίνακα ΜΕ.

Για να αφαιρέσετε έναν πίνακα ΣΕαπό τη μήτρα ΕΝΑ (Γ=Α - Β) σε ένα κελί Ν3 ας εισαγάγουμε τον τύπο =B3 - H3και αντιγράψτε το σε όλο το εύρος του πίνακα ΜΕ.

Μέθοδος 2

Αυτή η μέθοδος διαφέρει στο ότι το αποτέλεσμα της πρόσθεσης/αφαίρεσης πινάκων είναι από μόνο του ένας πίνακας. Σε αυτήν την περίπτωση, δεν μπορείτε να διαγράψετε ένα στοιχείο πίνακα.

Για να διαιρέσετε έναν πίνακα με έναν αριθμό χρησιμοποιώντας αυτήν τη μέθοδο, επιλέξτε το εύρος στο οποίο θα υπολογιστεί το αποτέλεσμα, πληκτρολογήστε το σύμβολο "=", επιλέξτε το εύρος που περιέχει τον πρώτο πίνακα ΕΝΑ, πατήστε το σύμβολο πρόσθεσης (+) στο πληκτρολόγιο και επιλέξτε τη δεύτερη μήτρα ΣΕ. Αφού εισαγάγετε τον τύπο, πατήστε το συνδυασμό πλήκτρων Ctrl+Shift+Εισαγωέτσι ώστε όλο το εύρος να γεμίσει με τιμές.

Πολλαπλασιασμός πίνακα στο Excel

Θα πρέπει να σημειωθεί ότι οι πίνακες μπορούν να πολλαπλασιαστούν μόνο εάν ο αριθμός των στηλών του πρώτου πίνακα ΕΝΑίσο με τον αριθμό των σειρών του δεύτερου πίνακα ΣΕ.

Ας εξετάσουμε τους πίνακες ΕΝΑδιάσταση 3x4Και ΣΕδιάσταση 4x2. Πολλαπλασιάζοντας αυτούς τους πίνακες προκύπτει ο πίνακας ΜΕδιάσταση 3x2.

Ας υπολογίσουμε το γινόμενο αυτών των πινάκων C=A*Bχρησιμοποιώντας την ενσωματωμένη λειτουργία =MULTIPLE(). Για να το κάνετε αυτό, επιλέξτε το εύρος μεγάλο3: Μ5 — θα περιέχει τα στοιχεία του πίνακα ΜΕ, που προκύπτει ως αποτέλεσμα πολλαπλασιασμού. Στην καρτέλα ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΙ τυποιας διαλέξουμε Λειτουργία εισαγωγής.

Στο πλαίσιο διαλόγου Εισάγετε λειτουργίεςΕπιλέξτε Κατηγορία Μαθηματικός- λειτουργία MUMNIFE — Εντάξει.

Στο πλαίσιο διαλόγου Επιχειρήματα συνάρτησηςεπιλέξτε εύρη που περιέχουν πίνακες ΕΝΑΚαι ΣΕ. Για να το κάνετε αυτό, απέναντι από τον πίνακα 1, κάντε κλικ στο κόκκινο βέλος.

ΕΝΑ(το όνομα της περιοχής θα εμφανιστεί στη γραμμή ορίσματος) και κάντε κλικ στο κόκκινο βέλος.

Για τον πίνακα 2 εκτελούμε τις ίδιες ενέργειες. Κάντε κλικ στο βέλος απέναντι από τον πίνακα 2.

Επιλέξτε το εύρος που περιέχει τα στοιχεία του πίνακα ΣΕκαι κάντε κλικ στο κόκκινο βέλος.

Στο πλαίσιο διαλόγου, δίπλα στις γραμμές για την εισαγωγή περιοχών μήτρας, θα εμφανιστούν στοιχεία μήτρας και στο κάτω μέρος - στοιχεία μήτρας ΜΕ. Αφού εισαγάγετε τις τιμές, πατήστε τη συντόμευση πληκτρολογίου Βάρδια+ Ctrl Εντάξει.

ΣΠΟΥΔΑΙΟΣ.Αν απλώς πατήσετε Εντάξει ΜΕ.

Θα πάρουμε το αποτέλεσμα του πολλαπλασιασμού του πίνακα ΕΝΑΚαι ΣΕ.

Μπορούμε να αλλάξουμε τις τιμές των κελιών μήτρας ΕΝΑΚαι ΣΕ, τιμές μήτρας ΜΕθα αλλάξει αυτόματα.

Μεταφορά μήτρας στο Excel

Η μεταφορά πίνακα είναι μια πράξη σε έναν πίνακα στον οποίο οι στήλες αντικαθίστανται από σειρές με αντίστοιχους αριθμούς. Συμβολίζουμε τον μετατιθέμενο πίνακα Ένα Τ.

Ας δοθεί η μήτρα ΕΝΑδιάσταση 3x4, χρησιμοποιώντας τη συνάρτηση =TRANSP()υπολογίστε τον μετατιθέμενο πίνακα Ένα Τ, και η διάσταση αυτού του πίνακα θα είναι 4x3.

Ας επιλέξουμε το εύρος H3:J6 , στο οποίο θα εισαχθούν οι τιμές του μετατιθέμενου πίνακα.

Στην καρτέλα ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΙ τυποιας διαλέξουμε Λειτουργία εισαγωγήςΕπιλέξτε μία κατηγορία Σύνδεσμοι και Πίνακες- λειτουργία TRANSSP — Εντάξει.

Στο πλαίσιο διαλόγου Επιχειρήματα συνάρτησηςυποδεικνύουν το εύρος του πίνακα Β3:Ε5 ΕΝΑ Βάρδια+ Ctrlκαι κάντε αριστερό κλικ στο κουμπί Εντάξει.

ΣΠΟΥΔΑΙΟΣ.Αν απλώς πατήσετε Εντάξει, τότε το πρόγραμμα θα υπολογίσει την τιμή μόνο του πρώτου κελιού της περιοχής μήτρας Ένα Τ.

Κάντε κλικ για μεγέθυνση

Λάβαμε έναν μετατιθέμενο πίνακα.

Εύρεση του αντίστροφου πίνακα στο Excel

Μήτρα Α'1ονομάζεται το αντίστροφο ενός πίνακα ΕΝΑ, Αν ΕΝΑž Α -1 = Α -1ž Α=Ε, Οπου μιείναι η μήτρα ταυτότητας. Θα πρέπει να σημειωθεί ότι το αντίστροφο ενός πίνακα μπορεί να βρεθεί μόνο για έναν τετράγωνο πίνακα (ίσος αριθμός σειρών και στηλών).

Ας δοθεί η μήτρα ΕΝΑδιάσταση 3x3, ας βρούμε τον αντίστροφο πίνακα του χρησιμοποιώντας τη συνάρτηση =MOBR().

Για να το κάνετε αυτό, επιλέξτε το εύρος σολ3: Εγώ5 , που θα περιέχει τα στοιχεία του αντίστροφου πίνακα, στην καρτέλα ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΙ τυποιας διαλέξουμε Λειτουργία εισαγωγής.

Στο πλαίσιο διαλόγου Εισάγετε λειτουργίεςΕπιλέξτε μία κατηγορία Μαθηματικός- λειτουργία MOBR — Εντάξει.

Στο πλαίσιο διαλόγου Επιχειρήματα συνάρτησηςυποδεικνύουν το εύρος του πίνακα ΣΤΙΣ 3:ρε5 , που περιέχει στοιχεία μήτρας ΕΝΑ. Πατήστε τη συντόμευση πληκτρολογίου Βάρδια+ Ctrlκαι κάντε αριστερό κλικ στο κουμπί Εντάξει.

ΣΠΟΥΔΑΙΟΣ.Αν απλώς πατήσετε Εντάξει, τότε το πρόγραμμα θα υπολογίσει την τιμή μόνο του πρώτου κελιού της περιοχής μήτρας Α'1.

Κάντε κλικ για μεγέθυνση

Πήραμε τον αντίστροφο πίνακα.

Εύρεση της ορίζουσας μιας μήτρας στο Excel

Η ορίζουσα ενός πίνακα είναι ένας αριθμός που είναι σημαντικό χαρακτηριστικότετράγωνη μήτρα.

Πώς να βρείτε και να ορίσετε πίνακες στο Excel

Ας δοθεί η μήτρα ΕΝΑδιάσταση 3x3, ας υπολογίσουμε την ορίζοντή του χρησιμοποιώντας τη συνάρτηση =MOPRED().

Για να το κάνετε αυτό, επιλέξτε το κελί Η4, η ορίζουσα του πίνακα θα υπολογιστεί σε αυτόν, στην καρτέλα ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΙ τυποιας διαλέξουμε Λειτουργία εισαγωγής.

Στο πλαίσιο διαλόγου Εισάγετε λειτουργίεςΕπιλέξτε μία κατηγορία Μαθηματικός- λειτουργία MOPRED — Εντάξει.

Στο πλαίσιο διαλόγου Επιχειρήματα συνάρτησηςυποδεικνύουν το εύρος του πίνακα ΣΤΙΣ 3:ρε5 , που περιέχει στοιχεία μήτρας ΕΝΑ. Κάντε κλικ Εντάξει.

Κάντε κλικ για μεγέθυνση

Έχουμε υπολογίσει την ορίζουσα του πίνακα ΕΝΑ.

Εν κατακλείδι, ας δώσουμε προσοχή σημαντικό σημείο. Αφορά εκείνες τις πράξεις σε πίνακες για τις οποίες χρησιμοποιήσαμε συναρτήσεις ενσωματωμένες στο πρόγραμμα και ως αποτέλεσμα λάβαμε νέα μήτρα(Πολλαπλασιασμός πίνακα, εύρεση αντίστροφων και μετατιθέμενων πινάκων). Στη μήτρα που προκύπτει από τη λειτουργία, ορισμένα από τα στοιχεία δεν μπορούν να αφαιρεθούν. Εκείνοι. αν επιλέξουμε, για παράδειγμα, ένα στοιχείο του πίνακα και πατήσουμε Del, τότε το πρόγραμμα θα εκδώσει μια προειδοποίηση: Δεν μπορείτε να αλλάξετε μέρος ενός πίνακα.

Κάντε κλικ για μεγέθυνση

Μπορούμε μόνο να αφαιρέσουμε όλα τα στοιχεία αυτού του πίνακα.

Εκμάθηση βίντεο

Καθηγητής Φυσικής, Πληροφορικής και ΤΠΕ, ΜΚΟΥ «Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση», Σελ. Savolenka, περιοχή Yukhnovsky, περιοχή Kaluga. Συγγραφέας και καθηγητής εξ αποστάσεως μαθημάτων για τα βασικά γνώσεις υπολογιστών, προγράμματα γραφείου. Συγγραφέας άρθρων, εκπαιδευτικών βίντεο και εξελίξεων.