ΕΝΑ) Ορθογώνια ακολουθία παλμών .

Εικόνα 2. Ακολουθία ορθογώνιων παλμών.

Αυτό το σήμα είναι μια ομοιόμορφη λειτουργία και είναι βολικό στη χρήση ημιτονοειδής-συνημιτονική μορφή Σειρά Fourier:

. (17)

Η διάρκεια των παλμών και η περίοδος επανάληψής τους περιλαμβάνονται στον προκύπτοντα τύπο με τη μορφή μιας αναλογίας, η οποία ονομάζεται κύκλος λειτουργίας της ακολουθίας παλμών :.

. (18)

Η τιμή του σταθερού όρου της σειράς, λαμβάνοντας υπόψη αντιστοιχεί στην:

.

Η αναπαράσταση μιας ακολουθίας ορθογώνιων παλμών με τη μορφή μιας σειράς Fourier έχει τη μορφή:

. (19)

Το γράφημα της συνάρτησης έχει μοτίβο λοβού. Ο οριζόντιος άξονας βαθμολογείται σε αρμονικούς αριθμούς και συχνότητες.

Εικ. 3. Αναπαράσταση μιας ακολουθίας ορθογώνιων παλμών

με τη μορφή μιας σειράς Fourier.

Πλάτος πετάλου, μετρούμενο στον αριθμό των αρμονικών, είναι ίσο με τον κύκλο λειτουργίας (στο , έχουμε , αν ). Αυτό συνεπάγεται μια σημαντική ιδιότητα του φάσματος μιας ακολουθίας ορθογώνιων παλμών - σε αυτό δεν υπάρχουν αρμονικές με αριθμούς που είναι πολλαπλάσια του κύκλου λειτουργίας . Η απόσταση συχνότητας μεταξύ γειτονικών αρμονικών είναι ίση με τη συχνότητα επανάληψης του παλμού. Το πλάτος των λοβών, μετρούμενο σε μονάδες συχνότητας, είναι ίσο με , δηλ. είναι αντιστρόφως ανάλογη με τη διάρκεια του σήματος. Μπορούμε να συμπεράνουμε: όσο μικρότερος είναι ο παλμός, τόσο μεγαλύτερο είναι το φάσμα .

β) Σήμα ράμπας .

Εικ. 4. Κύμα ράμπας.

Ένα πριονωτό σήμα μέσα σε μια περίοδο περιγράφεται από μια γραμμική συνάρτηση

, . (20)

Αυτό το σήμα είναι μια περιττή συνάρτηση, επομένως η σειρά Fourier σε ημιτονοειδή-συνημιτονική μορφή περιέχει μόνο συνιστώσες ημιτονοειδούς:

Η σειρά Fourier του σήματος πριονωτή έχει τη μορφή:

Είναι χαρακτηριστικό για τα φάσματα των ορθογώνιων και των πριονωτών σημάτων ότι τα πλάτη των αρμονικών αυξάνονται με αυξανόμενους αριθμούς μειώνονται αναλογικά .

V) Τριγωνική ακολουθία παλμών .

Η σειρά Fourier έχει τη μορφή:

Εικόνα 5. Ακολουθία τριγωνικών παλμών.

Όπως μπορούμε να δούμε, σε αντίθεση με μια ακολουθία ορθογώνιων και πριονωτών παλμών, για ένα τριγωνικό περιοδικό σήμα τα πλάτη των αρμονικών μειώνονται αναλογικά με τη δεύτερη δύναμη των αρμονικών αριθμών. Αυτό οφείλεται στο γεγονός ότι ο ρυθμός διάσπασης του φάσματος εξαρτάται από βαθμός ομαλότητας σήματος.

Διάλεξη Νο. 3. Μετασχηματισμός Fourier.

Ιδιότητες του μετασχηματισμού Fourier.

Εισαγωγικές Σημειώσεις

Αυτή η ενότητα θα εξετάσει την αναπαράσταση περιοδικών σημάτων χρησιμοποιώντας τη σειρά Fourier. Οι σειρές Fourier αποτελούν τη βάση της θεωρίας της φασματικής ανάλυσης επειδή, όπως θα δούμε αργότερα, ο μετασχηματισμός Fourier ενός μη περιοδικού σήματος μπορεί να ληφθεί αν ληφθεί η σειρά Fourier στο όριο σε μια άπειρη περίοδο επανάληψης. Ως αποτέλεσμα, οι ιδιότητες της σειράς Fourier ισχύουν και για τον μετασχηματισμό Fourier των μη περιοδικών σημάτων.

Θα εξετάσουμε εκφράσεις της σειράς Fourier σε τριγωνομετρική και σύνθετη μορφή, και επίσης θα δώσουμε προσοχή στις συνθήκες Dirichlet για τη σύγκλιση της σειράς Fourier. Επιπλέον, θα σταθούμε λεπτομερώς στην εξήγηση μιας τέτοιας έννοιας όπως η αρνητική συχνότητα του φάσματος σήματος, η οποία συχνά προκαλεί δυσκολία κατά την εξοικείωση με τη θεωρία της φασματικής ανάλυσης.

Περιοδικό σήμα. Τριγωνομετρική σειρά Fourier

Έστω ένα περιοδικό σήμα συνεχούς χρόνου, το οποίο επαναλαμβάνεται με περίοδο c, δηλ. , όπου είναι ένας αυθαίρετος ακέραιος αριθμός.

Για παράδειγμα, το Σχήμα 1 δείχνει μια ακολουθία ορθογώνιων παλμών διάρκειας c, που επαναλαμβάνονται με περίοδο c.

Εικόνα 1. Περιοδική ακολουθία

Ορθογώνιοι παλμοί

Από την πορεία της μαθηματικής ανάλυσης είναι γνωστό ότι το σύστημα των τριγωνομετρικών συναρτήσεων

με πολλαπλές συχνότητες, όπου το rad/s είναι ακέραιος, αποτελεί μια ορθοκανονική βάση για την αποσύνθεση περιοδικών σημάτων με περίοδο που ικανοποιεί τις συνθήκες Dirichlet.

Οι συνθήκες Dirichlet για τη σύγκλιση της σειράς Fourier απαιτούν να προσδιορίζεται ένα περιοδικό σήμα στο τμήμα και να ικανοποιεί τις ακόλουθες συνθήκες:

Για παράδειγμα, η περιοδική συνάρτηση δεν ικανοποιεί τις προϋποθέσεις Dirichlet γιατί η συνάρτηση έχει ασυνέχειες δεύτερου είδους και παίρνει άπειρες τιμές στο , όπου είναι ένας αυθαίρετος ακέραιος. Η συνάρτηση λοιπόν δεν μπορεί να αναπαρασταθεί με μια σειρά Fourier. Μπορείτε επίσης να δώσετε ένα παράδειγμα της συνάρτησης , το οποίο είναι περιορισμένο, αλλά και δεν ικανοποιεί τις προϋποθέσεις του Dirichlet, αφού έχει άπειρα ακραία σημεία καθώς πλησιάζει το μηδέν. Γράφημα μιας συνάρτησης φαίνεται στο σχήμα 2.

Εικόνα 2. Γράφημα συνάρτησης :

Α - δύο περίοδοι επανάληψης. β - στην περιοχή

Το σχήμα 2α δείχνει δύο περιόδους επανάληψης της συνάρτησης , και στο Σχήμα 2β - η περιοχή κοντά στο . Μπορεί να φανεί ότι καθώς πλησιάζει το μηδέν, η συχνότητα ταλάντωσης αυξάνεται άπειρα, και μια τέτοια συνάρτηση δεν μπορεί να αναπαρασταθεί από μια σειρά Fourier, επειδή δεν είναι τμηματικά μονότονη.

Πρέπει να σημειωθεί ότι στην πράξη δεν υπάρχουν σήματα με άπειρες τιμές ρεύματος ή τάσης. Συναρτήσεις με άπειρο αριθμό ακραίων τύπου επίσης δεν παρουσιάζονται σε εφαρμοσμένα προβλήματα. Όλα τα πραγματικά περιοδικά σήματα ικανοποιούν τις συνθήκες Dirichlet και μπορούν να αναπαρασταθούν από μια άπειρη τριγωνομετρική σειρά Fourier της μορφής:

Στην έκφραση (2), ο συντελεστής καθορίζει τη σταθερή συνιστώσα του περιοδικού σήματος.

Σε όλα τα σημεία όπου το σήμα είναι συνεχές, η σειρά Fourier (2) συγκλίνει στις τιμές του δεδομένου σήματος και σε σημεία ασυνέχειας του πρώτου είδους - στη μέση τιμή, όπου και είναι τα όρια στα αριστερά και δεξιά του σημείου ασυνέχειας, αντίστοιχα.

Είναι επίσης γνωστό από την πορεία της μαθηματικής ανάλυσης ότι η χρήση μιας περικομμένης σειράς Fourier, που περιέχει μόνο τους πρώτους όρους αντί για ένα άπειρο άθροισμα, οδηγεί σε μια κατά προσέγγιση αναπαράσταση του σήματος:

που εξασφαλίζει ένα ελάχιστο του μέσου τετραγώνου σφάλματος. Το Σχήμα 3 απεικονίζει την προσέγγιση μιας αμαξοστοιχίας περιοδικών τετραγωνικών κυμάτων και ενός κύματος περιοδικής ράμπας όταν χρησιμοποιούνται διαφορετικοί αριθμοί όρων της σειράς Fourier.

Σχήμα 3. Προσέγγιση σημάτων χρησιμοποιώντας μια περικομμένη σειρά Fourier:

Α - ορθογώνιοι παλμοί. β - σήμα πριονωτή

Σειρά Fourier σε σύνθετη μορφή

Στην προηγούμενη ενότητα, εξετάσαμε την τριγωνομετρική σειρά Fourier για την επέκταση ενός αυθαίρετου περιοδικού σήματος που ικανοποιεί τις συνθήκες Dirichlet. Χρησιμοποιώντας τον τύπο του Euler, μπορούμε να δείξουμε:
Στη συνέχεια, η τριγωνομετρική σειρά Fourier (2) λαμβάνοντας υπόψη την (4):

Έτσι, ένα περιοδικό σήμα μπορεί να αναπαρασταθεί από το άθροισμα μιας σταθερής συνιστώσας και μιγαδικών εκθετικών που περιστρέφονται σε συχνότητες με συντελεστές για θετικές συχνότητες και για μιγαδικές εκθετικές που περιστρέφονται σε αρνητικές συχνότητες.

Ας εξετάσουμε τους συντελεστές για μιγαδικές εκθετικές που περιστρέφονται με θετικές συχνότητες:

Οι εκφράσεις (6) και (7) συμπίπτουν επιπλέον, η σταθερή συνιστώσα μπορεί επίσης να γραφτεί μέσω μιας μιγαδικής εκθετικής συχνότητας:

Έτσι, το (5) λαμβάνοντας υπόψη το (6)-(8) μπορεί να αναπαρασταθεί ως ενιαίο άθροισμα όταν ευρετηριάζεται από μείον άπειρο έως άπειρο:

Η έκφραση (9) είναι μια σειρά Fourier σε μιγαδική μορφή. Οι συντελεστές της σειράς Fourier σε μιγαδική μορφή σχετίζονται με τους συντελεστές της σειράς σε τριγωνομετρική μορφή και προσδιορίζονται τόσο για θετικές όσο και για αρνητικές συχνότητες. Ο δείκτης στον χαρακτηρισμό συχνότητας υποδεικνύει τον αριθμό της διακριτής αρμονικής, με αρνητικούς δείκτη που αντιστοιχούν σε αρνητικές συχνότητες.

Από την έκφραση (2) προκύπτει ότι για ένα πραγματικό σήμα οι συντελεστές της σειράς (2) είναι επίσης πραγματικοί. Ωστόσο, το (9) συσχετίζει ένα πραγματικό σήμα με ένα σύνολο σύνθετων συζευγμένων συντελεστών που σχετίζονται τόσο με θετικές όσο και με αρνητικές συχνότητες.

Μερικές επεξηγήσεις της σειράς Fourier σε σύνθετη μορφή

Στην προηγούμενη ενότητα, κάναμε τη μετάβαση από την τριγωνομετρική σειρά Fourier (2) στη σειρά Fourier σε μιγαδική μορφή (9). Ως αποτέλεσμα, αντί να αποσυνθέτουμε περιοδικά σήματα στη βάση πραγματικών τριγωνομετρικών συναρτήσεων, λάβαμε μια επέκταση στη βάση μιγαδικών εκθετικών, με μιγαδικούς συντελεστές, και ακόμη και αρνητικές συχνότητες εμφανίστηκαν στην επέκταση! Δεδομένου ότι αυτό το ζήτημα συχνά παρεξηγείται, χρειάζεται κάποια διευκρίνιση.

Πρώτον, η εργασία με σύνθετους εκθέτες είναι στις περισσότερες περιπτώσεις ευκολότερη από την εργασία με τριγωνομετρικές συναρτήσεις. Για παράδειγμα, κατά τον πολλαπλασιασμό και τη διαίρεση μιγαδικών εκθετών, αρκεί απλώς να προσθέτουμε (αφαιρούμε) τους εκθέτες, ενώ οι τύποι για τον πολλαπλασιασμό και τη διαίρεση τριγωνομετρικών συναρτήσεων είναι πιο περίπλοκοι.

Η διαφοροποίηση και η ολοκλήρωση εκθετικών, ακόμη και σύνθετων, είναι επίσης ευκολότερη από τις τριγωνομετρικές συναρτήσεις, οι οποίες αλλάζουν συνεχώς όταν διαφοροποιούνται και ενσωματώνονται (το ημίτονο μετατρέπεται σε συνημίτονο και αντίστροφα).

Εάν το σήμα είναι περιοδικό και πραγματικό, τότε η τριγωνομετρική σειρά Fourier (2) φαίνεται πιο ξεκάθαρη, επειδή όλοι οι συντελεστές επέκτασης , και παραμένουν πραγματικοί. Ωστόσο, συχνά πρέπει να αντιμετωπίσουμε σύνθετα περιοδικά σήματα (για παράδειγμα, κατά τη διαμόρφωση και την αποδιαμόρφωση, χρησιμοποιείται μια τετραγωνική αναπαράσταση του μιγαδικού περιβλήματος). Σε αυτήν την περίπτωση, όταν χρησιμοποιείται η τριγωνομετρική σειρά Fourier, όλοι οι συντελεστές , και οι επεκτάσεις (2) θα γίνουν μιγαδικοί, ενώ όταν χρησιμοποιείται η σειρά Fourier σε μιγαδική μορφή (9), οι ίδιοι συντελεστές επέκτασης θα χρησιμοποιούνται τόσο για πραγματικά όσο και για μιγαδικά σήματα εισόδου .

Και τέλος, είναι απαραίτητο να σταθούμε στην εξήγηση των αρνητικών συχνοτήτων που εμφανίστηκαν στο (9). Αυτή η ερώτηση συχνά προκαλεί παρεξήγηση. Στην καθημερινή ζωή δεν συναντάμε αρνητικές συχνότητες. Για παράδειγμα, δεν συντονίζουμε ποτέ το ραδιόφωνό μας σε αρνητική συχνότητα. Ας εξετάσουμε την ακόλουθη αναλογία από τη μηχανική. Ας υπάρχει ένα μηχανικό εκκρεμές ελατηρίου που ταλαντώνεται ελεύθερα με μια ορισμένη συχνότητα. Μπορεί ένα εκκρεμές να ταλαντώνεται με αρνητική συχνότητα; Φυσικά και όχι. Όπως δεν υπάρχουν ραδιοφωνικοί σταθμοί που εκπέμπουν σε αρνητικές συχνότητες, η συχνότητα των ταλαντώσεων ενός εκκρεμούς δεν μπορεί να είναι αρνητική. Αλλά ένα εκκρεμές ελατηρίου είναι ένα μονοδιάστατο αντικείμενο (το εκκρεμές ταλαντώνεται κατά μήκος μιας ευθείας γραμμής).

Μπορούμε επίσης να δώσουμε μια άλλη αναλογία από τη μηχανική: έναν τροχό που περιστρέφεται με συχνότητα . Ο τροχός, σε αντίθεση με το εκκρεμές, περιστρέφεται, δηλ. ένα σημείο στην επιφάνεια του τροχού κινείται σε ένα επίπεδο και δεν ταλαντώνεται απλώς κατά μήκος μιας ευθείας γραμμής. Επομένως, για να καθορίσετε μοναδικά την περιστροφή του τροχού, δεν αρκεί η ρύθμιση της ταχύτητας περιστροφής, γιατί είναι επίσης απαραίτητο να ρυθμίσετε την κατεύθυνση περιστροφής. Αυτός είναι ακριβώς ο λόγος που μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε το σύμβολο της συχνότητας.

Έτσι, εάν ο τροχός περιστρέφεται με συχνότητα rad/s αριστερόστροφα, τότε θεωρούμε ότι ο τροχός περιστρέφεται με θετική συχνότητα, και αν δεξιόστροφα, τότε η συχνότητα περιστροφής θα είναι αρνητική. Έτσι, για μια εντολή περιστροφής, μια αρνητική συχνότητα παύει να είναι ανοησία και υποδεικνύει την κατεύθυνση περιστροφής.

Και τώρα το πιο σημαντικό πράγμα που πρέπει να καταλάβουμε. Η ταλάντωση ενός μονοδιάστατου αντικειμένου (για παράδειγμα, ενός εκκρεμούς ελατηρίου) μπορεί να αναπαρασταθεί ως το άθροισμα των περιστροφών δύο διανυσμάτων που φαίνονται στο Σχήμα 4.

Εικόνα 4. Ταλάντωση εκκρεμούς ελατηρίου

Ως το άθροισμα των περιστροφών δύο διανυσμάτων

στο σύνθετο επίπεδο

Το εκκρεμές ταλαντώνεται κατά μήκος του πραγματικού άξονα του μιγαδικού επιπέδου με συχνότητα σύμφωνα με τον αρμονικό νόμο. Η κίνηση του εκκρεμούς φαίνεται ως οριζόντιο διάνυσμα. Το επάνω διάνυσμα περιστρέφεται στο μιγαδικό επίπεδο με θετική συχνότητα (αριστερόστροφα) και το κάτω διάνυσμα περιστρέφεται με αρνητική συχνότητα (δεξιόστροφα). Το σχήμα 4 απεικονίζει ξεκάθαρα τη γνωστή σχέση από το μάθημα της τριγωνομετρίας:

Έτσι, η σειρά Fourier σε μιγαδική μορφή (9) αντιπροσωπεύει περιοδικά μονοδιάστατα σήματα ως άθροισμα διανυσμάτων στο μιγαδικό επίπεδο που περιστρέφεται με θετικές και αρνητικές συχνότητες. Ταυτόχρονα, ας σημειώσουμε ότι στην περίπτωση πραγματικού σήματος, σύμφωνα με το (9), οι συντελεστές διαστολής για τις αρνητικές συχνότητες είναι μιγαδικοί συζυγείς με τους αντίστοιχους συντελεστές για τις θετικές συχνότητες. Στην περίπτωση ενός μιγαδικού σήματος, αυτή η ιδιότητα των συντελεστών δεν ισχύει λόγω του γεγονότος ότι και είναι επίσης σύνθετοι.

Φάσμα περιοδικών σημάτων

Η σειρά Fourier σε μιγαδική μορφή είναι η αποσύνθεση ενός περιοδικού σήματος σε ένα άθροισμα μιγαδικών εκθετικών που περιστρέφονται σε θετικές και αρνητικές συχνότητες σε πολλαπλάσια του rad/c με αντίστοιχους μιγαδικούς συντελεστές που καθορίζουν το φάσμα του σήματος. Οι μιγαδικοί συντελεστές μπορούν να αναπαρασταθούν χρησιμοποιώντας τον τύπο του Euler καθώς όπου είναι το φάσμα πλάτους, a είναι το φάσμα φάσης.

Δεδομένου ότι τα περιοδικά σήματα τοποθετούνται σε μια σειρά μόνο σε ένα πλέγμα σταθερής συχνότητας, το φάσμα των περιοδικών σημάτων είναι γραμμικό (διακριτό).

Εικόνα 5. Φάσμα μιας περιοδικής ακολουθίας

Ορθογώνιοι παλμοί:

Α - φάσμα πλάτους. β - φάσμα φάσης

Το σχήμα 5 δείχνει ένα παράδειγμα του πλάτους και του φάσματος φάσης μιας περιοδικής ακολουθίας ορθογώνιων παλμών (βλ. Εικόνα 1) σε c, διάρκεια παλμού c και πλάτος παλμού Β.

Το φάσμα πλάτους του αρχικού πραγματικού σήματος είναι συμμετρικό ως προς τη μηδενική συχνότητα και το φάσμα φάσης είναι αντισυμμετρικό. Ταυτόχρονα, σημειώνουμε ότι οι τιμές του φάσματος φάσης και αντιστοιχούν στο ίδιο σημείο στο μιγαδικό επίπεδο.

Μπορούμε να συμπεράνουμε ότι όλοι οι συντελεστές διαστολής του μειωμένου σήματος είναι καθαρά πραγματικοί και το φάσμα φάσης αντιστοιχεί σε αρνητικούς συντελεστές.

Σημειώστε ότι η διάσταση του φάσματος πλάτους συμπίπτει με τη διάσταση του σήματος. Εάν περιγράφει τη μεταβολή της τάσης με την πάροδο του χρόνου, μετρημένη σε βολτ, τότε τα πλάτη των αρμονικών του φάσματος θα έχουν επίσης διάσταση βολτ.

συμπεράσματα

Αυτή η ενότητα συζητά την αναπαράσταση περιοδικών σημάτων χρησιμοποιώντας τη σειρά Fourier. Δίνονται εκφράσεις για τη σειρά Fourier σε τριγωνομετρικές και μιγαδικές μορφές. Δώσαμε ιδιαίτερη προσοχή στις συνθήκες Dirichlet για τη σύγκλιση της σειράς Fourier και δώσαμε παραδείγματα συναρτήσεων για τις οποίες η σειρά Fourier αποκλίνει.

Σταθήκαμε λεπτομερώς στην έκφραση της σειράς Fourier σε μιγαδική μορφή και δείξαμε ότι τα περιοδικά σήματα, τόσο πραγματικά όσο και μιγαδικά, αντιπροσωπεύονται από μια σειρά μιγαδικών εκθετικών με θετικές και αρνητικές συχνότητες. Σε αυτή την περίπτωση, οι συντελεστές διαστολής είναι επίσης πολύπλοκοι και χαρακτηρίζουν το πλάτος και το φάσμα φάσης του περιοδικού σήματος.

Στην επόμενη ενότητα θα δούμε αναλυτικότερα τις ιδιότητες των φασμάτων των περιοδικών σημάτων.

Εφαρμογή λογισμικού στη βιβλιοθήκη DSPL

Dötsch, G. Ένας οδηγός για την πρακτική εφαρμογή του μετασχηματισμού Laplace. Μόσχα, Nauka, 1965, 288 p.

Παραδείγματα επέκτασης της σειράς Fourier.

ΕΝΑ) Ορθογώνια ακολουθία παλμών .

Εικόνα 2. Ακολουθία ορθογώνιων παλμών.

Αυτό το σήμα είναι μια ομοιόμορφη λειτουργία και είναι βολικό στη χρήση ημιτονοειδής-συνημιτονική μορφή Σειρά Fourier:

. (17)

Η διάρκεια των παλμών και η περίοδος επανάληψής τους περιλαμβάνονται στον προκύπτοντα τύπο με τη μορφή μιας αναλογίας, η οποία συνήθως ονομάζεται κύκλος λειτουργίας της ακολουθίας παλμών :.

. (18)

Η τιμή του σταθερού όρου της σειράς, λαμβάνοντας υπόψη αντιστοιχεί στην:

.

Η αναπαράσταση μιας ακολουθίας ορθογώνιων παλμών με τη μορφή μιας σειράς Fourier έχει τη μορφή:

. (19)

Το γράφημα της συνάρτησης έχει μοτίβο λοβού.
Δημοσιεύτηκε στο ref.rf
Ο οριζόντιος άξονας βαθμολογείται σε αρμονικούς αριθμούς και συχνότητες.

Εικ. 3. Αναπαράσταση μιας ακολουθίας ορθογώνιων παλμών

με τη μορφή μιας σειράς Fourier.

Πλάτος πετάλου, μετρούμενο σε αριθμό αρμονικών, είναι ίσο με τον κύκλο λειτουργίας (στο , έχουμε , στην περίπτωση ). Αυτό συνεπάγεται μια σημαντική ιδιότητα του φάσματος μιας ακολουθίας ορθογώνιων παλμών - σε αυτό δεν υπάρχουν αρμονικές με αριθμούς που είναι πολλαπλάσια του κύκλου λειτουργίας . Η απόσταση συχνότητας μεταξύ γειτονικών αρμονικών είναι ίση με τη συχνότητα επανάληψης του παλμού. Το πλάτος των λοβών, μετρούμενο σε μονάδες συχνότητας, είναι ᴛ.ᴇ. είναι αντιστρόφως ανάλογη με τη διάρκεια του σήματος. Μπορούμε να συμπεράνουμε: όσο μικρότερος είναι ο παλμός, τόσο μεγαλύτερο είναι το φάσμα .

β) Σήμα ράμπας .

Εικ. 4. Κύμα ράμπας.

Ένα πριονωτό σήμα μέσα σε μια περίοδο περιγράφεται από μια γραμμική συνάρτηση

, . (20)

Αυτό το σήμα είναι μια περιττή συνάρτηση, και επομένως η σειρά Fourier του σε ημιτονοειδή-συνημιτονική μορφή περιέχει μόνο συνιστώσες ημιτόνου:

Η σειρά Fourier του σήματος πριονωτή έχει τη μορφή:

Είναι σημαντικό να σημειωθεί ότι για τα φάσματα ορθογώνιων και πριονωτών σημάτων είναι χαρακτηριστικό ότι τα πλάτη των αρμονικών με αυξανόμενους αριθμούς μειώνονται αναλογικά .

V) Τριγωνική ακολουθία παλμών .

Η σειρά Fourier έχει τη μορφή:

Εικόνα 5. Ακολουθία τριγωνικών παλμών.

Όπως μπορούμε να δούμε, σε αντίθεση με μια ακολουθία ορθογώνιων και πριονωτών παλμών, για ένα τριγωνικό περιοδικό σήμα τα πλάτη των αρμονικών μειώνονται αναλογικά με τη δεύτερη δύναμη των αρμονικών αριθμών. Αυτό οφείλεται στο γεγονός ότι ο ρυθμός διάσπασης του φάσματος εξαρτάται από βαθμός ομαλότητας σήματος.

Διάλεξη Νο. 3. Μετασχηματισμός Fourier.

Ιδιότητες του μετασχηματισμού Fourier.

Παραδείγματα επέκτασης της σειράς Fourier. - έννοια και τύποι. Ταξινόμηση και χαρακτηριστικά της κατηγορίας "Παραδείγματα επέκτασης της σειράς Fourier." 2017, 2018.

ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ Νο 1

ΕΠΕΚΤΑΣΗ ΣΗΜΑΤΩΝ ΣΕ ΣΕΙΡΑ FOURIER

Σκοπός της εργασίας

Εξοικειωθείτε με παραδείγματα αποσύνθεσης σημάτων σε σειρές Fourier και εφαρμόστε πρακτικά την αποσύνθεση διαφόρων τύπων σημάτων στο σύστημα MatLab.

Διατύπωση του προβλήματος

Εκτελέστε επεκτάσεις σημάτων διαφόρων τύπων σε σειρές Fourier. Τα ακόλουθα σήματα υπόκεινται σε αποσύνθεση: μια ακολουθία ορθογώνιων παλμών, ένα τετράγωνο κύμα, ένα σήμα πριονωτή και μια ακολουθία τριγωνικών παλμών.

Για κάθε επιλογή και κάθε τύπο σήματος καθορίζονται οι ακόλουθες παράμετροι:

για μια ακολουθία ορθογώνιων παλμών – πλάτος, περίοδος επανάληψης και διάρκεια παλμού.

για έναν μαίανδρο, ένα σήμα πριονωτή και μια ακολουθία τριγωνικών παλμών – το πλάτος και η περίοδος επανάληψης των παλμών.

Για όλους τους τύπους σημάτων, καθορίζεται ο αριθμός των μη μηδενικών αρμονικών.

Συνθέστε προγράμματα στο σύστημα MatLab και δημιουργήστε γραφήματα.

Διατύπωση του προβλήματος.

Κωδικός προγράμματος για την αποσύνθεση μιας ακολουθίας ορθογώνιων παλμών, ενός τετραγωνικού κύματος, ενός σήματος πριονιού και μιας ακολουθίας τριγωνικών παλμών.

Τα αποτελέσματα της εκτέλεσης του προγράμματος είναι γραφήματα ενδιάμεσων σταδίων άθροισης.

Κατευθυντήριες γραμμές

Σειρά Fourier

Τα περιοδικά σήματα μπορούν να επεκταθούν σε μια σειρά Fourier. Επιπλέον, παρουσιάζονται ως άθροισμα αρμονικών συναρτήσεων ή μιγαδικών εκθετικών με συχνότητες που σχηματίζουν μια αριθμητική πρόοδο.

Η σειρά Fourier μπορεί να χρησιμοποιηθεί για την αναπαράσταση όχι μόνο περιοδικών σημάτων, αλλά και σημάτων πεπερασμένης διάρκειας. Σε αυτή την περίπτωση, καθορίζεται ένα χρονικό διάστημα για το οποίο κατασκευάζεται η σειρά Fourier και άλλες φορές το σήμα θεωρείται ίσο με μηδέν. Για τον υπολογισμό των συντελεστών μιας σειράς, αυτή η προσέγγιση σημαίνει στην πραγματικότητα περιοδική συνέχιση του σήματος πέρα ​​από τα όρια του εξεταζόμενου διαστήματος.

Ημιτονοειδής-συνημιτονική μορφή

Σε αυτήν την έκδοση, η σειρά Fourier έχει την ακόλουθη μορφή:

Εδώ
– κυκλική συχνότητα που αντιστοιχεί στην περίοδο επανάληψης του σήματος ίση με . Οι συχνότητες που περιλαμβάνονται στον τύπο είναι πολλαπλάσιες του
ονομάζονται αρμονικές, οι αρμονικές αριθμούνται σύμφωνα με τον δείκτη ; συχνότητα
που ονομάζεται -η αρμονική του σήματος. Συντελεστές σειράς Και υπολογίζονται χρησιμοποιώντας τους τύπους:

,

.

Συνεχής υπολογίζεται χρησιμοποιώντας τον γενικό τύπο για . Αυτός ο ίδιος ο όρος αντιπροσωπεύει τη μέση τιμή του σήματος κατά τη διάρκεια της περιόδου:

.

Αν
είναι μια άρτια συνάρτηση, τότε τα πάντα θα είναι ίσο με μηδέν και μόνο συνημίτονο θα υπάρχουν στον τύπο της σειράς Fourier. Αν
είναι περιττή συνάρτηση, οι συντελεστές συνημιτόνου θα είναι ίσοι με μηδέν, αντίθετα και μόνο οι ημιτονικοί όροι θα παραμείνουν στον τύπο.

ΟΡΘΟΓΩΝΙΑ ΑΚΟΛΟΥΘΙΑ ΠΑΛΜΩΝ

Ακολουθία ορθογώνιων παλμών με πλάτος , διάρκεια και περίοδος επανάληψης .

Ρύζι. 1 Περιοδική ακολουθία ορθογώνιων παλμών

Αυτό το σήμα είναι μια άρτια συνάρτηση, επομένως για να το αναπαραστήσετε είναι πιο βολικό να χρησιμοποιήσετε τη μορφή ημιτόνου-συνημίτονου της σειράς Fourier - θα περιέχει μόνο όρους συνημίτονου , ίσος

.

Ο λόγος της περιόδου προς τη διάρκεια του παλμού ονομάζεται κύκλος λειτουργίας της ακολουθίας παλμώνκαι συμβολίζεται με το γράμμα :
.

Αναπαράσταση μιας ακολουθίας ορθογώνιων παλμών με τη μορφή μιας σειράς Fourier:

.

Τα πλάτη των αρμονικών όρων της σειράς εξαρτώνται από τον αρμονικό αριθμό.

ΕΛΙΣΣΟΜΑΙ

Μια ειδική περίπτωση του προηγούμενου σήματος είναι ελίσσομαι– μια ακολουθία ορθογώνιων παλμών με κύκλο λειτουργίας ίσο με δύο, όταν οι διάρκειες των παλμών και τα διαστήματα μεταξύ τους γίνονται ίσα (Εικ. 2).

Ρύζι. 2 Μαίανδρος

Στο
, παίρνουμε

Εδώ το m είναι ένας αυθαίρετος ακέραιος αριθμός.

Όταν επεκταθεί σε μια σειρά Fourier, ακόμη και εξαρτήματα θα απουσιάζουν.

ΣΗΜΑ ΡΑΜΠΑ

Μέσα στην περίοδο, περιγράφεται από μια γραμμική συνάρτηση:

Ρύζι. 3. Σήμα ράμπας

Αυτό το σήμα είναι μια περιττή συνάρτηση, επομένως η σειρά Fourier σε ημιτονοειδή-συνημιτονική μορφή θα περιέχει μόνο όρους ημιτόνου:

.

Η ίδια η σειρά Fourier για ένα σήμα πριονωτή μοιάζει με αυτό:

ΑΚΟΛΟΥΘΙΑ ΤΡΙΓΩΝΙΩΝ ΠΑΛΜΩΝ

Εικ.4. Τριγωνική ακολουθία παλμών

Το σήμα είναι μια άρτια συνάρτηση, επομένως θα υπάρχουν συνημίτονο.

Ας υπολογίσουμε τους συντελεστές της σειράς Fourier:

Η ίδια η σειρά Fourier έχει την ακόλουθη μορφή:

Όπως μπορείτε να δείτε, σε αντίθεση με τις ακολουθίες ορθογώνιων και πριονωτών παλμών, για ένα τριγωνικό περιοδικό σήμα τα αρμονικά πλάτη μειώνονται ανάλογα με τη δεύτερη δύναμη των αρμονικών αριθμών .

Κωδικός προγράμματος για μαίανδρος

Ν= 8; % αριθμός μη μηδενικών αρμονικών

t= -1:0,01:1; % διάνυσμα χρόνου

A= 1; % εύρος

T= 1; % περίοδος

nh= (1:N)*2-1; % αριθμός μη μηδενικών αρμονικών

αρμονικές = cos(2*pi*nh"*t/T);

Am= 2/pi./nh; % αρμονικό πλάτος

Am(2:2:end) = -Am(2:2:end); % εναλλαγή χαρακτήρων

s1 = αρμονικές .* repmat(Am", 1, μήκος(t));

% χορδές - μερικά αθροίσματα αρμονικών

για k=1:N, υπογραφικό(4, 2, k), plot(t, s2(k,:)), τέλος

R
αποτέλεσμα του προγράμματος

Σχόλια :repmat– δημιουργία μπλοκ μήτρας ή πολυδιάστατης συστοιχίας μπλοκ από πανομοιότυπα μπλοκ repmat(Am", 1,length(t)) - ο πίνακας αποτελείται από 1 μπλοκ κατακόρυφα και μπλοκ μήκους(t) οριζόντια, κάθε μπλοκ είναι ένας πίνακας Am".

Cumsum– υπολογισμός μερικών αθροισμάτων στοιχείων.

Υποπλοκή (Σειρές, Cols, Ν) – εντολή για εμφάνιση πολλαπλών γραφημάτων. Το παράθυρο γραφικών χωρίζεται σε κελιά με τη μορφή μήτρας με Σειρές– γραμμές, Cols– στήλες και Ν– το κελί γίνεται ρεύμα.

Επιλογές

№ επιλογή	Παράμετροι για σήματα
	–πλάτος σήματος	–περίοδος επανάληψης σήματος	–διάρκεια σήματος	–αριθμός μη μηδενικών αρμονικών

Μεταξύ των διαφόρων συστημάτων ορθογώνιων συναρτήσεων που μπορούν να χρησιμοποιηθούν ως βάσεις για την αναπαράσταση ραδιοφωνικών σημάτων, οι αρμονικές (ημιτονοειδείς και συνημιτονικές) συναρτήσεις καταλαμβάνουν εξαιρετική θέση. Η σημασία των αρμονικών σημάτων για τη ραδιομηχανική οφείλεται σε διάφορους λόγους.

Συγκεκριμένα:

1. Τα αρμονικά σήματα είναι αμετάβλητα σε σχέση με μετασχηματισμούς που πραγματοποιούνται από σταθερά γραμμικά ηλεκτρικά κυκλώματα. Εάν ένα τέτοιο κύκλωμα διεγείρεται από μια πηγή αρμονικών ταλαντώσεων, τότε το σήμα στην έξοδο του κυκλώματος παραμένει αρμονικό με την ίδια συχνότητα, διαφέροντας από το σήμα εισόδου μόνο σε πλάτος και αρχική φάση.

2. Η τεχνική για τη δημιουργία αρμονικών σημάτων είναι σχετικά απλή.

Εάν οποιοδήποτε σήμα παρουσιάζεται ως άθροισμα αρμονικών ταλαντώσεων με διαφορετικές συχνότητες, τότε λένε ότι έχει πραγματοποιηθεί φασματική αποσύνθεση αυτού του σήματος. Τα επιμέρους αρμονικά συστατικά ενός σήματος σχηματίζουν το φάσμα του.

2.1. Περιοδικά σήματα και σειρές Fourier

Ένα μαθηματικό μοντέλο μιας διαδικασίας που επαναλαμβάνεται με την πάροδο του χρόνου είναι ένα περιοδικό σήμα με την ακόλουθη ιδιότητα:

Εδώ T είναι η περίοδος του σήματος.

Ο στόχος είναι να βρεθεί η φασματική αποσύνθεση ενός τέτοιου σήματος.

Σειρά Fourier.

Ας ορίσουμε το χρονικό διάστημα που εξετάζεται στο Κεφ. Το I είναι μια ορθοκανονική βάση που σχηματίζεται από αρμονικές συναρτήσεις με πολλαπλές συχνότητες.

Οποιαδήποτε συνάρτηση από αυτή τη βάση ικανοποιεί τη συνθήκη περιοδικότητας (2.1). Επομένως, εκτελώντας μια ορθογώνια αποσύνθεση του σήματος σε αυτή τη βάση, δηλ. με τον υπολογισμό των συντελεστών

παίρνουμε τη φασματική αποσύνθεση

ισχύει σε όλο το άπειρο του άξονα του χρόνου.

Μια σειρά της μορφής (2.4) ονομάζεται σειρά Fourier ενός δεδομένου σήματος. Ας παρουσιάσουμε τη θεμελιώδη συχνότητα της ακολουθίας που σχηματίζει το περιοδικό σήμα. Υπολογίζοντας τους συντελεστές διαστολής χρησιμοποιώντας τον τύπο (2.3), γράφουμε τη σειρά Fourier για ένα περιοδικό σήμα

με πιθανότητες

(2.6)

Έτσι, στη γενική περίπτωση, ένα περιοδικό σήμα περιέχει μια χρονικά ανεξάρτητη σταθερή συνιστώσα και ένα άπειρο σύνολο αρμονικών ταλαντώσεων, τις λεγόμενες αρμονικές με συχνότητες που είναι πολλαπλάσια της θεμελιώδους συχνότητας της ακολουθίας.

Κάθε αρμονική μπορεί να περιγραφεί από το πλάτος και την αρχική της φάση Για να γίνει αυτό, οι συντελεστές της σειράς Fourier θα πρέπει να γραφτούν στη μορφή

Αντικαθιστώντας αυτές τις εκφράσεις στην (2.5), λαμβάνουμε μια άλλη, ισοδύναμη μορφή της σειράς Fourier:

που μερικές φορές αποδεικνύεται πιο βολικό.

Φασματικό διάγραμμα περιοδικού σήματος.

Αυτό είναι αυτό που συνήθως ονομάζεται γραφική αναπαράσταση των συντελεστών της σειράς Fourier για ένα συγκεκριμένο σήμα. Υπάρχουν φασματικά διαγράμματα πλάτους και φάσης (Εικ. 2.1).

Εδώ, ο οριζόντιος άξονας αντιπροσωπεύει τις αρμονικές συχνότητες σε μια συγκεκριμένη κλίμακα και ο κατακόρυφος άξονας αντιπροσωπεύει τα πλάτη και τις αρχικές φάσεις τους.

Ρύζι. 2.1. Φασματικά διαγράμματα ορισμένων περιοδικών σημάτων: α - πλάτος. β - φάση

Τους ενδιαφέρει ιδιαίτερα το διάγραμμα πλάτους, το οποίο επιτρέπει σε κάποιον να κρίνει το ποσοστό ορισμένων αρμονικών στο φάσμα ενός περιοδικού σήματος.

Ας μελετήσουμε μερικά συγκεκριμένα παραδείγματα.

Παράδειγμα 2.1. Σειρά Fourier μιας περιοδικής ακολουθίας ορθογώνιων παλμών βίντεο με γνωστές παραμέτρους, ακόμη και σε σχέση με το σημείο t = 0.

Στη ραδιομηχανική, η αναλογία ονομάζεται κύκλος λειτουργίας της ακολουθίας. Χρησιμοποιώντας τους τύπους (2.6) βρίσκουμε

Είναι βολικό να γράψετε τον τελικό τύπο της σειράς Fourier στη φόρμα

Στο Σχ. Το σχήμα 2.2 δείχνει τα διαγράμματα πλάτους της υπό εξέταση ακολουθίας σε δύο ακραίες περιπτώσεις.

Είναι σημαντικό να σημειωθεί ότι μια ακολουθία σύντομων παλμών, που ακολουθούν ο ένας τον άλλον αρκετά σπάνια, έχει πλούσια φασματική σύνθεση.

Ρύζι. 2.2. Φάσμα πλάτους μιας περιοδικής ακολουθίας ορθογώνιων παλμών βίντεο: α - με μεγάλο κύκλο λειτουργίας. β - με χαμηλό κύκλο λειτουργίας

Παράδειγμα 2.2. Σειρά Fourier μιας περιοδικής ακολουθίας παλμών που σχηματίζεται από ένα αρμονικό σήμα της μορφής που περιορίζεται στο επίπεδο (υποτίθεται ότι ).

Ας εισαγάγουμε μια ειδική παράμετρο - τη γωνία αποκοπής, που καθορίζεται από τη σχέση πού

Σύμφωνα με αυτό, η τιμή είναι ίση με τη διάρκεια ενός παλμού, εκφρασμένη σε γωνιακό μέτρο:

Η αναλυτική καταγραφή του παλμού που δημιουργεί την υπό εξέταση ακολουθία έχει τη μορφή

Συνιστώσα σταθερής ακολουθίας

Πρώτος συντελεστής αρμονικού πλάτους

Ομοίως, τα πλάτη των αρμονικών συνιστωσών υπολογίζονται στο

Τα αποτελέσματα που λαμβάνονται συνήθως γράφονται ως εξής:

όπου λειτουργεί η λεγόμενη Berg:

Γραφήματα ορισμένων συναρτήσεων Berg φαίνονται στο Σχ. 2.3.

Ρύζι. 2.3. Γραφήματα των πρώτων συναρτήσεων Berg

Σύνθετη μορφή της σειράς Fourier.

Η φασματική αποσύνθεση ενός περιοδικού σήματος μπορεί επίσης να πραγματοποιηθεί με κάπως ιοντικό τρόπο, χρησιμοποιώντας ένα σύστημα βασικών συναρτήσεων που αποτελείται από εκθετικές με φανταστικούς εκθέτες:

Είναι εύκολο να δούμε ότι οι λειτουργίες αυτού του συστήματος είναι περιοδικές με περίοδο ορθοκανονική στο χρονικό διάστημα από

Η σειρά Fourier ενός αυθαίρετου περιοδικού σήματος σε αυτή την περίπτωση παίρνει τη μορφή

με πιθανότητες

Συνήθως χρησιμοποιείται η ακόλουθη μορφή σημειογραφίας:

Η έκφραση (2.11) είναι μια σειρά Fourier σε σύνθετη μορφή.

Το φάσμα σήματος, σύμφωνα με τον τύπο (2.11), περιέχει στοιχεία στον ημιάξονα αρνητικής συχνότητας και . Στη σειρά (2.11), οι όροι με θετικές και αρνητικές συχνότητες συνδυάζονται σε ζεύγη, για παράδειγμα: και τα αθροίσματα των διανυσμάτων κατασκευάζονται - προς την κατεύθυνση της αύξησης της γωνίας φάσης, ενώ τα διανύσματα περιστρέφονται προς την αντίθετη κατεύθυνση. Το τέλος του διανύσματος που προκύπτει σε κάθε χρονική στιγμή καθορίζει την τρέχουσα τιμή του σήματος.

Αυτή η οπτική ερμηνεία της φασματικής αποσύνθεσης ενός περιοδικού σήματος θα χρησιμοποιηθεί στην επόμενη παράγραφο.