Ορισμός συνάρτησης. Μια άρτια ρίζα είναι ένας περιορισμός στη ριζική έκφραση. Πρόσθετοι περιορισμοί στο εύρος μιας λειτουργίας

Μια συνάρτηση είναι ένα μοντέλο. Ας ορίσουμε το X ως ένα σύνολο τιμών μιας ανεξάρτητης μεταβλητής // ανεξάρτητη σημαίνει οποιαδήποτε.

Μια συνάρτηση είναι ένας κανόνας με τη βοήθεια του οποίου, για κάθε τιμή μιας ανεξάρτητης μεταβλητής από το σύνολο X, μπορεί κανείς να βρει μια μοναδική τιμή της εξαρτημένης μεταβλητής. // δηλ. για κάθε x υπάρχει ένα y.

Από τον ορισμό προκύπτει ότι υπάρχουν δύο έννοιες - μια ανεξάρτητη μεταβλητή (την οποία συμβολίζουμε με x και μπορεί να πάρει οποιαδήποτε τιμή) και μια εξαρτημένη μεταβλητή (την οποία συμβολίζουμε με y ή f (x) και υπολογίζεται από τη συνάρτηση όταν αντικαθιστούμε το x).

ΓΙΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ y=5+x

1. Ανεξάρτητο είναι το x, που σημαίνει ότι παίρνουμε οποιαδήποτε τιμή, έστω x=3

2. Τώρα ας υπολογίσουμε το y, που σημαίνει y=5+x=5+3=8. (το y εξαρτάται από το x, γιατί ό,τι x αντικαταστήσουμε, παίρνουμε το ίδιο y)

Η μεταβλητή y λέγεται ότι εξαρτάται λειτουργικά από τη μεταβλητή x και συμβολίζεται ως εξής: y = f (x).

ΓΙΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ.

1.y=1/x. (ονομάζεται υπερβολή)

2. y=x^2. (ονομάζεται παραβολή)

3.y=3x+7. (ονομάζεται ευθεία γραμμή)

4. y= √ x. (ονομάζεται κλάδος παραβολής)

Η ανεξάρτητη μεταβλητή (την οποία συμβολίζουμε με x) ονομάζεται όρισμα συνάρτησης.

Τομέας συνάρτησης

Το σύνολο όλων των τιμών που παίρνει ένα όρισμα συνάρτησης ονομάζεται τομέας της συνάρτησης και συμβολίζεται D(f) ή D(y).

Θεωρήστε το D(y) για το 1.,2.,3.,4.

1. D (y)= (∞; 0) και (0;+∞) //ολόκληρο το σύνολο των πραγματικών αριθμών εκτός από το μηδέν.

2. D (y)= (∞; +∞)//όλος ο αριθμός των πραγματικών αριθμών

3. D (y)= (∞; +∞)//όλος ο αριθμός των πραγματικών αριθμών

4. D (y)= - ∞; + ∞[ .

Παράδειγμα 1. Βρείτε το πεδίο ορισμού μιας συνάρτησης y = 2 .

Λύση. Το πεδίο ορισμού της συνάρτησης δεν υποδεικνύεται, πράγμα που σημαίνει ότι δυνάμει του παραπάνω ορισμού εννοείται το φυσικό πεδίο ορισμού. Εκφραση φά(Χ) = 2 που ορίζεται για οποιεσδήποτε πραγματικές τιμές Χ, επομένως, αυτή η λειτουργία ορίζεται σε ολόκληρο το σετ R πραγματικούς αριθμούς.

Επομένως, στο παραπάνω σχέδιο, η αριθμητική γραμμή είναι σκιασμένη σε όλη τη διαδρομή από το μείον άπειρο έως το συν άπειρο.

Περιοχή ορισμού ρίζας nου βαθμού

Στην περίπτωση που η συνάρτηση δίνεται από τον τύπο και n- φυσικός αριθμός:

Παράδειγμα 2. Βρείτε το πεδίο ορισμού μιας συνάρτησης .

Λύση. Όπως προκύπτει από τον ορισμό, μια ρίζα ζυγού βαθμού έχει νόημα εάν η ριζική έκφραση είναι μη αρνητική, δηλαδή εάν - 1 ≤ Χ≤ 1. Επομένως, ο τομέας ορισμού αυτής της συνάρτησης είναι [- 1; 1] .

Η σκιασμένη περιοχή της αριθμητικής γραμμής στο παραπάνω σχέδιο είναι ο τομέας ορισμού αυτής της συνάρτησης.

Τομέας συνάρτησης ισχύος

Τομέας συνάρτησης ισχύος με ακέραιο εκθέτη

Αν ένα- θετικό, τότε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης είναι το σύνολο όλων των πραγματικών αριθμών, δηλαδή ]- ∞; + ∞[ ;

Αν ένα- αρνητικό, τότε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης είναι το σύνολο ]- ∞; 0[ ∪ ]0 ;+ ∞[ , δηλαδή ολόκληρη η αριθμητική γραμμή εκτός από το μηδέν.

Στο αντίστοιχο παραπάνω σχέδιο, ολόκληρη η αριθμητική γραμμή είναι σκιασμένη και το σημείο που αντιστοιχεί στο μηδέν διατρυπάται (δεν περιλαμβάνεται στον τομέα ορισμού της συνάρτησης).

Παράδειγμα 3. Βρείτε το πεδίο ορισμού μιας συνάρτησης .

Λύση. Ο πρώτος όρος είναι μια ακέραια δύναμη του x ίση με 3, και η δύναμη του x στον δεύτερο όρο μπορεί να αναπαρασταθεί ως ένας - επίσης ακέραιος. Συνεπώς, το πεδίο ορισμού αυτής της συνάρτησης είναι ολόκληρη η αριθμητική γραμμή, δηλαδή ]- ∞; + ∞[ .

Τομέας συνάρτησης ισχύος με κλασματικό εκθέτη

Στην περίπτωση που η συνάρτηση δίνεται από τον τύπο:

Εάν είναι θετικό, τότε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης είναι το σύνολο 0. + ∞[ .

Παράδειγμα 4. Βρείτε το πεδίο ορισμού μιας συνάρτησης .

Λύση. Και οι δύο όροι στην έκφραση συνάρτησης είναι συναρτήσεις ισχύος με θετικούς κλασματικούς εκθέτες. Κατά συνέπεια, το πεδίο ορισμού αυτής της συνάρτησης είναι το σύνολο - ∞; + ∞[ .

Τομέας εκθετικών και λογαριθμικών συναρτήσεων

Τομέας της εκθετικής συνάρτησης

Στην περίπτωση που μια συνάρτηση δίνεται από έναν τύπο, το πεδίο ορισμού της συνάρτησης είναι ολόκληρη η αριθμητική γραμμή, δηλαδή ] - ∞; + ∞[ .

Τομέας της λογαριθμικής συνάρτησης

Η λογαριθμική συνάρτηση ορίζεται με την προϋπόθεση ότι το όρισμά της είναι θετικό, δηλαδή το πεδίο ορισμού της είναι το σύνολο ]0. + ∞[ .

Βρείτε μόνοι σας τον τομέα της συνάρτησης και μετά δείτε τη λύση

Τομέας τριγωνομετρικών συναρτήσεων

Τομέας συνάρτησης y= cos( Χ) - επίσης πολλά R πραγματικούς αριθμούς.

Τομέας συνάρτησης y= tg( Χ) - ένα μάτσο R πραγματικούς αριθμούς εκτός από αριθμούς .

Τομέας συνάρτησης y= ctg( Χ) - ένα μάτσο R πραγματικούς αριθμούς, εκτός από αριθμούς.

Παράδειγμα 8. Βρείτε το πεδίο ορισμού μιας συνάρτησης .

Λύση. Η εξωτερική συνάρτηση είναι δεκαδικός λογάριθμος και το πεδίο ορισμού της υπόκειται στις συνθήκες του πεδίου ορισμού μιας λογαριθμικής συνάρτησης γενικά. Δηλαδή, το επιχείρημά της πρέπει να είναι θετικό. Το όρισμα εδώ είναι το ημίτονο του "x". Γυρίζοντας μια φανταστική πυξίδα γύρω από έναν κύκλο, βλέπουμε ότι η συνθήκη αμαρτία Χ> Το 0 παραβιάζεται όταν το "x" είναι ίσο με μηδέν, το "pi", δύο, πολλαπλασιαζόμενο με το "pi" και γενικά ίσο με το γινόμενο του "pi" και οποιουδήποτε άρτιου ή περιττού ακέραιου αριθμού.

Έτσι, το πεδίο ορισμού αυτής της συνάρτησης δίνεται από την έκφραση

,

Οπου κ- ένας ακέραιος αριθμός.

Τομέας ορισμού αντίστροφων τριγωνομετρικών συναρτήσεων

Τομέας συνάρτησης y= τόξο( Χ) - σύνολο [-1; 1] .

Τομέας συνάρτησης y= τόξο( Χ) - επίσης το σύνολο [-1; 1] .

Τομέας συνάρτησης y= Αρκτάν( Χ) - ένα μάτσο R πραγματικούς αριθμούς.

Τομέας συνάρτησης y= arcctg( Χ) - επίσης πολλά R πραγματικούς αριθμούς.

Παράδειγμα 9. Βρείτε το πεδίο ορισμού μιας συνάρτησης .

Λύση. Ας λύσουμε την ανισότητα:

Έτσι, λαμβάνουμε το πεδίο ορισμού αυτής της συνάρτησης - το τμήμα [- 4; 4] .

Παράδειγμα 10. Βρείτε το πεδίο ορισμού μιας συνάρτησης .

Λύση. Ας λύσουμε δύο ανισότητες:

Λύση στην πρώτη ανισότητα:

Λύση στη δεύτερη ανισότητα:

Έτσι, λαμβάνουμε το πεδίο ορισμού αυτής της συνάρτησης - το τμήμα.

Εύρος κλάσματος

Εάν μια συνάρτηση δίνεται από μια κλασματική έκφραση στην οποία η μεταβλητή είναι στον παρονομαστή του κλάσματος, τότε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης είναι το σύνολο R πραγματικούς αριθμούς, εκτός από αυτούς Χ, στην οποία ο παρονομαστής του κλάσματος γίνεται μηδέν.

Παράδειγμα 11. Βρείτε το πεδίο ορισμού μιας συνάρτησης .

Λύση. Επιλύοντας την ισότητα του παρονομαστή του κλάσματος στο μηδέν, βρίσκουμε το πεδίο ορισμού αυτής της συνάρτησης - το σύνολο ]- ∞; - 2[ ∪ ]- 2 ;+ ∞[ .

Ορισμός
Λειτουργία y = f (Χ)ονομάζεται νόμος (κανόνας, αντιστοίχιση), σύμφωνα με τον οποίο κάθε στοιχείο x του συνόλου X συνδέεται με ένα και μόνο στοιχείο y του συνόλου Y.

Το σύνολο Χ ονομάζεται τομέα της συνάρτησης.
Σύνολο στοιχείων y ∈ Υ, που έχουν προεικόνες στο σύνολο Χ, καλείται σύνολο τιμών συνάρτησης(ή εύρος τιμών).

Τομέαμερικές φορές ονομάζονται συναρτήσεις σύνολο ορισμούή πολλά καθήκονταλειτουργίες.

Στοιχείο x ∈ Χπου ονομάζεται όρισμα συνάρτησηςή ανεξάρτητη μεταβλητή.
Στοιχείο y ∈ Υπου ονομάζεται τιμή συνάρτησηςή εξαρτημένη μεταβλητή.

Η ίδια η αντιστοίχιση f ονομάζεται χαρακτηριστικό της συνάρτησης.

Το χαρακτηριστικό f έχει την ιδιότητα ότι αν δύο στοιχεία και από το σύνολο ορισμού έχουν ίσες τιμές: , τότε .

Το σύμβολο που υποδηλώνει ένα χαρακτηριστικό μπορεί να είναι το ίδιο με το σύμβολο του στοιχείου τιμής συνάρτησης. Δηλαδή, μπορείτε να το γράψετε ως εξής: . Αξίζει να θυμηθούμε ότι το y είναι ένα στοιχείο από το σύνολο των τιμών της συνάρτησης και είναι ο κανόνας σύμφωνα με τον οποίο το στοιχείο y εκχωρείται στο στοιχείο x.

Η ίδια η διαδικασία υπολογισμού μιας συνάρτησης αποτελείται από τρία βήματα. Στο πρώτο βήμα, επιλέγουμε ένα στοιχείο x από το σύνολο X. Στη συνέχεια, χρησιμοποιώντας τον κανόνα, το στοιχείο x συνδέεται με ένα στοιχείο του συνόλου Y. Στο τρίτο βήμα, αυτό το στοιχείο εκχωρείται στη μεταβλητή y.

Ιδιωτική αξία της συνάρτησηςκαλέστε την τιμή μιας συνάρτησης που δόθηκε μια επιλεγμένη (ιδιαίτερη) τιμή του ορίσματός της.

Γράφημα της συνάρτησης fονομάζεται ένα σύνολο ζευγαριών.

Σύνθετες λειτουργίες

Ορισμός
Αφήστε τις συναρτήσεις και δοθούν. Επιπλέον, το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f περιέχει ένα σύνολο τιμών της συνάρτησης g. Τότε κάθε στοιχείο t από το πεδίο ορισμού της συνάρτησης g αντιστοιχεί σε ένα στοιχείο x και αυτό το x αντιστοιχεί στο y. Αυτή η αλληλογραφία ονομάζεται σύνθετη λειτουργία: .

Μια σύνθετη συνάρτηση ονομάζεται επίσης σύνθεση ή υπέρθεση συναρτήσεωνκαι μερικές φορές συμβολίζεται ως εξής: .

Στη μαθηματική ανάλυση, είναι γενικά αποδεκτό ότι εάν ένα χαρακτηριστικό μιας συνάρτησης συμβολίζεται με ένα γράμμα ή σύμβολο, τότε προσδιορίζει την ίδια αντιστοιχία. Ωστόσο, σε άλλους κλάδους, υπάρχει ένας άλλος τρόπος σημειογραφίας, σύμφωνα με τον οποίο αντιστοιχίσεις με το ίδιο χαρακτηριστικό, αλλά διαφορετικά επιχειρήματα, θεωρούνται διαφορετικές. Δηλαδή οι αντιστοιχίσεις θεωρούνται διαφορετικές. Ας δώσουμε ένα παράδειγμα από τη φυσική. Ας υποθέσουμε ότι εξετάζουμε την εξάρτηση της ορμής από τις συντεταγμένες. Και ας έχουμε μια εξάρτηση συντεταγμένων από το χρόνο. Τότε η εξάρτηση της ώθησης από το χρόνο είναι μια σύνθετη συνάρτηση. Όμως, για συντομία, ορίζεται ως εξής: . Με αυτή την προσέγγιση, και είναι διαφορετικές λειτουργίες. Με δεδομένες τις ίδιες τιμές ορίσματος, μπορούν να δώσουν διαφορετικές τιμές. Αυτή η σημείωση δεν είναι αποδεκτή στα μαθηματικά. Εάν απαιτείται μείωση, πρέπει να εισαχθεί ένα νέο χαρακτηριστικό. Για παράδειγμα . Τότε είναι καθαρά ορατό ότι και είναι διαφορετικές λειτουργίες.

Έγκυρες λειτουργίες

Ο τομέας μιας συνάρτησης και το σύνολο των τιμών της μπορεί να είναι οποιοδήποτε σύνολο.
Για παράδειγμα, οι ακολουθίες αριθμών είναι συναρτήσεις των οποίων το πεδίο ορισμού είναι το σύνολο των φυσικών αριθμών και το σύνολο των τιμών είναι πραγματικοί ή μιγαδικοί αριθμοί.
Το διασταυρούμενο γινόμενο είναι επίσης συνάρτηση, αφού για δύο διανύσματα και υπάρχει μόνο μία τιμή του διανύσματος. Εδώ το πεδίο ορισμού είναι το σύνολο όλων των πιθανών ζευγών διανυσμάτων. Το σύνολο των τιμών είναι το σύνολο όλων των διανυσμάτων.
Μια Boolean έκφραση είναι μια συνάρτηση. Το πεδίο ορισμού του είναι το σύνολο των πραγματικών αριθμών (ή οποιοδήποτε σύνολο στο οποίο ορίζεται η πράξη σύγκρισης με το στοιχείο «0»). Το σύνολο των τιμών αποτελείται από δύο στοιχεία - "αληθές" και "ψευδές".

Οι αριθμητικές συναρτήσεις παίζουν σημαντικό ρόλο στη μαθηματική ανάλυση.

Αριθμητική συνάρτησηείναι μια συνάρτηση της οποίας οι τιμές είναι πραγματικοί ή μιγαδικοί αριθμοί.

Πραγματική ή πραγματική λειτουργίαείναι μια συνάρτηση της οποίας οι τιμές είναι πραγματικοί αριθμοί.

Μέγιστο και ελάχιστο

Οι πραγματικοί αριθμοί έχουν μια πράξη σύγκρισης. Επομένως, το σύνολο τιμών μιας πραγματικής συνάρτησης μπορεί να περιοριστεί και να έχει τις μεγαλύτερες και τις μικρότερες τιμές.

Η πραγματική συνάρτηση καλείται περιορισμένος από πάνω (από κάτω), εάν υπάρχει ένας αριθμός M τέτοιος ώστε η ανισότητα να ισχύει για όλα:
.

Καλείται η αριθμητική συνάρτηση περιορισμένος, αν υπάρχει ένας αριθμός M τέτοιος ώστε για όλους:
.

Μέγιστο M (ελάχιστο m)συνάρτηση f, σε κάποιο σύνολο X, η τιμή της συνάρτησης καλείται για μια ορισμένη τιμή του ορίσματός της, για την οποία για όλα,
.

Επάνω άκρηή ακριβές άνω όριοΜια πραγματική συνάρτηση που οριοθετείται παραπάνω είναι ο μικρότερος αριθμός που περιορίζει το εύρος τιμών της από πάνω. Δηλαδή, αυτός είναι ένας αριθμός s για τον οποίο, για όλους και για οποιονδήποτε, υπάρχει ένα όρισμα του οποίου η τιμή συνάρτησης υπερβαίνει το s′: .
Το άνω όριο μιας συνάρτησης μπορεί να συμβολιστεί ως εξής:
.

Το άνω όριο μιας άνω οριοθετημένης συνάρτησης

Κάτω άκρηή ακριβές κατώτερο όριοΜια πραγματική συνάρτηση που οριοθετείται από κάτω είναι ο μεγαλύτερος αριθμός που οριοθετεί το εύρος τιμών της από κάτω. Δηλαδή, αυτός είναι ένας αριθμός i για τον οποίο, για όλους και για οποιονδήποτε, υπάρχει ένα όρισμα του οποίου η τιμή συνάρτησης είναι μικρότερη από i′: .
Το infimum μιας συνάρτησης μπορεί να συμβολιστεί ως εξής:
.

Το infimum μιας συνάρτησης χαμηλότερου ορίουείναι το σημείο στο άπειρο.

Έτσι, κάθε πραγματική συνάρτηση, σε ένα μη κενό σύνολο Χ, έχει ένα άνω και κάτω όριο. Αλλά δεν έχει κάθε συνάρτηση μέγιστο και ελάχιστο.

Για παράδειγμα, θεωρήστε μια συνάρτηση που ορίζεται σε ένα ανοιχτό διάστημα.
Περιορίζεται, σε αυτό το διάστημα, από πάνω από την τιμή 1 και κάτω - η τιμή 0 :
για όλα .
Αυτή η συνάρτηση έχει άνω και κάτω όριο:
.
Αλλά δεν έχει μέγιστο και ελάχιστο.

Αν λάβουμε υπόψη την ίδια συνάρτηση στο τμήμα, τότε σε αυτό το σύνολο οριοθετείται πάνω και κάτω, έχει άνω και κάτω όριο και έχει μέγιστο και ελάχιστο:
για όλα ;
;
.

Μονοτονικές λειτουργίες

Ορισμοί αυξανόμενων και φθίνουσες συναρτήσεις
Αφήστε τη συνάρτηση να οριστεί σε κάποιο σύνολο πραγματικών αριθμών X. Η συνάρτηση καλείται αυστηρά αυξανόμενη (αυστηρά φθίνουσα)
.
Η συνάρτηση καλείται μη φθίνουσα (μη αυξανόμενη), αν για όλα είναι τέτοια ώστε να ισχύει η ακόλουθη ανισότητα:
.

Ορισμός μονοτονικής συνάρτησης
Η συνάρτηση καλείται μονότονος, εάν είναι μη φθίνουσα ή μη αυξανόμενη.

Λειτουργίες πολλαπλών τιμών

Ένα παράδειγμα συνάρτησης πολλαπλών τιμών. Τα κλαδιά του υποδεικνύονται με διαφορετικά χρώματα. Κάθε κλάδος είναι μια συνάρτηση.

Όπως προκύπτει από τον ορισμό της συνάρτησης, κάθε στοιχείο x από το πεδίο ορισμού συσχετίζεται μόνο με ένα στοιχείο από το σύνολο τιμών. Υπάρχουν όμως αντιστοιχίσεις στις οποίες το στοιχείο x έχει πολλές ή άπειρο αριθμό εικόνων.

Για παράδειγμα, εξετάστε τη συνάρτηση τόξο: . Είναι το αντίστροφο της συνάρτησης κόλποςκαι προσδιορίζεται από την εξίσωση:
(1) .
Για μια δεδομένη τιμή της ανεξάρτητης μεταβλητής x, που ανήκει στο διάστημα, αυτή η εξίσωση ικανοποιείται από άπειρες τιμές του y (βλ. σχήμα).

Ας επιβάλουμε έναν περιορισμό στις λύσεις της εξίσωσης (1). Αφήνω
(2) .
Υπό αυτή την προϋπόθεση, μια δεδομένη τιμή αντιστοιχεί μόνο σε μία λύση της εξίσωσης (1). Δηλαδή, η αντιστοιχία που ορίζεται από την εξίσωση (1) στην συνθήκη (2) είναι συνάρτηση.

Αντί για την προϋπόθεση (2), μπορείτε να επιβάλετε οποιαδήποτε άλλη προϋπόθεση της φόρμας:
(2.n) ,
όπου n είναι ακέραιος αριθμός. Ως αποτέλεσμα, για κάθε τιμή του n, θα έχουμε τη δική μας συνάρτηση, διαφορετική από τις άλλες. Πολλές παρόμοιες λειτουργίες είναι συνάρτηση πολλαπλών τιμών. Και η συνάρτηση που προσδιορίζεται από το (1) στην συνθήκη (2.n) είναι κλάδος μιας συνάρτησης πολλαπλών τιμών.

Αυτό είναι ένα σύνολο συναρτήσεων που ορίζονται σε ένα συγκεκριμένο σύνολο.

Υποκατάστημα πολλαπλών τιμώνείναι μία από τις συναρτήσεις που περιλαμβάνονται στη συνάρτηση πολλαπλών τιμών.

Συνάρτηση μίας τιμήςείναι μια συνάρτηση.

Βιβλιογραφικές αναφορές:
Ο.Ι. Μπεσόβ. Διαλέξεις για τη μαθηματική ανάλυση. Μέρος 1. Μόσχα, 2004.
L.D. Kudryavtsev. Μάθημα μαθηματικής ανάλυσης. Τόμος 1. Μόσχα, 2003.
ΕΚ. Νικόλσκι. Μάθημα μαθηματικής ανάλυσης. Τόμος 1. Μόσχα, 1983.

Υπάρχει άπειρος αριθμός συναρτήσεων στα μαθηματικά. Και το καθένα έχει τον δικό του χαρακτήρα.) Για να εργαστείτε με μια μεγάλη ποικιλία λειτουργιών χρειάζεστε μονόκλινομια προσέγγιση. Αλλιώς, τι είδους μαθηματικά είναι αυτά;!) Και υπάρχει τέτοια προσέγγιση!

Όταν εργαζόμαστε με οποιαδήποτε συνάρτηση, την παρουσιάζουμε με ένα τυπικό σύνολο ερωτήσεων. Και το πρώτο, πιο σημαντικό ερώτημα είναι τομέα ορισμού της συνάρτησης.Μερικές φορές αυτή η περιοχή ονομάζεται το σύνολο των έγκυρων τιμών ορίσματος, η περιοχή για τον καθορισμό μιας συνάρτησης κ.λπ.

Ποιος είναι ο τομέας μιας συνάρτησης; Πώς να το βρείτε; Αυτές οι ερωτήσεις συχνά φαίνονται περίπλοκες και ακατανόητες... Αν και, στην πραγματικότητα, όλα είναι εξαιρετικά απλά. Μπορείτε να δείτε μόνοι σας διαβάζοντας αυτή τη σελίδα. Πηγαίνω;)

Λοιπόν, τι να πω... Απλά σεβασμός.) Ναι! Το φυσικό πεδίο μιας συνάρτησης (το οποίο συζητείται εδώ) σπίρταμε ODZ παραστάσεων που περιλαμβάνονται στη συνάρτηση. Αντίστοιχα, γίνεται αναζήτηση σύμφωνα με τους ίδιους κανόνες.

Τώρα ας δούμε έναν όχι εντελώς φυσικό τομέα ορισμού.)

Πρόσθετοι περιορισμοί στο εύρος μιας λειτουργίας.

Εδώ θα μιλήσουμε για τους περιορισμούς που επιβάλλονται από την εργασία. Εκείνοι. Η εργασία περιέχει ορισμένες πρόσθετες συνθήκες που βρήκε ο μεταγλωττιστής. Ή οι περιορισμοί προκύπτουν από την ίδια τη μέθοδο ορισμού της συνάρτησης.

Όσο για τους περιορισμούς στην εργασία, όλα είναι απλά. Συνήθως, δεν χρειάζεται να αναζητήσετε τίποτα, όλα λέγονται ήδη στην εργασία. Επιτρέψτε μου να σας υπενθυμίσω ότι οι περιορισμοί που έχει γράψει ο συντάκτης της εργασίας δεν ακυρώνονται βασικοί περιορισμοί των μαθηματικών.Απλά πρέπει να θυμάστε να λάβετε υπόψη τις συνθήκες της εργασίας.

Για παράδειγμα, αυτή η εργασία:

Βρείτε τον τομέα μιας συνάρτησης:

στο σύνολο των θετικών αριθμών.

Βρήκαμε το φυσικό πεδίο ορισμού αυτής της συνάρτησης παραπάνω. Αυτή η περιοχή:

D(f)=( -∞ ; -1) ∪ (-1; 2] ∪ ∪

Στη λεκτική μέθοδο για τον καθορισμό μιας συνάρτησης, πρέπει να διαβάσετε προσεκτικά τη συνθήκη και να βρείτε περιορισμούς στα Xs εκεί. Μερικές φορές τα μάτια αναζητούν φόρμουλες, αλλά οι λέξεις σφυρίζουν πέρα ​​από τη συνείδηση ​​ναι...) Παράδειγμα από το προηγούμενο μάθημα:

Η συνάρτηση καθορίζεται από τη συνθήκη: κάθε τιμή του φυσικού ορίσματος x σχετίζεται με το άθροισμα των ψηφίων που συνθέτουν την τιμή του x.

Εδώ πρέπει να σημειωθεί ότι μιλάμε μόνογια τις φυσικές αξίες του Χ. Επειτα Δ(στ)καταγράφηκε άμεσα:

D(f): x ∈ Ν

Όπως μπορείτε να δείτε, ο τομέας μιας συνάρτησης δεν είναι τόσο περίπλοκη έννοια. Η εύρεση αυτής της περιοχής καταλήγει στην εξέταση της συνάρτησης, στη σύνταξη ενός συστήματος ανισοτήτων και στην επίλυση αυτού του συστήματος. Φυσικά, υπάρχουν όλων των ειδών τα συστήματα, απλά και σύνθετα. Αλλά...

Θα σου πω ένα μικρό μυστικό. Μερικές φορές μια συνάρτηση για την οποία πρέπει να βρείτε τον τομέα ορισμού φαίνεται απλά τρομακτική. Θέλω να χλωθώ και να κλάψω.) Μόλις όμως γράψω το σύστημα των ανισοτήτων... Και, ξαφνικά, το σύστημα αποδεικνύεται στοιχειώδες! Επιπλέον, συχνά, όσο πιο τρομερή είναι η λειτουργία, τόσο πιο απλό το σύστημα...

Ηθικό: τα μάτια φοβούνται, το κεφάλι αποφασίζει!)

Πώς να βρείτε τον τομέα μιας συνάρτησης; Οι μαθητές του γυμνασίου συχνά πρέπει να αντιμετωπίσουν αυτό το έργο.

Οι γονείς πρέπει να βοηθήσουν τα παιδιά τους να κατανοήσουν αυτό το ζήτημα.

Καθορισμός συνάρτησης.

Ας θυμηθούμε τους θεμελιώδεις όρους της άλγεβρας. Στα μαθηματικά, συνάρτηση είναι η εξάρτηση μιας μεταβλητής από μια άλλη. Μπορούμε να πούμε ότι πρόκειται για έναν αυστηρό μαθηματικό νόμο που συνδέει δύο αριθμούς με συγκεκριμένο τρόπο.

Στα μαθηματικά, κατά την ανάλυση τύπων, οι αριθμητικές μεταβλητές αντικαθίστανται από αλφαβητικά σύμβολα. Τα πιο συχνά χρησιμοποιούμενα είναι τα x ("x") και y ("y"). Η μεταβλητή x ονομάζεται όρισμα και η μεταβλητή y ονομάζεται εξαρτημένη μεταβλητή ή συνάρτηση του x.

Υπάρχουν διάφοροι τρόποι ορισμού μεταβλητών εξαρτήσεων.

Ας τις απαριθμήσουμε:

1. Αναλυτικός τύπος.
2. Προβολή πίνακα.
3. Γραφική οθόνη.

Η αναλυτική μέθοδος αντιπροσωπεύεται από τον τύπο. Ας δούμε παραδείγματα: y=2x+3, y=log(x), y=sin(x). Ο τύπος y=2x+3 είναι τυπικός για μια γραμμική συνάρτηση. Αντικαθιστώντας την αριθμητική τιμή του ορίσματος στον δεδομένο τύπο, λαμβάνουμε την τιμή του y.

Η μέθοδος του πίνακα είναι ένας πίνακας που αποτελείται από δύο στήλες. Η πρώτη στήλη εκχωρείται για τις τιμές Χ και στην επόμενη στήλη καταγράφονται τα δεδομένα του προγράμματος αναπαραγωγής.

Η γραφική μέθοδος θεωρείται η πιο οπτική. Ένα γράφημα είναι μια απεικόνιση του συνόλου όλων των σημείων σε ένα επίπεδο.

Για την κατασκευή ενός γραφήματος, χρησιμοποιείται ένα καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων. Το σύστημα αποτελείται από δύο κάθετες γραμμές. Πάνω στους άξονες τοποθετούνται πανομοιότυπα τμήματα μονάδας. Η καταμέτρηση γίνεται από το κεντρικό σημείο τομής των ευθειών.

Η ανεξάρτητη μεταβλητή υποδεικνύεται σε οριζόντια γραμμή. Ονομάζεται άξονας τετμημένης. Η κάθετη γραμμή (άξονας y) εμφανίζει την αριθμητική τιμή της εξαρτημένης μεταβλητής. Τα σημεία σημειώνονται στη διασταύρωση των κάθετων σε αυτούς τους άξονες. Συνδέοντας τα σημεία μεταξύ τους, παίρνουμε μια σταθερή γραμμή. Είναι η βάση του χρονοδιαγράμματος.

Τύποι μεταβλητών εξαρτήσεων

Ορισμός.

Γενικά, η εξάρτηση παρουσιάζεται ως εξίσωση: y=f(x). Από τον τύπο προκύπτει ότι για κάθε τιμή του αριθμού x υπάρχει ένας ορισμένος αριθμός y. Η τιμή του παιχνιδιού, που αντιστοιχεί στον αριθμό x, ονομάζεται τιμή της συνάρτησης.

Όλες οι πιθανές τιμές που αποκτά η ανεξάρτητη μεταβλητή αποτελούν τον τομέα ορισμού της συνάρτησης. Αντίστοιχα, ολόκληρο το σύνολο των αριθμών της εξαρτημένης μεταβλητής καθορίζει το εύρος των τιμών της συνάρτησης. Ο τομέας ορισμού είναι όλες οι τιμές του ορίσματος για τις οποίες έχει νόημα η f(x).

Το αρχικό καθήκον στη μελέτη των μαθηματικών νόμων είναι να βρεθεί το πεδίο ορισμού. Αυτός ο όρος πρέπει να οριστεί σωστά. Διαφορετικά, όλοι οι περαιτέρω υπολογισμοί θα είναι άχρηστοι. Εξάλλου, ο όγκος των τιμών διαμορφώνεται με βάση τα στοιχεία του πρώτου συνόλου.

Το εύρος μιας συνάρτησης εξαρτάται άμεσα από τους περιορισμούς. Οι περιορισμοί προκύπτουν από την αδυναμία εκτέλεσης ορισμένων λειτουργιών. Υπάρχουν επίσης όρια στη χρήση αριθμητικών τιμών.

Ελλείψει περιορισμών, το πεδίο ορισμού είναι ολόκληρος ο χώρος των αριθμών. Το σύμβολο του απείρου έχει ένα οριζόντιο σύμβολο οκτώ. Ολόκληρο το σύνολο των αριθμών γράφεται ως εξής: (-∞; ∞).

Σε ορισμένες περιπτώσεις, το σύνολο δεδομένων αποτελείται από πολλά υποσύνολα. Το εύρος των αριθμητικών διαστημάτων ή διαστημάτων εξαρτάται από τον τύπο του νόμου της αλλαγής παραμέτρων.

Ακολουθεί μια λίστα παραγόντων που επηρεάζουν τους περιορισμούς:

• αντιστρόφως αναλογικότητα?
• αριθμητική ρίζα?
• εκθεσιμότητα?
• λογαριθμική εξάρτηση;
• τριγωνομετρικές μορφές.

Εάν υπάρχουν πολλά τέτοια στοιχεία, τότε η αναζήτηση περιορισμών χωρίζεται για καθένα από αυτά. Το μεγαλύτερο πρόβλημα είναι ο εντοπισμός κρίσιμων σημείων και κενών. Η λύση στο πρόβλημα θα είναι να ενωθούν όλα τα αριθμητικά υποσύνολα.

Σύνολο και υποσύνολο αριθμών

Σχετικά με τα σετ.

Το πεδίο ορισμού εκφράζεται ως D(f) και το σύμβολο ένωσης αντιπροσωπεύεται από το σύμβολο ∪. Όλα τα αριθμητικά διαστήματα περικλείονται σε παρένθεση. Εάν το όριο της τοποθεσίας δεν περιλαμβάνεται στο σετ, τότε τοποθετείται ημικυκλικός βραχίονας. Διαφορετικά, όταν ένας αριθμός περιλαμβάνεται σε ένα υποσύνολο, χρησιμοποιούνται αγκύλες.

Η αντίστροφη αναλογικότητα εκφράζεται με τον τύπο y=k/x. Το γράφημα συνάρτησης είναι μια καμπύλη γραμμή που αποτελείται από δύο κλάδους. Συνήθως ονομάζεται υπερβολή.

Εφόσον η συνάρτηση εκφράζεται ως κλάσμα, η εύρεση του πεδίου ορισμού καταλήγει στην ανάλυση του παρονομαστή. Είναι γνωστό ότι στα μαθηματικά απαγορεύεται η διαίρεση με το μηδέν. Η επίλυση του προβλήματος καταλήγει στην εξίσωση του παρονομαστή στο μηδέν και στην εύρεση των ριζών.

Εδώ είναι ένα παράδειγμα:

Δίνεται: y=1/(x+4). Βρείτε το πεδίο ορισμού.

1. Εξισώνουμε τον παρονομαστή με μηδέν.
   x+4=0
2. Εύρεση της ρίζας της εξίσωσης.
   x=-4
3. Ορίζουμε το σύνολο όλων των πιθανών τιμών του ορίσματος.
   D(f)=(-∞ ; -4)∪(-4; +∞)

Απάντηση: Το πεδίο ορισμού της συνάρτησης είναι όλοι οι πραγματικοί αριθμοί εκτός από το -4.

Η τιμή ενός αριθμού κάτω από το πρόσημο της τετραγωνικής ρίζας δεν μπορεί να είναι αρνητική. Σε αυτή την περίπτωση, ο ορισμός μιας συνάρτησης με ρίζα ανάγεται στην επίλυση μιας ανισότητας. Η ριζική έκφραση πρέπει να είναι μεγαλύτερη από το μηδέν.

Η περιοχή προσδιορισμού της ρίζας σχετίζεται με την ισοτιμία του δείκτη ρίζας. Εάν ο δείκτης διαιρείται με το 2, τότε η έκφραση έχει νόημα μόνο εάν είναι θετική. Ένας περιττός αριθμός του δείκτη υποδεικνύει το παραδεκτό οποιασδήποτε τιμής της ριζικής έκφρασης: τόσο θετική όσο και αρνητική.

Οι ανισώσεις λύνονται με τον ίδιο τρόπο όπως οι εξισώσεις. Υπάρχει μόνο μία διαφορά. Αφού πολλαπλασιαστούν και οι δύο πλευρές της ανισότητας με έναν αρνητικό αριθμό, το πρόσημο πρέπει να αντιστραφεί.

Εάν η τετραγωνική ρίζα είναι στον παρονομαστή, τότε πρέπει να επιβληθεί πρόσθετη προϋπόθεση. Η αριθμητική τιμή δεν πρέπει να είναι μηδέν. Η ανισότητα κινείται στην κατηγορία των αυστηρών ανισοτήτων.

Λογαριθμικές και τριγωνομετρικές συναρτήσεις

Η λογαριθμική μορφή έχει νόημα για θετικούς αριθμούς. Έτσι, το πεδίο ορισμού της λογαριθμικής συνάρτησης είναι παρόμοιο με τη συνάρτηση τετραγωνικής ρίζας, εκτός από το μηδέν.

Ας εξετάσουμε ένα παράδειγμα λογαριθμικής εξάρτησης: y=log(2x-6). Βρείτε το πεδίο ορισμού.

• 2x-6>0
• 2x>6
• x>6/2

Απάντηση: (3; +∞).

Το πεδίο ορισμού των y=sin x και y=cos x είναι το σύνολο όλων των πραγματικών αριθμών. Υπάρχουν περιορισμοί για την εφαπτομένη και την συνεφαπτομένη. Συνδέονται με τη διαίρεση με το συνημίτονο ή το ημίτονο μιας γωνίας.

Η εφαπτομένη μιας γωνίας καθορίζεται από τον λόγο ημιτόνου προς συνημίτονο. Ας υποδείξουμε τις τιμές γωνίας στις οποίες δεν υπάρχει η τιμή της εφαπτομένης. Η συνάρτηση y=tg x έχει νόημα για όλες τις τιμές του ορίσματος εκτός από x=π/2+πn, n∈Z.

Το πεδίο ορισμού της συνάρτησης y=ctg x είναι ολόκληρο το σύνολο των πραγματικών αριθμών, εξαιρουμένων των x=πn, n∈Z. Αν το όρισμα είναι ίσο με τον αριθμό π ή πολλαπλάσιο του π, το ημίτονο της γωνίας είναι μηδέν. Σε αυτά τα σημεία (ασύμπτωτα) η συνεφαπτομένη δεν μπορεί να υπάρξει.

Οι πρώτες εργασίες για τον προσδιορισμό του τομέα ορισμού ξεκινούν στα μαθήματα στην 7η τάξη. Όταν εισαχθεί για πρώτη φορά σε αυτό το τμήμα της άλγεβρας, ο μαθητής πρέπει να κατανοήσει ξεκάθαρα το θέμα.

Σημειώνεται ότι ο όρος αυτός θα συνοδεύει τον μαθητή και στη συνέχεια τον μαθητή καθ' όλη τη διάρκεια της φοίτησης.