Μοντελοποίηση δυναμικών συστημάτων (μέθοδος Lagrange και προσέγγιση γραφήματος Bond). Μέθοδος Lagrange (μέθοδος μεταβολής αυθαίρετων σταθερών)

Θεωρήστε μια γραμμική ανομοιογενή διαφορική εξίσωση πρώτης τάξης:
(1) .
Υπάρχουν τρεις τρόποι για να λυθεί αυτή η εξίσωση:

• μέθοδος μεταβολής σταθεράς (Lagrange).

Ας εξετάσουμε τη λύση μιας γραμμικής διαφορικής εξίσωσης πρώτης τάξης με τη μέθοδο Lagrange.

Μέθοδος μεταβολής σταθεράς (Lagrange)

Στη μέθοδο παραλλαγής σταθεράς λύνουμε την εξίσωση σε δύο βήματα. Στο πρώτο βήμα, απλοποιούμε την αρχική εξίσωση και λύνουμε μια ομοιογενή εξίσωση. Στο δεύτερο στάδιο, αντικαθιστούμε τη σταθερά ολοκλήρωσης που προκύπτει στο πρώτο στάδιο της λύσης με μια συνάρτηση. Στη συνέχεια αναζητούμε μια γενική λύση στην αρχική εξίσωση.

Θεωρήστε την εξίσωση:
(1)

Βήμα 1 Επίλυση ομοιογενούς εξίσωσης

Αναζητούμε λύση στην ομοιογενή εξίσωση:

Αυτή είναι μια διαχωρίσιμη εξίσωση

Διαχωρίζουμε τις μεταβλητές - πολλαπλασιάζουμε με dx, διαιρούμε με y:

Ας ενσωματώσουμε:

Ολοκληρωμένο πάνω από y - πίνακας:

Επειτα

Ας τονίσουμε:

Ας αντικαταστήσουμε τη σταθερά e C με C και ας αφαιρέσουμε το πρόσημο του συντελεστή, το οποίο καταλήγει στον πολλαπλασιασμό με μια σταθερά ±1, που θα συμπεριλάβουμε στο C:

Βήμα 2 Αντικαταστήστε τη σταθερά C με τη συνάρτηση

Τώρα ας αντικαταστήσουμε τη σταθερά C με μια συνάρτηση x:
C → u (Χ)
Δηλαδή, θα αναζητήσουμε λύση στην αρχική εξίσωση (1) όπως και:
(2)
Εύρεση της παραγώγου.

Σύμφωνα με τον κανόνα διαφοροποίησης μιας σύνθετης συνάρτησης:
.
Σύμφωνα με τον κανόνα διαφοροποίησης προϊόντων:

.
Αντικαταστήστε στην αρχική εξίσωση (1) :
(1) ;

.
Δύο μέλη μειώνονται:
;
.
Ας ενσωματώσουμε:
.
Αντικατάσταση σε (2) :
.
Ως αποτέλεσμα, λαμβάνουμε μια γενική λύση σε μια γραμμική διαφορική εξίσωση πρώτης τάξης:
.

Ένα παράδειγμα επίλυσης μιας γραμμικής διαφορικής εξίσωσης πρώτης τάξης με τη μέθοδο Lagrange

Λύστε την εξίσωση

Λύση

Λύνουμε την ομοιογενή εξίσωση:

Διαχωρίζουμε τις μεταβλητές:

Πολλαπλασιασμός με:

Ας ενσωματώσουμε:

Πίνακας ολοκληρώματα:

Ας τονίσουμε:

Ας αντικαταστήσουμε τη σταθερά e C με C και ας αφαιρέσουμε τα πρόσημα του συντελεστή:

Από εδώ:

Ας αντικαταστήσουμε τη σταθερά C με μια συνάρτηση του x:
C → u (Χ)

Εύρεση της παραγώγου:
.
Αντικαταστήστε στην αρχική εξίσωση:
;
;
Ή:
;
.
Ας ενσωματώσουμε:
;
Λύση της εξίσωσης:
.

Ταξινόμηση προβλημάτων μαθηματικού προγραμματισμού

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ

ΜΕΘΟΔΟΙ ΕΠΙΛΥΣΗΣ ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ

Ερωτήσεις δοκιμής για την ενότητα 4

Σχέδιο για την επίλυση του προβλήματος των μεταφορών

Ας απαριθμήσουμε τα κύρια στάδια επίλυσης του προβλήματος των μεταφορών.

1. Ελέγξτε την κλειστή κατάσταση. Εάν η εργασία είναι ανοιχτή, ο πίνακας μεταφοράς συμπληρώνεται είτε με μια στήλη πλασματικού σημείου κατανάλωσης είτε με μια σειρά πλασματικού προμηθευτή.

2. Κατασκευάστε ένα σχέδιο αναφοράς.

3. Ελέγξτε το σχέδιο υποστήριξης για μη εκφυλισμό. Εάν δεν υπάρχει αρκετό κατειλημμένο κελί για να ικανοποιηθεί η συνθήκη μη εκφυλισμού, ένα από τα κελιά του πίνακα μεταφοράς γεμίζει με παροχή ίση με μηδέν. Εάν είναι απαραίτητο, επιτρέπεται η καταγραφή μηδενικών παραδόσεων σε πολλά κελιά.

4. Το σχέδιο ελέγχεται ως προς τη βέλτιστη.

5. Εάν δεν πληρούνται οι προϋποθέσεις βελτιστοποίησης, προχωρήστε στο επόμενο σχέδιο ανακατανέμοντας τις προμήθειες. Η υπολογιστική διαδικασία επαναλαμβάνεται μέχρι να επιτευχθεί το βέλτιστο σχέδιο.

1. Ποια είναι η έννοια της αντικειμενικής συνάρτησης στο μαθηματικό μοντέλο του προβλήματος μεταφοράς;

2.Ποια είναι η έννοια των περιορισμών στο μαθηματικό μοντέλο του προβλήματος των μεταφορών;

3. Είναι δυνατόν να εφαρμοστεί η πιθανή μέθοδος για την επίλυση ενός ανοιχτού (μη κλειστού) προβλήματος μεταφοράς;

4.Ποιες αλλαγές πρέπει να γίνουν στον αρχικό πίνακα μεταφοράς ώστε το πρόβλημα να λυθεί με την πιθανή μέθοδο;

5. Ποια είναι η ουσία της μεθόδου ελάχιστου στοιχείου; Ποιο στάδιο επίλυσης του μεταφορικού προβλήματος θα ολοκληρωθεί ως αποτέλεσμα της εφαρμογής αυτής της μεθόδου;

6. Πώς ξέρετε εάν το σχέδιο μεταφοράς είναι το βέλτιστο;

7. Σε ποια περίπτωση και πώς είναι απαραίτητη η ανακατανομή των προμηθειών όσον αφορά τη μεταφορά;

8. Ας υποθέσουμε ότι το κατασκευασμένο σχέδιο μεταφοράς είναι εκφυλισμένο. Είναι δυνατόν να συνεχιστεί η επίλυση του προβλήματος χρησιμοποιώντας την πιθανή μέθοδο και τι πρέπει να γίνει για αυτό;

Το γενικό πρόβλημα μαθηματικού προγραμματισμού διατυπώθηκε στην Ενότητα 1.1. Ανάλογα με τον τύπο των συναρτήσεων που περιλαμβάνονται στο μοντέλο (1.1)-(1.3), το πρόβλημα ταξινομείται ως ένας ή ο άλλος τύπος μαθηματικού προγραμματισμού. Υπάρχουν γραμμικός προγραμματισμός (όλες οι συναρτήσεις είναι γραμμικές), ακέραιος (η λύση αντιπροσωπεύεται από ακέραιους αριθμούς), τετραγωνικός (η αντικειμενική συνάρτηση είναι τετραγωνική μορφή), μη γραμμικός (τουλάχιστον μία από τις συναρτήσεις του προβλήματος είναι μη γραμμική) και στοχαστικός προγραμματισμός ( περιλαμβάνονται παράμετροι που έχουν πιθανολογικό χαρακτήρα).

Η κατηγορία των προβλημάτων μη γραμμικού προγραμματισμού είναι ευρύτερη από την κατηγορία των γραμμικών μοντέλων. Για παράδειγμα, το κόστος παραγωγής στις περισσότερες περιπτώσεις δεν είναι ανάλογο με τον όγκο της παραγωγής, αλλά εξαρτάται από αυτό μη γραμμικά, το εισόδημα από την πώληση προϊόντων παραγωγής αποδεικνύεται ότι είναι μια μη γραμμική συνάρτηση των τιμών κ.λπ. Τα κριτήρια στα προβλήματα βέλτιστου σχεδιασμού είναι συχνά το μέγιστο κέρδος, το ελάχιστο κόστος και το ελάχιστο κόστος κεφαλαίου. Οι μεταβλητές ποσότητες είναι οι όγκοι παραγωγής διαφόρων τύπων προϊόντων. Οι περιορισμοί περιλαμβάνουν λειτουργίες παραγωγής που χαρακτηρίζουν τη σχέση μεταξύ της παραγωγής προϊόντος και του κόστους της εργασίας και των υλικών πόρων, ο όγκος των οποίων είναι περιορισμένος.

Σε αντίθεση με τον γραμμικό προγραμματισμό, ο οποίος χρησιμοποιεί μια καθολική μέθοδο λύσης (η μέθοδος simplex), για την επίλυση μη γραμμικών προβλημάτων υπάρχει μια ολόκληρη σειρά μεθόδων ανάλογα με τη μορφή των συναρτήσεων που περιλαμβάνονται στο μοντέλο. Από την ποικιλία των μεθόδων, θα εξετάσουμε μόνο δύο: τη μέθοδο Lagrange και τη μέθοδο δυναμικού προγραμματισμού.

ΜΕΗ ουσία της μεθόδου Lagrange είναι η μείωση του προβλήματος του ακραίου υπό όρους στην επίλυση του προβλήματος του ακραίου χωρίς όρους. Εξετάστε το μοντέλο μη γραμμικού προγραμματισμού:

(5.2)

Οπου – γνωστές λειτουργίες,

ΕΝΑ – δεδομένους συντελεστές.

Σημειώστε ότι σε αυτή τη διατύπωση του προβλήματος, οι περιορισμοί καθορίζονται από ισότητες και δεν υπάρχει προϋπόθεση οι μεταβλητές να είναι μη αρνητικές. Επιπλέον, πιστεύουμε ότι οι λειτουργίες είναι συνεχείς με τις πρώτες μερικές παραγώγους τους.

Ας μετατρέψουμε τις συνθήκες (5.2) έτσι ώστε στην αριστερή ή δεξιά πλευρά των ισοτήτων να υπάρχει μηδέν:

(5.3)

Ας συνθέσουμε τη συνάρτηση Lagrange. Περιλαμβάνει την αντικειμενική συνάρτηση (5.1) και τις δεξιές πλευρές των περιορισμών (5.3), που λαμβάνονται αντίστοιχα με τους συντελεστές . Θα υπάρχουν τόσοι συντελεστές Lagrange όσοι και περιορισμοί στο πρόβλημα.

Τα ακραία σημεία της συνάρτησης (5.4) είναι τα ακραία σημεία του αρχικού προβλήματος και αντίστροφα: το βέλτιστο σχέδιο προβλήματος (5.1)-(5.2) είναι το παγκόσμιο ακρότατο σημείο της συνάρτησης Lagrange.

Πράγματι, ας βρεθεί μια λύση προβλήματα (5.1)-(5.2), τότε οι προϋποθέσεις (5.3) ικανοποιούνται. Ας αντικαταστήσουμε το σχέδιο στη συνάρτηση (5.4) και επαληθεύστε την εγκυρότητα της ισότητας (5.5).

Έτσι, για να βρεθεί το βέλτιστο σχέδιο για το αρχικό πρόβλημα, είναι απαραίτητο να εξεταστεί η συνάρτηση Lagrange για το άκρο. Η συνάρτηση έχει ακραίες τιμές σε σημεία όπου οι μερικές παράγωγοί της είναι ίσες μηδέν. Τέτοια σημεία λέγονται ακίνητος.

Ας ορίσουμε τις μερικές παραγώγους της συνάρτησης (5.4)

,

.

Μετά την ισοφάριση μηδένπαράγωγα παίρνουμε το σύστημα m+nεξισώσεις με m+nάγνωστος

, (5.6)

Στη γενική περίπτωση, το σύστημα (5.6)-(5.7) θα έχει πολλές λύσεις, οι οποίες θα περιλαμβάνουν όλα τα μέγιστα και ελάχιστα της συνάρτησης Lagrange. Για να τονιστεί το συνολικό μέγιστο ή ελάχιστο, οι τιμές της αντικειμενικής συνάρτησης υπολογίζονται σε όλα τα σημεία που βρέθηκαν. Η μεγαλύτερη από αυτές τις τιμές θα είναι το καθολικό μέγιστο και η μικρότερη θα είναι το συνολικό ελάχιστο. Σε ορισμένες περιπτώσεις είναι δυνατή η χρήση επαρκείς προϋποθέσεις για ένα αυστηρό εξτρέμσυνεχείς συναρτήσεις (βλ. Πρόβλημα 5.2 παρακάτω):

ας είναι η συνάρτηση συνεχής και δύο φορές διαφορίσιμη σε κάποια γειτονιά του ακίνητου σημείου της (δηλ. )). Επειτα:

ΕΝΑ) Αν ,(5.8)

τότε είναι το σημείο αυστηρού μέγιστου της συνάρτησης.

σι)Αν ,(5.9)

τότε είναι το αυστηρό ελάχιστο σημείο της συνάρτησης.

σολ ) Αν ,

τότε το ζήτημα της παρουσίας ενός εξτρέμ παραμένει ανοιχτό.

Επιπλέον, ορισμένες λύσεις του συστήματος (5.6)-(5.7) μπορεί να είναι αρνητικές. Κάτι που δεν συνάδει με την οικονομική σημασία των μεταβλητών. Σε αυτήν την περίπτωση, θα πρέπει να εξετάσετε το ενδεχόμενο να αντικαταστήσετε τις αρνητικές τιμές με μηδενικές τιμές.

Οικονομική σημασία των πολλαπλασιαστών Lagrange.Βέλτιστη τιμή πολλαπλασιαστή δείχνει πόσο θα αλλάξει η τιμή του κριτηρίου Ζόταν ο πόρος αυξάνεται ή μειώνεται ικατά μία μονάδα, αφού

Η μέθοδος Lagrange μπορεί επίσης να χρησιμοποιηθεί στην περίπτωση που οι περιορισμοί είναι ανισότητες. Έτσι, βρίσκοντας το άκρο της συνάρτησης υπο προυποθεσεις

,

πραγματοποιούνται σε διάφορα στάδια:

1. Να προσδιορίσετε ακίνητα σημεία της αντικειμενικής συνάρτησης, για τα οποία λύνουν σύστημα εξισώσεων

.

2. Από τα ακίνητα σημεία επιλέξτε εκείνα των οποίων οι συντεταγμένες ικανοποιούν τις προϋποθέσεις

3. Χρησιμοποιώντας τη μέθοδο Lagrange, λύστε το πρόβλημα με περιορισμούς ισότητας (5.1)-(5.2).

4. Τα σημεία που βρέθηκαν στο δεύτερο και το τρίτο στάδιο εξετάζονται για το συνολικό μέγιστο: συγκρίνονται οι τιμές της αντικειμενικής συνάρτησης σε αυτά τα σημεία - η μεγαλύτερη τιμή αντιστοιχεί στο βέλτιστο σχέδιο.

Πρόβλημα 5.1Ας λύσουμε το πρόβλημα 1.3, που εξετάστηκε στην πρώτη ενότητα, χρησιμοποιώντας τη μέθοδο Lagrange. Η βέλτιστη κατανομή των υδάτινων πόρων περιγράφεται από ένα μαθηματικό μοντέλο

.

Ας συνθέσουμε τη συνάρτηση Lagrange

Ας βρούμε το άνευ όρων μέγιστο αυτής της συνάρτησης. Για να γίνει αυτό, υπολογίζουμε τις μερικές παραγώγους και τις εξισώνουμε με μηδέν

,

Έτσι, αποκτήσαμε ένα σύστημα γραμμικών εξισώσεων της μορφής

Η λύση στο σύστημα των εξισώσεων αντιπροσωπεύει ένα βέλτιστο σχέδιο για την κατανομή των υδάτινων πόρων στις αρδευόμενες περιοχές

Οι τιμές μετρώνται σε εκατοντάδες χιλιάδες κυβικά μέτρα. - το ποσό του καθαρού εισοδήματος ανά εκατό χιλιάδες κυβικά μέτρα νερού άρδευσης. Επομένως, η οριακή τιμή του 1 m 3 νερού άρδευσης είναι ίση με φωλιά. μονάδες

Το μέγιστο πρόσθετο καθαρό εισόδημα από την άρδευση θα είναι

160·12,26 2 +7600·12,26-130·8,55 2 +5900·8,55-10·16,19 2 +4000·16,19=

172391.02 (π.μ. μονάδες)

Πρόβλημα 5.2Επίλυση ενός προβλήματος μη γραμμικού προγραμματισμού

Ας αναπαραστήσουμε τον περιορισμό στη μορφή:

.

Ας συνθέσουμε τη συνάρτηση Lagrange και ας προσδιορίσουμε τις μερικές παράγωγές της

.

Για τον προσδιορισμό των ακίνητων σημείων της συνάρτησης Lagrange, οι μερικές παράγωγοί της πρέπει να ισούνται με μηδέν. Ως αποτέλεσμα, παίρνουμε ένα σύστημα εξισώσεων

Σύντομη θεωρία

Η μέθοδος πολλαπλασιαστή Lagrange είναι μια κλασική μέθοδος για την επίλυση προβλημάτων μαθηματικού προγραμματισμού (ιδίως κυρτών). Δυστυχώς, η πρακτική εφαρμογή της μεθόδου μπορεί να συναντήσει σημαντικές υπολογιστικές δυσκολίες, περιορίζοντας το εύρος της χρήσης της. Θεωρούμε εδώ τη μέθοδο Lagrange κυρίως επειδή είναι μια συσκευή που χρησιμοποιείται ενεργά για να τεκμηριώσει διάφορες σύγχρονες αριθμητικές μεθόδους που χρησιμοποιούνται ευρέως στην πράξη. Όσον αφορά τη συνάρτηση Lagrange και τους πολλαπλασιαστές Lagrange, παίζουν έναν ανεξάρτητο και εξαιρετικά σημαντικό ρόλο στη θεωρία και τις εφαρμογές όχι μόνο του μαθηματικού προγραμματισμού.

Εξετάστε ένα κλασικό πρόβλημα βελτιστοποίησης:

Μεταξύ των περιορισμών αυτού του προβλήματος δεν υπάρχουν ανισότητες, δεν υπάρχουν προϋποθέσεις για τη μη αρνητικότητα των μεταβλητών, τη διακριτότητά τους και οι συναρτήσεις είναι συνεχείς και έχουν μερικές παραγώγους τουλάχιστον δεύτερης τάξης.

Η κλασική προσέγγιση για την επίλυση του προβλήματος παρέχει ένα σύστημα εξισώσεων (απαραίτητες προϋποθέσεις) που πρέπει να ικανοποιούνται από το σημείο που παρέχει στη συνάρτηση ένα τοπικό άκρο στο σύνολο των σημείων που ικανοποιούν τους περιορισμούς (για ένα κυρτό πρόβλημα προγραμματισμού, το σημείο που βρέθηκε θα είναι επίσης το παγκόσμιο ακραίο σημείο).

Ας υποθέσουμε ότι σε ένα σημείο η συνάρτηση (1) έχει ένα τοπικό ακρότατο υπό όρους και η κατάταξη του πίνακα είναι ίση με . Στη συνέχεια, οι απαραίτητες προϋποθέσεις θα γραφούν στη μορφή:

Υπάρχει μια συνάρτηση Lagrange. – Πολλαπλασιαστές Lagrange.

Υπάρχουν επίσης επαρκείς συνθήκες υπό τις οποίες η λύση του συστήματος των εξισώσεων (3) καθορίζει το ακραίο σημείο της συνάρτησης. Αυτό το ερώτημα επιλύεται με βάση τη μελέτη του πρόσημου του δεύτερου διαφορικού της συνάρτησης Lagrange. Ωστόσο, οι επαρκείς προϋποθέσεις έχουν κυρίως θεωρητικό ενδιαφέρον.

Μπορείτε να καθορίσετε την ακόλουθη διαδικασία για την επίλυση του προβλήματος (1), (2) χρησιμοποιώντας τη μέθοδο πολλαπλασιαστή Lagrange:

1) συνθέστε τη συνάρτηση Lagrange (4).

2) βρείτε τις μερικές παραγώγους της συνάρτησης Lagrange σε σχέση με όλες τις μεταβλητές και εξισώστε τις

μηδέν. Έτσι, θα προκύψει ένα σύστημα (3), που αποτελείται από εξισώσεις Λύστε το προκύπτον σύστημα (αν αυτό αποδειχθεί ότι είναι δυνατό!) και έτσι βρείτε όλα τα ακίνητα σημεία της συνάρτησης Lagrange.

3) από σταθερά σημεία που λαμβάνονται χωρίς συντεταγμένες, επιλέξτε σημεία στα οποία η συνάρτηση έχει υπό όρους τοπικά άκρα παρουσία περιορισμών (2). Αυτή η επιλογή γίνεται, για παράδειγμα, χρησιμοποιώντας επαρκείς συνθήκες για ένα τοπικό εξτρέμ. Συχνά η μελέτη απλοποιείται εάν χρησιμοποιούνται συγκεκριμένες συνθήκες του προβλήματος.

Παράδειγμα λύσης προβλήματος

Το έργο

Η εταιρεία παράγει δύο είδη αγαθών σε ποσότητες και . Η συνάρτηση χρήσιμου κόστους καθορίζεται από τη σχέση. Οι τιμές των αγαθών αυτών στην αγορά είναι ίσες και αναλόγως.

Προσδιορίστε σε ποιους όγκους παραγωγής επιτυγχάνεται το μέγιστο κέρδος και με τι είναι ίσο εάν το συνολικό κόστος δεν υπερβαίνει

Δυσκολεύεστε να κατανοήσετε την πρόοδο μιας απόφασης; Ο ιστότοπος προσφέρει μια υπηρεσία Επίλυση προβλημάτων χρησιμοποιώντας μεθόδους βέλτιστων λύσεων κατά παραγγελία

Η λύση του προβλήματος

Οικονομικό και μαθηματικό μοντέλο του προβλήματος

Λειτουργία κέρδους:

Περιορισμοί κόστους:

Παίρνουμε το ακόλουθο οικονομικό και μαθηματικό μοντέλο:

Επιπλέον, σύμφωνα με το νόημα της εργασίας

Μέθοδος πολλαπλασιαστή Lagrange

Ας συνθέσουμε τη συνάρτηση Lagrange:

Βρίσκουμε τα μερικά παράγωγα 1ης τάξης:

Ας δημιουργήσουμε και ας λύσουμε ένα σύστημα εξισώσεων:

Από τότε

Μέγιστο κέρδος:

Απάντηση

Έτσι, είναι απαραίτητο να απελευθερωθεί η τροφή. εμπορεύματα 1ου τύπου και μονάδες. εμπορεύματα 2ου τύπου. Σε αυτή την περίπτωση, το κέρδος θα είναι μέγιστο και θα ανέρχεται σε 270.
Δίνεται ένα παράδειγμα επίλυσης προβλήματος τετραγωνικού κυρτού προγραμματισμού με χρήση γραφικής μεθόδου.

Επίλυση γραμμικού προβλήματος με γραφική μέθοδο
Εξετάζεται μια γραφική μέθοδος για την επίλυση ενός προβλήματος γραμμικού προγραμματισμού (LPP) με δύο μεταβλητές. Χρησιμοποιώντας το παράδειγμα ενός προβλήματος, δίνεται μια λεπτομερής περιγραφή της κατασκευής ενός σχεδίου και της εύρεσης λύσης.

Το μοντέλο διαχείρισης αποθεμάτων του Wilson
Χρησιμοποιώντας το παράδειγμα επίλυσης του προβλήματος, εξετάζεται το βασικό μοντέλο διαχείρισης αποθεμάτων (μοντέλο Wilson). Υπολογίστηκαν δείκτες μοντέλων όπως το βέλτιστο μέγεθος παρτίδας παραγγελίας, το ετήσιο κόστος αποθήκευσης, το διάστημα μεταξύ των παραδόσεων και το σημείο τοποθέτησης της παραγγελίας.

Πίνακας αναλογίας άμεσου κόστους και πίνακας εισροών-εκροών
Χρησιμοποιώντας το παράδειγμα της επίλυσης ενός προβλήματος, εξετάζεται το διατομεακό μοντέλο του Λεοντίεφ. Εμφανίζεται ο υπολογισμός του πίνακα των συντελεστών του άμεσου κόστους υλικών, του πίνακα «εισροών-εκροών», του πίνακα των συντελεστών του έμμεσου κόστους, των διανυσμάτων τελικής κατανάλωσης και της ακαθάριστης παραγωγής.

Μέθοδος πολλαπλασιαστή Lagrange.

Η μέθοδος πολλαπλασιαστή Lagrange είναι μια από τις μεθόδους που σας επιτρέπει να λύσετε προβλήματα μη γραμμικού προγραμματισμού.

Ο μη γραμμικός προγραμματισμός είναι ένας κλάδος του μαθηματικού προγραμματισμού που μελετά μεθόδους για την επίλυση ακραίων προβλημάτων με μια μη γραμμική αντικειμενική συνάρτηση και μια περιοχή εφικτών λύσεων που ορίζονται από μη γραμμικούς περιορισμούς. Στα οικονομικά, αυτό αντιστοιχεί στο γεγονός ότι τα αποτελέσματα (αποτελεσματικότητα) αυξάνονται ή μειώνονται δυσανάλογα με τις αλλαγές στην κλίμακα χρήσης των πόρων (ή, το ίδιο, στην κλίμακα παραγωγής): για παράδειγμα, λόγω της κατανομής του κόστους παραγωγής σε επιχειρήσεις σε μεταβλητές και ημι-σταθερές· λόγω κορεσμού της ζήτησης για αγαθά, όταν κάθε επόμενη μονάδα είναι πιο δύσκολο να πουληθεί από την προηγούμενη κ.λπ.

Το πρόβλημα του μη γραμμικού προγραμματισμού τίθεται ως το πρόβλημα της εύρεσης του βέλτιστου μιας συγκεκριμένης αντικειμενικής συνάρτησης

F(x 1,…x n), φά (Χ) → μέγ

όταν πληρούνται οι προϋποθέσεις

g j (x 1 ,…x n)≥0, σολ (Χ) ≤ σι , Χ ≥ 0

Οπου Χ-διάνυσμα των απαιτούμενων μεταβλητών.

φά (Χ) -αντικειμενική λειτουργία;

σολ (Χ) - συνάρτηση περιορισμού (συνεχώς διαφοροποιήσιμη).

σι - διάνυσμα σταθερών περιορισμών.

Η λύση σε ένα πρόβλημα μη γραμμικού προγραμματισμού (συνολικό μέγιστο ή ελάχιστο) μπορεί να ανήκει είτε στο όριο είτε στο εσωτερικό του αποδεκτού συνόλου.

Σε αντίθεση με ένα πρόβλημα γραμμικού προγραμματισμού, σε ένα πρόβλημα μη γραμμικού προγραμματισμού το βέλτιστο δεν βρίσκεται απαραίτητα στο όριο της περιοχής που ορίζεται από τους περιορισμούς. Με άλλα λόγια, το καθήκον είναι να επιλέξετε τέτοιες μη αρνητικές τιμές μεταβλητών, που υπόκεινται σε ένα σύστημα περιορισμών με τη μορφή ανισοτήτων, κάτω από το οποίο επιτυγχάνεται το μέγιστο (ή το ελάχιστο) μιας δεδομένης συνάρτησης. Στην περίπτωση αυτή δεν προσδιορίζονται οι μορφές ούτε της αντικειμενικής συνάρτησης ούτε των ανισοτήτων. Μπορεί να υπάρχουν διαφορετικές περιπτώσεις: η αντικειμενική συνάρτηση είναι μη γραμμική, αλλά οι περιορισμοί είναι γραμμικοί. η αντικειμενική συνάρτηση είναι γραμμική και οι περιορισμοί (τουλάχιστον ένας από αυτούς) είναι μη γραμμικοί. τόσο η αντικειμενική συνάρτηση όσο και οι περιορισμοί είναι μη γραμμικοί.

Το πρόβλημα του μη γραμμικού προγραμματισμού βρίσκεται στις φυσικές επιστήμες, τη μηχανική, τα οικονομικά, τα μαθηματικά, τις επιχειρηματικές σχέσεις και την κυβέρνηση.

Ο μη γραμμικός προγραμματισμός, για παράδειγμα, σχετίζεται με ένα βασικό οικονομικό πρόβλημα. Έτσι, στο πρόβλημα της κατανομής περιορισμένων πόρων, είτε η αποδοτικότητα είτε, εάν μελετάται ο καταναλωτής, η κατανάλωση μεγιστοποιείται παρουσία περιορισμών που εκφράζουν τις συνθήκες σπανιότητας πόρων. Σε μια τέτοια γενική διατύπωση, η μαθηματική διατύπωση του προβλήματος μπορεί να είναι αδύνατη, αλλά σε συγκεκριμένες εφαρμογές η ποσοτική μορφή όλων των συναρτήσεων μπορεί να προσδιοριστεί άμεσα. Για παράδειγμα, μια βιομηχανική επιχείρηση παράγει πλαστικά προϊόντα. Η παραγωγική αποδοτικότητα εδώ μετριέται με το κέρδος και οι περιορισμοί ερμηνεύονται ως διαθέσιμη εργασία, χώρος παραγωγής, παραγωγικότητα εξοπλισμού κ.λπ.

Η μέθοδος κόστους-αποτελεσματικότητας εντάσσεται επίσης στο σχήμα μη γραμμικού προγραμματισμού. Αυτή η μέθοδος αναπτύχθηκε για χρήση στη λήψη αποφάσεων στην κυβέρνηση. Μια κοινή λειτουργία της αποτελεσματικότητας είναι η ευημερία. Εδώ προκύπτουν δύο προβλήματα μη γραμμικού προγραμματισμού: το πρώτο είναι η μεγιστοποίηση του αποτελέσματος με περιορισμένο κόστος, το δεύτερο είναι η ελαχιστοποίηση του κόστους υπό την προϋπόθεση ότι το αποτέλεσμα είναι πάνω από ένα ορισμένο ελάχιστο επίπεδο. Αυτό το πρόβλημα συνήθως μοντελοποιείται καλά χρησιμοποιώντας μη γραμμικό προγραμματισμό.

Τα αποτελέσματα της επίλυσης ενός προβλήματος μη γραμμικού προγραμματισμού είναι χρήσιμα στη λήψη κυβερνητικών αποφάσεων. Η λύση που προκύπτει, φυσικά, συνιστάται, επομένως είναι απαραίτητο να εξεταστούν οι υποθέσεις και η ακρίβεια του προβλήματος του μη γραμμικού προγραμματισμού πριν ληφθεί μια τελική απόφαση.

Τα μη γραμμικά προβλήματα είναι πολύπλοκα, συχνά απλοποιούνται οδηγώντας σε γραμμικά. Για να γίνει αυτό, θεωρείται συμβατικά ότι σε μια συγκεκριμένη περιοχή η αντικειμενική συνάρτηση αυξάνεται ή μειώνεται ανάλογα με την αλλαγή στις ανεξάρτητες μεταβλητές. Αυτή η προσέγγιση ονομάζεται μέθοδος τμηματικών γραμμικών προσεγγίσεων, ωστόσο, είναι εφαρμόσιμη μόνο σε ορισμένους τύπους μη γραμμικών προβλημάτων.

Τα μη γραμμικά προβλήματα υπό ορισμένες συνθήκες επιλύονται χρησιμοποιώντας τη συνάρτηση Lagrange: με την εύρεση του σημείου σέλας, η λύση στο πρόβλημα βρίσκεται έτσι. Μεταξύ των υπολογιστικών αλγορίθμων για επιστημονική έρευνα, μεγάλη θέση κατέχουν οι μέθοδοι gradient. Δεν υπάρχει καθολική μέθοδος για μη γραμμικά προβλήματα και, προφανώς, μπορεί να μην υπάρχει, καθώς είναι εξαιρετικά διαφορετικά. Τα πολυακραία προβλήματα είναι ιδιαίτερα δύσκολο να επιλυθούν.

Μία από τις μεθόδους που σας επιτρέπει να μειώσετε ένα πρόβλημα μη γραμμικού προγραμματισμού στην επίλυση ενός συστήματος εξισώσεων είναι η μέθοδος Lagrange των αόριστων πολλαπλασιαστών.

Χρησιμοποιώντας τη μέθοδο του πολλαπλασιαστή Lagrange, θεσπίζονται ουσιαστικά οι απαραίτητες συνθήκες για να επιτραπεί ο εντοπισμός των βέλτιστων σημείων σε προβλήματα βελτιστοποίησης με περιορισμούς ισότητας. Σε αυτήν την περίπτωση, το περιορισμένο πρόβλημα μετατρέπεται σε ένα ισοδύναμο πρόβλημα βελτιστοποίησης χωρίς όρους, το οποίο περιλαμβάνει ορισμένες άγνωστες παραμέτρους που ονομάζονται πολλαπλασιαστές Lagrange.

Η μέθοδος πολλαπλασιαστή Lagrange συνίσταται στη μείωση των προβλημάτων σε ένα ακρότατο υπό όρους σε προβλήματα στο ακρότατο άνευ όρων μιας βοηθητικής συνάρτησης - το λεγόμενο. Λειτουργίες Lagrange.

Για το πρόβλημα του άκρου μιας συνάρτησης φά(x 1, x 2,..., x n) υπό τις συνθήκες (εξισώσεις περιορισμού) φ Εγώ(x 1 , x 2 , ..., x n) = 0, Εγώ= 1, 2,..., Μ, η συνάρτηση Lagrange έχει τη μορφή

L(x 1, x 2… x n, λ 1, λ 2,…λm)=f(x 1, x 2… x n)+∑ i -1 m λ i φ i (x 1, x 2… x n)

Πολλαπλασιαστές λ 1 , λ 2 , ..., λmπου ονομάζεται Πολλαπλασιαστές Lagrange.

Αν οι τιμές x 1 , x 2 , ..., x n , λ 1 , λ 2 , ..., λmη ουσία των λύσεων στις εξισώσεις που καθορίζουν τα ακίνητα σημεία της συνάρτησης Lagrange, δηλαδή, για διαφοροποιήσιμες συναρτήσεις είναι λύσεις στο σύστημα εξισώσεων

τότε κάτω από αρκετά γενικές παραδοχές x 1 , x 2 , ..., x n παρέχουν ένα άκρο της συνάρτησης f.

Εξετάστε το πρόβλημα της ελαχιστοποίησης μιας συνάρτησης n μεταβλητών που υπόκεινται σε έναν περιορισμό με τη μορφή ισότητας:

Ελαχιστοποίηση f(x 1, x 2… x n) (1)

υπό περιορισμούς h 1 (x 1, x 2… x n)=0 (2)

Σύμφωνα με τη μέθοδο του πολλαπλασιαστή Lagrange, αυτό το πρόβλημα μετατρέπεται στο ακόλουθο πρόβλημα βελτιστοποίησης χωρίς περιορισμούς:

ελαχιστοποίηση L(x,λ)=f(x)-λ*h(x) (3)

όπου η συνάρτηση L(x;λ) ονομάζεται συνάρτηση Lagrange,

Το λ είναι μια άγνωστη σταθερά, η οποία ονομάζεται πολλαπλασιαστής Lagrange. Δεν υπάρχουν απαιτήσεις για το πρόσημο του λ.

Έστω, για μια δεδομένη τιμή λ=λ 0, το άνευ όρων ελάχιστο της συνάρτησης L(x,λ) ως προς το x επιτυγχάνεται στο σημείο x=x 0 και x 0 ικανοποιεί την εξίσωση h 1 (x 0)=0. . Στη συνέχεια, όπως είναι εύκολο να δούμε, το x 0 ελαχιστοποιεί το (1) λαμβάνοντας υπόψη το (2), αφού για όλες τις τιμές του x ικανοποιεί (2), h 1 (x)=0 και L(x,λ)=min f(x).

Φυσικά, είναι απαραίτητο να επιλέξετε την τιμή λ=λ 0 ώστε η συντεταγμένη του άνευ όρων ελάχιστου σημείου x 0 να ικανοποιεί την ισότητα (2). Αυτό μπορεί να γίνει εάν, θεωρώντας το λ ως μεταβλητή, βρείτε το άνευ όρων ελάχιστο της συνάρτησης (3) με τη μορφή μιας συνάρτησης λ, και στη συνέχεια επιλέξετε την τιμή του λ στην οποία ικανοποιείται η ισότητα (2). Ας το επεξηγήσουμε αυτό με ένα συγκεκριμένο παράδειγμα.

Ελαχιστοποίηση f(x)=x 1 2 +x 2 2 =0

υπό τον περιορισμό h 1 (x)=2x 1 +x 2 -2=0=0

Το αντίστοιχο πρόβλημα βελτιστοποίησης χωρίς περιορισμούς γράφεται ως εξής:

ελαχιστοποίηση L(x,λ)=x 1 2 +x 2 2 -λ(2x 1 +x 2 -2)

Λύση. Εξισώνοντας τα δύο συστατικά της βαθμίδας L με μηδέν, λαμβάνουμε

→ x 1 0 =λ

→ x 2 0 =λ/2

Για να ελέγξουμε αν το ακίνητο σημείο x° αντιστοιχεί στο ελάχιστο, υπολογίζουμε τα στοιχεία του πίνακα της Έσσης της συνάρτησης L(x;u), θεωρούμενα ως συνάρτηση του x,

που αποδεικνύεται θετική οριστική.

Αυτό σημαίνει ότι το L(x,u) είναι μια κυρτή συνάρτηση του x. Κατά συνέπεια, οι συντεταγμένες x 1 0 =λ, x 2 0 =λ/2 καθορίζουν το συνολικό ελάχιστο σημείο. Η βέλτιστη τιμή του λ βρίσκεται αντικαθιστώντας τις τιμές x 1 0 και x 2 0 στην εξίσωση 2x 1 + x 2 =2, από την οποία 2λ+λ/2=2 ή λ 0 =4/5. Έτσι, το ελάχιστο υπό συνθήκη επιτυγχάνεται στα x 1 0 =4/5 και x 2 0 =2/5 και ισούται με min f(x) = 4/5.

Κατά την επίλυση του προβλήματος από το παράδειγμα, θεωρήσαμε το L(x;λ) ως συνάρτηση δύο μεταβλητών x 1 και x 2 και, επιπλέον, υποθέσαμε ότι η τιμή της παραμέτρου λ επιλέχθηκε έτσι ώστε να ικανοποιηθεί ο περιορισμός. Αν η λύση του συστήματος

J=1,2,3,…,n

Το λ δεν μπορεί να ληφθεί με τη μορφή ρητών συναρτήσεων, τότε οι τιμές των x και λ βρίσκονται λύνοντας το ακόλουθο σύστημα που αποτελείται από n+1 εξισώσεις με n+1 αγνώστους:

J=1,2,3,…,n., h 1 (x)=0

Για να βρείτε όλες τις πιθανές λύσεις σε ένα δεδομένο σύστημα, μπορείτε να χρησιμοποιήσετε μεθόδους αριθμητικής αναζήτησης (για παράδειγμα, τη μέθοδο του Newton). Για καθεμία από τις λύσεις (), θα πρέπει να υπολογίσουμε τα στοιχεία του πίνακα της Έσσης της συνάρτησης L, θεωρούμενα ως συνάρτηση του x, και να βρούμε αν αυτός ο πίνακας είναι θετικός οριστικός (τοπικό ελάχιστο) ή αρνητικός ορισμένος (τοπικό μέγιστο ).

Η μέθοδος πολλαπλασιαστή Lagrange μπορεί να επεκταθεί στην περίπτωση όπου το πρόβλημα έχει αρκετούς περιορισμούς με τη μορφή ισοτήτων. Εξετάστε ένα γενικό πρόβλημα που απαιτεί

Ελαχιστοποίηση f(x)

υπό περιορισμούς h k =0, k=1, 2, ..., K.

Η συνάρτηση Lagrange έχει την ακόλουθη μορφή:

Εδώ λ 1 , λ 2 , ..., λκ-Πολλαπλασιαστές Lagrange, δηλ. άγνωστες παραμέτρους των οποίων οι τιμές πρέπει να καθοριστούν. Εξισώνοντας τις μερικές παραγώγους του L ως προς το x προς το μηδέν, λαμβάνουμε το ακόλουθο σύστημα n εξισώσεων με n αγνώστους:

Εάν αποδειχθεί ότι είναι δύσκολο να βρεθεί μια λύση στο παραπάνω σύστημα με τη μορφή συναρτήσεων του διανύσματος λ, τότε μπορείτε να επεκτείνετε το σύστημα συμπεριλαμβάνοντας περιορισμούς με τη μορφή ισοτήτων

Η λύση του εκτεταμένου συστήματος, που αποτελείται από n + K εξισώσεις με n + K αγνώστους, προσδιορίζει το ακίνητο σημείο της συνάρτησης L. Στη συνέχεια εφαρμόζεται μια διαδικασία ελέγχου για ελάχιστο ή μέγιστο, η οποία πραγματοποιείται με βάση τον υπολογισμό τα στοιχεία του πίνακα της Έσσης της συνάρτησης L, θεωρούμενα ως συνάρτηση του x, παρόμοια με αυτή που έγινε στην περίπτωση ενός προβλήματος με έναν περιορισμό. Για ορισμένα προβλήματα, ένα εκτεταμένο σύστημα n+K εξισώσεων με n+K αγνώστους μπορεί να μην έχει λύσεις και η μέθοδος πολλαπλασιαστή Lagrange αποδεικνύεται ανεφάρμοστη. Πρέπει να σημειωθεί, ωστόσο, ότι τέτοιες εργασίες είναι αρκετά σπάνιες στην πράξη.

Ας εξετάσουμε μια ειδική περίπτωση του γενικού προβλήματος του μη γραμμικού προγραμματισμού, υποθέτοντας ότι το σύστημα περιορισμών περιέχει μόνο εξισώσεις, δεν υπάρχουν προϋποθέσεις για τη μη αρνητικότητα των μεταβλητών και και είναι συνεχείς συναρτήσεις μαζί με τις μερικές παραγώγους τους. Επομένως, λύνοντας το σύστημα των εξισώσεων (7), λαμβάνουμε όλα τα σημεία στα οποία η συνάρτηση (6) μπορεί να έχει ακραίες τιμές.

Αλγόριθμος για τη μέθοδο του πολλαπλασιαστή Lagrange

1. Συνθέστε τη συνάρτηση Lagrange.

2. Να βρείτε τις μερικές παραγώγους της συνάρτησης Lagrange ως προς τις μεταβλητές x J ,λ i και να τις εξισώσετε με μηδέν.

3. Λύνουμε το σύστημα των εξισώσεων (7), βρίσκουμε τα σημεία στα οποία η αντικειμενική συνάρτηση του προβλήματος μπορεί να έχει ακρότατο.

4. Μεταξύ των ύποπτων σημείων για ένα άκρο, βρίσκουμε εκείνα στα οποία επιτυγχάνεται το άκρο και υπολογίζουμε τις τιμές της συνάρτησης (6) σε αυτά τα σημεία.

Παράδειγμα.

Αρχικά δεδομένα:Σύμφωνα με το σχέδιο παραγωγής, η εταιρεία χρειάζεται να παράγει 180 προϊόντα. Αυτά τα προϊόντα μπορούν να κατασκευαστούν με δύο τεχνολογικούς τρόπους. Κατά την παραγωγή προϊόντων x 1 με την 1η μέθοδο, το κόστος είναι 4x 1 +x 1 2 ρούβλια και κατά την παραγωγή x 2 προϊόντων με τη 2η μέθοδο, είναι 8x 2 +x 2 2 ρούβλια. Προσδιορίστε πόσα προϊόντα πρέπει να παραχθούν χρησιμοποιώντας κάθε μέθοδο, ώστε το κόστος παραγωγής να είναι ελάχιστο.

Η αντικειμενική συνάρτηση για το δηλωμένο πρόβλημα έχει τη μορφή
® ελάχυπό τις συνθήκες x 1 + x 2 =180, x 2 ≥0.
1. Συνθέστε τη συνάρτηση Lagrange
.
2. Υπολογίζουμε τις μερικές παραγώγους ως προς τα x 1, x 2, λ και τις εξισώνουμε με μηδέν:

3. Λύνοντας το προκύπτον σύστημα εξισώσεων, βρίσκουμε x 1 =91,x 2 =89

4. Έχοντας κάνει αντικατάσταση στην αντικειμενική συνάρτηση x 2 =180-x 1, λαμβάνουμε μια συνάρτηση μιας μεταβλητής, δηλαδή f 1 =4x 1 +x 1 2 +8(180-x 1)+(180-x 1 ) 2

Υπολογίζουμε ή 4x 1 -364=0 ,

οπότε έχουμε x 1 * =91, x 2 * =89.

Απάντηση: Ο αριθμός των προϊόντων που κατασκευάζονται με την πρώτη μέθοδο είναι x 1 =91, με τη δεύτερη μέθοδο x 2 =89, ενώ η τιμή της αντικειμενικής συνάρτησης είναι ίση με 17.278 ρούβλια.

Όνομα παραμέτρου	Εννοια
Θέμα άρθρου:	Μέθοδος Lagrange.
Ρουμπρίκα (θεματική κατηγορία)	Μαθηματικά

Η εύρεση ενός πολυωνύμου σημαίνει τον προσδιορισμό των τιμών του συντελεστή του . Για να γίνει αυτό, χρησιμοποιώντας τη συνθήκη παρεμβολής, μπορείτε να σχηματίσετε ένα σύστημα γραμμικών αλγεβρικών εξισώσεων (SLAE).

Η ορίζουσα αυτού του SLAE συνήθως ονομάζεται ορίζουσα Vandermonde. Η ορίζουσα Vandermonde δεν είναι ίση με μηδέν για για , δηλαδή στην περίπτωση που δεν υπάρχουν κόμβοι που να ταιριάζουν στον πίνακα αναζήτησης. Ωστόσο, μπορεί να υποστηριχθεί ότι η SLAE έχει μια λύση και αυτή η λύση είναι μοναδική. Έχοντας λύσει το SLAE και προσδιορίσει τους άγνωστους συντελεστές μπορείτε να κατασκευάσετε ένα πολυώνυμο παρεμβολής.

Ένα πολυώνυμο που ικανοποιεί τις συνθήκες παρεμβολής, όταν παρεμβάλλεται με τη μέθοδο Lagrange, κατασκευάζεται με τη μορφή ενός γραμμικού συνδυασμού πολυωνύμων του nου βαθμού:

Τα πολυώνυμα ονομάζονται συνήθως βασικόςπολυώνυμα. Ωστε να Πολυώνυμο Lagrangeικανοποιεί τις συνθήκες παρεμβολής, είναι εξαιρετικά σημαντικό να πληρούνται οι ακόλουθες συνθήκες για τα πολυώνυμα βάσης του:

Για .

Εάν πληρούνται αυτές οι προϋποθέσεις, τότε για οποιαδήποτε έχουμε:

Επιπλέον, η εκπλήρωση των καθορισμένων προϋποθέσεων για τα πολυώνυμα βάσης σημαίνει ότι ικανοποιούνται και οι συνθήκες παρεμβολής.

Ας προσδιορίσουμε τον τύπο των πολυωνύμων βάσης με βάση τους περιορισμούς που τους επιβάλλονται.

1η προϋπόθεση:στο .

2η προϋπόθεση: .

Τέλος, για το πολυώνυμο βάσης μπορούμε να γράψουμε:

Στη συνέχεια, αντικαθιστώντας την προκύπτουσα έκφραση για τα πολυώνυμα βάσης στο αρχικό πολυώνυμο, λαμβάνουμε την τελική μορφή του πολυωνύμου Lagrange:

Μια συγκεκριμένη μορφή του πολυωνύμου Lagrange at ονομάζεται συνήθως τύπος γραμμικής παρεμβολής:

.

Το πολυώνυμο Lagrange που λαμβάνεται συνήθως ονομάζεται τύπος τετραγωνικής παρεμβολής:

Μέθοδος Lagrange. - έννοια και τύποι. Ταξινόμηση και χαρακτηριστικά της κατηγορίας "Μέθοδος Lagrange." 2017, 2018.

- Μέθοδος Lagrange (μέθοδος μεταβολής αυθαίρετης σταθεράς).

Γραμμικά τηλεχειριστήρια. Ορισμός. τύπου DU δηλ. γραμμική ως προς μια άγνωστη συνάρτηση και η παράγωγός της ονομάζεται γραμμική. Για μια λύση αυτού του τύπου, θα εξετάσουμε δύο μεθόδους: τη μέθοδο Lagrange και τη μέθοδο Bernoulli. Θεωρούμε μια ομοιογενή διαφορική εξίσωση.

- Γραμμικά συστήματα ελέγχου, ομοιογενή και ετερογενή. Η έννοια της γενικής απόφασης. Μέθοδος Lagrange μεταβολής των σταθερών παραγωγής.

Ορισμός. Ένα σύστημα ελέγχου ονομάζεται ομοιογενές εάν η συνάρτηση μπορεί να αναπαρασταθεί ως η σχέση μεταξύ των ορισμάτων της. Η f-th ονομάζεται ομοιογενής f-th μέτρηση εάν Παραδείγματα: 1) - 1η τάξη ομοιογένειας. 2) - 2η τάξη ομοιογένειας. 3) - μηδενική τάξη ομοιογένειας (απλά ομοιογενής... .

- Διάλεξη 8. Εφαρμογή μερικών παραγώγων: ακραία προβλήματα. Μέθοδος Lagrange.

Τα ακραία προβλήματα έχουν μεγάλη σημασία στους οικονομικούς υπολογισμούς. Αυτός είναι ο υπολογισμός, για παράδειγμα, του μέγιστου εισοδήματος, του κέρδους, του ελάχιστου κόστους ανάλογα με διάφορες μεταβλητές: πόρους, περιουσιακά στοιχεία παραγωγής κ.λπ. Η θεωρία της εύρεσης ακραίων συναρτήσεων... .

- Τ.2.3. ΔΕ ανώτερων τάξεων. Εξίσωση σε ολικά διαφορικά. Τ.2.4. Γραμμικές διαφορικές εξισώσεις δεύτερης τάξης με σταθερούς συντελεστές. Μέθοδος Lagrange.

3. 2. 1. DE με διαχωρίσιμες μεταβλητές S.R. 3. Στις φυσικές επιστήμες, την τεχνολογία και τα οικονομικά, συχνά πρέπει να ασχοληθεί κανείς με εμπειρικούς τύπους, δηλ. τύποι που καταρτίζονται με βάση την επεξεργασία στατιστικών δεδομένων ή...