Секреты быстрого умножения и деления. Систематизированные правила умножения

Метод, описанный в этой статье, основывается на равенстве ∫ f (g (x)) d (g (x)) = F (g (x)) + C . Его цель – свести подынтегральную функцию к виду f (g (x)) d (g (x)) . Для его применения важно иметь под рукой таблицу первообразных и таблицу производных основных элементарных функций, записанную в виде дифференциалов.

Таблица первообразных

Пример 1

Найдите неопределенный интеграл ∫ sin (x 2) d (x 2) .

Решение

Мы видим, что в условии подынтегральное выражение уже находится под знаком дифференциала. Согласно таблице первообразных, ∫ sin x d x = - cos x + C , значит, ∫ sin (x 2) d (x 2) = - cos (x 2) + C .

Ответ: ∫ sin (x 2) d (x 2) = - cos (x 2) + C

Пример 2

Найдите множество первообразных функции y = ln 3 x x .

Решение

Для того чтобы найти ответ, нам потребуется вычислить ∫ ln 3 x x d x . Решим задачу с помощью метода подведения под знак дифференциала. Согласно таблице производных, d x x = d ln x , значит, ∫ ln 3 x x d x = ∫ ln 3 x d (ln x) . Используя ту же таблицу, можем сразу записать ответ: ∫ ln 3 x x d x = ∫ ln 3 x d (ln x) = ln 4 x 4 + C .

Здесь требуется небольшое пояснение. Мы можем ввести еще одну переменную z = ln x и получить ∫ ln 3 x x d x = ∫ ln 3 x d (ln x) = ln x = z = ∫ z 3 d z . Тогда, используя таблицу первообразных для степенных функций, можно записать, что ∫ z 3 d z = z 4 4 + C . Теперь вернемся к исходной переменной и получим: z 4 4 + C = z = ln x = ln 4 x 4 + C .

Ответ: ∫ ln 3 x x d x = ln 4 x 4 + C .

С помощью метода подведения под знак дифференциала также можно вычислить первообразные для тангенса и котангенса.

Пример 3

Найдите интеграл тангенса ∫ t g x d x .

Решение

∫ t g x d x = ∫ sin x d x cos x

Поскольку sin x d x = - d (cos x) , то можно подвести ∫ sin x d x cos x = - ∫ d (cos x) cos x . Берем таблицу первообразных и находим, что - ∫ d (cos x) cos x = - ln cos x + C 1 = - ln cos x + C , где C = - C 1 .

Ответ: ∫ t g x d x = - ln cos x + C .

Самым сложным в применении этого метода является определение той части функции, которую нужно подвести под знак дифференциала. Умение быстро делать это приходит с опытом.

Пример 4

Вычислите неопределенный интеграл ∫ x 2 d x 1 + x 6 .

Решение

Согласно таблице производных, d (x 3) = 3 x 2 d x , значит, x 2 d x = 1 3 d (x 3) . Используем таблицу основных интегралов и находим, что ∫ d x 1 + x 2 = a r c r g x + C . Значит, решить задачу методом подведения под знак дифференциала можно так:

∫ x 2 d x 1 + x 6 = ∫ 1 3 d (x 3) 1 + x 3 2 = x 3 = t = = 1 3 ∫ d t 1 + t 2 = 1 3 a r c t g (t) + C = x 3 = t = 1 3 a r c t g (x 3) + C

Ответ: ∫ x 2 d x 1 + x 6 = 1 3 a r c t g (x 3) + C

Пример 5

Вычислите неопределенный интеграл ∫ d x x 2 + 2 x + 4 .

Решение

Начнем с преобразования подкоренного выражения.

x 2 + 2 x + 4 = x 2 + 2 x + 1 - 1 + 4 = x 2 + 2 x + 1 + 3 = x + 1 2 + 3

После этого можно записать, что ∫ d x x 2 + 2 x + 4 = ∫ d x x + 1 2 + 3 .

Поскольку d (x + 1) = d x , то ∫ d x x + 1 2 + 3 = ∫ d x (x + 1) x + 1 2 + 3 = x + 1 = z = ∫ d z z 2 + 3 .

Посмотрим в таблицу первообразных и найдем ответ:

∫ d z z 2 + 3 = ln z + z 2 + 3 + C = z = x + 1 = ln x + 1 + (x + 1) 2 + 3 + C = = ln x + 1 + x 2 + 2 x + 4 + C

Ответ: ∫ d x x 2 + 2 x + 4 = ln x + 1 + x 2 + 2 x + 4 + C

Зачастую предварительные преобразования подынтегрального выражения бывают весьма сложными.

Пример 6

Найдите множество первообразных функции ∫ x d x 4 x 2 + 2 x + 1 .

Решение

Начнем также с преобразования выражения под интегралом.

∫ x d x 4 x 2 + 2 x + 1 = ∫ x d x 4 x 2 1 2 x + 1 4 = ∫ x d x 2 x 2 + 1 2 x + 1 4 = = 1 2 ∫ x d x x 2 + 1 2 x + 1 16 - 1 16 + 1 4 = 1 2 ∫ x d x x + 1 4 2 + 3 16

Теперь подведем то, что получилось, под знак дифференциала.

Поскольку d x + 1 4 2 + 3 16 = x + 1 4 2 + 3 16 " d x = 2 · x + 1 4 2 d x = 2 x d x + d x 2 ,то:

2 x d x = d x + 1 4 2 + 3 16 - d x 2 ⇒ x d x = 1 2 d x + 1 4 2 + 3 16 - d x 4

Следовательно, мы можем записать, что:

1 2 ∫ x d x x + 1 4 2 + 3 16 = 1 2 ∫ 1 2 d x + 1 4 2 + 3 16 - d x 4 x + 1 4 2 + 3 16 = = 1 4 ∫ d x + 1 4 2 + 3 16 x + 1 4 2 + 3 16 - 1 8 ∫ d x x + 1 4 2 + 3 16

Исходя из d x = d x + 1 4 , можно преобразовать выражение так:

1 4 ∫ d x + 1 4 2 + 3 16 x + 1 4 2 + 3 16 - 1 8 ∫ d x x + 1 4 2 + 3 16 = = 1 4 ∫ d x + 1 4 2 + 3 16 x + 1 4 2 + 3 16 - 1 8 ∫ d x + 1 4 x + 1 4 2 + 3 16 = = x + 1 4 2 + 3 16 = z x + 1 4 = t = 1 4 ∫ z - 1 2 d z - 1 8 ∫ d t t 2 + 3 16

В итоге у нас получились два интеграла, значения которых можно взять из таблицы.

1 4 ∫ z - 1 2 d z - 1 8 ∫ d t t 2 + 3 16 = 1 4 · 1 - 1 2 + 1 z - 1 2 + 1 - 1 8 ln t + t 2 + 3 16 + C = = 1 2 z 1 2 - 1 8 ln t + t 2 + 3 16 + C = = 1 2 x + 1 4 2 + 3 16 1 2 - 1 8 ln x + 1 4 + x + 1 4 2 + 3 16 + C = = 1 2 x 2 + 1 2 x + 1 4 - 1 8 ln x + 1 4 + x 2 + 1 2 x + 1 4 + C

Ответ: ∫ x d x 4 x 2 + 2 x + 1 = 1 2 x 2 + 1 2 x + 1 4 - 1 8 ln x + 1 4 + x 2 + 1 2 x + 1 4 + C

Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter

§ 5. Интегралы и их приложения

.

5.1. Основные определения и формулы. Функция F (x ) является первообразной функции f (x ), если на некотором множестве X выполняется равенство F  (x )= f (x ). Совокупность всех первообразных для f (x ) называется неопределенным интегралом и обозначается . При этом, если F (x ) – какая-либо из первообразных f (x ), то
, константа C пробегает все множество действительных чисел. В таблице 2 приводятся основные формулы, в которых u = u (x ).

Таблица 2

1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8) , 9)

10) 11) 12) 13) 14) 15) 16)

Очевидно, что формулы 10), 12) и 14) являются частными случаями формул 11), 13) и 15) соответственно.

Если f (x ) – функция, непрерывная на отрезке [ a ; b ], то существует определенный интеграл от этой функции, который можно вычислить по формуле Ньютона-Лейбница :

, (5.1)

где F (x ) – какая-либо первообразная для f (x ). В отличие от неопределенного интеграла (представляющего собой множество функций) определенный интеграл – некоторое число.

И неопределенный, и определенный интегралы обладают свойством линейности (интеграл от суммы функций равен сумме интегралов, а постоянный множитель можно выносить за знак интеграла):

.

Пример 5.1 . Найти: а)
; б)
.

Решение. В задании а) подынтегральную функцию сначала упрощаем, разделив почленно каждое слагаемое из числителя на знаменатель, затем используем свойство линейности и «табличные» формулы 1)-3):

В задании б), помимо линейности и «табличных» формул 3), 9), 1), используем формулу Ньютона-Лейбница (5.1):

5.2. Внесение под знак дифференциала и замена переменной. Можно заметить, что иногда часть подынтегральной функции образует дифференциал некоторого выражения, что позволяет применять табличные формулы.

Пример 5.2 Найти: а)
; б)
.

Решение. В примере а) можно заметить, что
, а затем воспользоваться формулой 5) при u =lnx :

В случае б)
, а потому в силу 11) при
получим:

Замечание 1. При внесении под знак дифференциала полезно, наряду с использованными выше, учитывать следующие соотношения:

;
;
; ; ;

;
;
;
.

Замечание 2. Интегралы из примера 5.2. можно было найти и с помощью замены переменной. При этом в определенном интеграле следует менять и пределы интегрирования. Преобразования в 5.2.б) выглядели бы, например, так:

В общем случае выбор замены определяется видом подынтегральной функции. В некоторых случаях рекомендуются специальные замены. Например, если в выражении присутствует иррациональность вида
, то можно положить
или
.

Пример 5.3 Найти: а)
; б)
.

Решение. В случае а) имеем

(после замены применили табличную формулу 11 )).

При решении б) обязательно проводим замену пределов интегрирования.

5.3. Интегрирование по частям. В ряде случаев помогает «формула интегрирования по частям». Для неопределенного интеграла она имеет вид

, (5.2)

для определенного

, (5.3)

При этом важно учитывать следующее.

1) Если подынтегральная функция содержит произведение многочлена от x на функции
, то в качестве u выбирается многочлен, а оставшееся под знаком интеграла выражение относится к dv .

2) Если подынтегральная функция содержит обратные тригонометрические ( ) или логарифмические (
) функции, то в качестве u выбирается одна из них.

Пример 5.4. Найти: а)
; б)
.

Решение. В случае а) применяем формулу (5.2) и второе правило . Именно, полагаем
. Тогда
. Далее,
, а потому
. Следовательно, . В полученном интеграле выделим целую часть подынтегральной функции (так поступают, когда степень числителя не меньше степени знаменателя):

.

Окончательно решение выглядит так:

В примере б) используем (5.3) и первое из правил .

5.4. Интегрирование выражений, содержащих квадратный трехчлен . Основные идеи заключаются в выделении в квадратном трехчлене полного квадрата и в проведении линейной замены, позволяющей свести исходный интеграл к табличным вида 10 )-16 ).

Пример 5.5. Найти: а)
; б)
; в)
.

Решение. В случае а) действуем следующим образом:

поэтому (с учетом 13) )

При решении примера б) потребуются дополнительные преобразования, связанные с присутствием переменной в числителе подынтегральной функции. Выделив полный квадрат в знаменателе (), получим:

Для второго из интегралов в силу 11) (табл.2) имеем:
. В первом интеграле проведем внесение под знак дифференциала:

Таким образом, собирая все вместе и возвращаясь к переменной x , получаем:

В примере в) также предварительно выделяем полный квадрат:

5.5. Интегрирование простейших тригонометрических функций. При интегрировании выражений вида
(где m и n – натуральные числа) рекомендуется принимать во внимание следующие правила.

1) Если обе степени четные, то применяются формулы «понижения степени»: ; .

2) Предположим, что какое-либо из чисел m и n – нечетное. Например, n =2 k +1. В этом случае одну из степеней функции cosx «отщепляют», чтобы внести под знак дифференциала (т.к. ). В оставшемся выражении
с помощью основного тригонометрического тождества
выражают через
(). После преобразования подынтегрального выражения (и с учетом свойства линейности) получается алгебраическая сумма интегралов вида
, каждый из которых можно найти с помощью формулы 2) из таблицы 2:
.

Кроме того, в некоторых случаях полезны также формулы

Пример 5.6. Найти: а)
; б)
; в)
.

Решение. а) В подынтегральную функцию входит нечетная (5-я) степень sinx , поэтому действуем по второму правилу , учитывая, что .

В примере б) воспользуемся формулой (5.4 ), линейностью неопределенного интеграла, равенством
и табличной формулой 4):

В случае в) последовательно понижаем степень , учитываем линейность, возможность внесения константы под знак дифференциала и нужные табличные формулы:

5.6. Приложения определенного интеграла. Как известно, криволинейной трапецией, соответствующей неотрицательной и непрерывной на отрезке [ a ; b ] функции f (x ), называется область, ограниченная графиком функции y = f (x ), осью OX и двумя вертикальными прямыми x = a , x = b . Коротко это можно записать так: (см. рис.3 ). и, где

На данном уроке мы познакомимся с одним из самых важных и наиболее распространенных приемов, который применяется в ходе решения неопределенных интегралов – методом замены переменной. Для успешного освоения материала требуются начальные знания и навыки интегрирования. Если есть ощущение пустого полного чайника в интегральном исчислении, то сначала следует ознакомиться с материалом , где я объяснил в доступной форме, что такое интеграл и подробно разобрал базовые примеры для начинающих.

Технически метод замены переменной в неопределенном интеграле реализуется двумя способами:

– Подведение функции под знак дифференциала ;
– Собственно замена переменной .

По сути дела, это одно и то же, но оформление решения выглядит по-разному.

Начнем с более простого случая.

Подведение функции под знак дифференциала

На уроке Неопределенный интеграл. Примеры решений мы научились раскрывать дифференциал, напоминаю пример, который я приводил:

То есть, раскрыть дифференциал – это формально почти то же самое, что найти производную.

Пример 1

Выполнить проверку.

Смотрим на таблицу интегралов и находим похожую формулу: . Но проблема заключается в том, что у нас под синусом не просто буковка «икс», а сложное выражение. Что делать?

Подводим функцию под знак дифференциала:

Раскрывая дифференциал, легко проверить, что:

Фактически и – это запись одного и того же.

Но, тем не менее, остался вопрос, а как мы пришли к мысли, что на первом шаге нужно записать наш интеграл именно так: ? Почему так, а не иначе?

Формула (и все другие табличные формулы) справедливы и применимы НЕ ТОЛЬКО для переменной , но и для любого сложного выражения ЛИШЬ БЫ АРГУМЕНТ ФУНКЦИИ ( – в нашем примере) И ВЫРАЖЕНИЕ ПОД ЗНАКОМ ДИФФЕРЕНЦИАЛА БЫЛИ ОДИНАКОВЫМИ .

Поэтому мысленное рассуждение при решении должно складываться примерно так: «Мне надо решить интеграл . Я посмотрел в таблицу и нашел похожую формулу . Но у меня сложный аргумент и формулой я сразу воспользоваться не могу. Однако если мне удастся получить и под знаком дифференциала, то всё будет нормально. Если я запишу , тогда . Но в исходном интеграле множителя-тройки нет, поэтому, чтобы подынтегральная функция не изменилась, мне надо ее домножить на ». В ходе примерно таких мысленных рассуждений и рождается запись:

Теперь можно пользоваться табличной формулой :

Готово

Единственное отличие, у нас не буква «икс», а сложное выражение .

Выполним проверку. Открываем таблицу производных и дифференцируем ответ:

Получена исходная подынтегральная функция, значит, интеграл найден правильно.

Обратите внимание, что в ходе проверки мы использовали правило дифференцирования сложной функции . По сути дела подведение функции под знак дифференциала и – это два взаимно обратных правила .

Пример 2

Анализируем подынтегральную функцию. Здесь у нас дробь, причем в знаменателе линейная функция (с «иксом» в первой степени). Смотрим в таблицу интегралов и находим наиболее похожую вещь: .

Подводим функцию под знак дифференциала:

Те, кому трудно сразу сообразить, на какую дробь нужно домножать, могут быстренько на черновике раскрыть дифференциал: . Ага, получается , значит, чтобы ничего не изменилось, мне надо домножить интеграл на .
Далее используем табличную формулу :

Проверка:


Получена исходная подынтегральная функция, значит, интеграл найден правильно.

Пример 3

Найти неопределенный интеграл. Выполнить проверку.

Пример 4

Найти неопределенный интеграл. Выполнить проверку.

Это пример для самостоятельного решения. Ответ в конце урока.

При определенном опыте решения интегралов, подобные примеры будут казаться лёгкими, и щелкаться как орехи:

В конце данного параграфа хотелось бы еще остановиться на «халявном» случае, когда в линейной функции переменная входит с единичным коэффициентом, например:

Строго говоря, решение должно выглядеть так:

Как видите, подведение функции под знак дифференциала прошло «безболезненно», без всяких домножений. Поэтому на практике таким длинным решением часто пренебрегают и сразу записывают, что . Но будьте готовы при необходимости объяснить преподавателю, как Вы решали! Поскольку интеграла в таблице вообще-то нет.

Метод замены переменной в неопределенном интеграле

Переходим к рассмотрению общего случая – метода замены переменных в неопределенном интеграле.

Пример 5

Найти неопределенный интеграл.

В качестве примера я взял интеграл, который мы рассматривали в самом начале урока. Как мы уже говорили, для решения интеграла нам приглянулась табличная формула , и всё дело хотелось бы свести к ней.

Идея метода замены состоит в том, чтобы сложное выражение (или некоторую функцию) заменить одной буквой .
В данном случае напрашивается:
Вторая по популярности буква для замены – это буква .
В принципе, можно использовать и другие буквы, но мы всё-таки будем придерживаться традиций.

Итак:
Но при замене у нас остаётся ! Наверное, многие догадались, что если осуществляется переход к новой переменной , то в новом интеграле всё должно быть выражено через букву , и дифференциалу там совсем не место.
Следует логичный вывод, что нужно превратить в некоторое выражение, которое зависит только от .

Действие следующее. После того, как мы подобрали замену, в данном примере, , нам нужно найти дифференциал . С дифференциалами, думаю, дружба уже у всех налажена.

Так как , то

После разборок с дифференциалом окончательный результат рекомендую переписать максимально коротко:
Теперь по правилам пропорции выражаем нужный нам :

В итоге:
Таким образом:

А это уже самый что ни на есть табличный интеграл (таблица интегралов , естественно, справедлива и для переменной ).

В заключении осталось провести обратную замену. Вспоминаем, что .

Готово.

Чистовое оформление рассмотренного примера должно выглядеть примерно так:

“

Проведем замену:

“

Значок не несет никакого математического смысла, он обозначает, что мы прервали решение для промежуточных объяснений.

При оформлении примера в тетради надстрочную пометку обратной замены лучше выполнять простым карандашом.

Внимание! В следующих примерах нахождение дифференциала расписываться подробно не будет.

А теперь самое время вспомнить первый способ решения:

В чем разница? Принципиальной разницы нет. Это фактически одно и то же. Но с точки зрения оформления задания метод подведения функции под знак дифференциала – гораздо короче .

Возникает вопрос. Если первый способ короче, то зачем тогда использовать метод замены? Дело в том, что для ряда интегралов не так-то просто «подогнать» функцию под знак дифференциала.

Пример 6

Найти неопределенный интеграл.

Проведем замену: (другую замену здесь трудно придумать)

Как видите, в результате замены исходный интеграл значительно упростился – свёлся к обычной степенной функции. Это и есть цель замены – упростить интеграл .

Ленивые продвинутые люди запросто решат данный интеграл методом подведения функции под знак дифференциала:

Другое дело, что такое решение очевидно далеко не для всех студентов. Кроме того, уже в этом примере использование метода подведения функции под знак дифференциала значительно повышает риск запутаться в решении .

Пример 7

Найти неопределенный интеграл. Выполнить проверку.

Пример 8

Найти неопределенный интеграл.

Замена:
Осталось выяснить, во что превратится

Хорошо, мы выразили, но что делать с оставшимся в числителе «иксом»?!
Время от времени в ходе решения интегралов встречается следующий трюк: мы выразим из той же замены !

Пример 9

Найти неопределенный интеграл.

Это пример для самостоятельного решения. Ответ в конце урока.

Пример 10

Найти неопределенный интеграл.

Наверняка некоторые обратили внимание, что в моей справочной таблице нет правила замены переменной. Сделано это сознательно. Правило внесло бы путаницу в объяснение и понимание, поскольку в вышерассмотренных примерах оно не фигурирует в явном виде.

Настало время рассказать об основной предпосылке использования метода замены переменной: в подынтегральном выражении должна находиться некоторая функция и её производная : (функции , могут быть и не в произведении)

В этой связи при нахождении интегралов довольно часто приходится заглядывать в таблицу производных.

В рассматриваемом примере замечаем, что степень числителя на единицу меньше степени знаменателя. В таблице производных находим формулу , которая как раз понижает степень на единицу. А, значит, если обозначить за знаменатель, то велики шансы, что числитель превратится во что-нибудь хорошее.

Метод подведения под знак дифференциала редко приводится в литературе, поэтому вначале покажем, почему он выгоден.

Нередко в подынтегральной функции можно увидеть 2 фрагмента, один из которых похож на производную другого. Например,

а) в интеграле числительx похож на производную от :
;

б) интеграл
можно представить как
, где
;

в) функция
в интеграле
– это
.

Подобные интегралы часто предлагают находить, заменив новой переменной функцию, производная которой обнаружена. Так, для указанных интегралов

а) если
, то
, тогда
и
, откуда

б) поскольку
, то
, тогда
и
, поэтому

Более подробно метод замены изложен в § 4.

Однако вычисление 3-го интеграла при помощи замены уже связано с трудностями. Пусть, заметив, что
, мы заменили
.

Тогда
и
. Выразить
черезt можно так:

(
, поэтому
). Подставим:

В результате громоздких действий практически всё сократилось и получился простой табличный интеграл. Возникает вопрос, нельзя ли было прийти к нему быстрее, если почти ни одно выражение не понадобилось.

Действительно, есть более короткое решение:

тогда, заменив
, сразу получаем интеграл

Таким же образом можно было найти интегралы

Здесь действия показаны очень подробно, и половину из них можно пропустить. Особенно коротким сделает решение следующая

Таблица основных дифференциалов

;	;	;	;
	;	;	;
;	;	;	.

Примеры подведения под знак дифференциала

3) ;

ПД1. Найдите интегралы

1) а)
; б)
; в)
; г)
; д)
;

е)
; ж)
; з)
; и)
; к)
;

2) а)
; б)
; в)
; г)
; д)
;

е)
; ж)
; з)
; и)
; к)
;

3) а)
; б)
; в)
; г)
; д)

е)
; ж)
; з)
; и)
; к)
;

4) а)
; б)
; в)
; г)
; д)
;

е)
; ж)
; з)
; и)
; к)
;

5) а)
; б)
; в)
; г)
; д)
;

е)
; ж)
; з)
; и)
; к)
.

§ 3. Интегралы от функций, содержащих квадратичное выражение

При интегрировании функций, содержащих выражение
, поможет формула
. Например,

б)
;

Полученную скобку удобно обозначить новой буквой и перейти к интегралу по этой переменной (дифференциалы новой и старой переменных совпадут).

Коэффициент перед квадратом лучше выносить за скобку:

,

а затем, если возможно, и за знак интеграла. Так,

Цель замены – перейти к интегралу без линейного слагаемого
, поскольку интегралы, содержащие только
, находятся проще, и часто – по таблице. При этом важно помнить, что
,
, и т.п.

А именно (см. § 2),

где a – любое число, и число
. Кроме того, при

где
.

Замечание 1. После замены часто появляются интегралы
,
или
. Их можно найти так:

аналогично во 2-м и в 3-м случае.

Однако интегралы вида
достаточно сложны. Воспользуйтесь готовыми формулами

(проверьте дифференцированием, что это действительно так).

КИ1. Найдите при помощи равенства
и замены
:

Пример 1 (для краткости
обозначено как
.

При поиске
и
учли, что
и
соответственно, и применили основное правило табличного интегрирования.

КИ2. Найдите интегралы, разложив каждый на сумму интегралов, один из которых – табличный, а другой аналогичен найденным в задании КИ1:

Пример 2. Найдём интеграл
, разложив на сумму двух:

Ответ: (модуль не нужен, поскольку всегда
).

Пример 3. Возьмём таким же образом интеграл
:

Рациональнее всего найти интегралы так:

где учли, что
;

Тогда , где
.

Ответ: .

Замечание 2. В дальнейшем часто придётся разбивать интеграл на 2 или 3 интеграла, в каждом из которых появляется константа (
, и т.д.). Для краткости будем подразумевать (но не указывать) константы в каждом отдельном вспомогательном интеграле (или указывать, но не сопровождать номером), а записывать будем лишь общую константуC в ответе. При этом всегда C – некая линейная комбинация .

КИ3. Получив в знаменателе полный квадрат и сделав замену, найдите

Пример 4.
Заметив, что

заменяем
, тогда
и.

Подставим в интеграл:

Пример 5.

Поскольку , можно сделать замену
, при которой
и
. Подставим:

Пример 6.

Здесь , заменяем
, откуда
и
. Подставим:

где
. Разобьём интеграл на два:

.

Так же, как в предыдущих примерах,

а 2-й интеграл – табличный:
.

Итак, , где
. Тем самым

Пример 7.

Теперь , замена
, поэтому
и
.

Переходим к интегралу от новой переменной:

где
.

Найдём отдельно

в)
(табличный интеграл).

Умножим 2-й результат на 7, 3-й на 10, соберём подобные слагаемые и вернёмся к старой переменной:

КИ4. Найдите интегралы от иррациональных функций:

Пример 8. Найдём
. Похожий интеграл без корня уже найден выше (пример 6), и достаточно на соответствующем шаге добавить корень:

,

где
. Разбиваем

и находим

б)
.

Таким образом, , где
.

Ответ: .

Пример 9.
Полный квадрат удобно получить так:

где
. Тогда

.

Заменим
. При этом
и
:

Действуем так же, как в примере 8:

Ответ: .

Замечание 3. Нельзя из-под корня выносить знак «–» или любой отрицательный общий множитель:
;, и т.д. В примере 9 показан единственно возможный правильный способ действий.

Пример 10. Посмотрим, что изменится, если в примере 9 поставить квадрат: найдём
. Теперь после тех же замен окажется, что

Как обычно,

и 2-й и 3-й интегралы находятся так же, как в примере 9:

;

.

Согласно указаниям на стр. 19, 1-й интеграл можно преобразовать так:

где снова
, а

Новый интеграл находят или тригонометрической подстановкой
, или повторным интегрированием по частям, взяв
и
. Воспользуемся готовой формулой
(стр. 19):

Умножим все интегралы на соответствующие им коэффициенты и соберём вместе:

в ответе приведём подобные слагаемые.

Сначала немного поговорим о постановке задачи в общем виде, а затем перейдём к примерам интегрирования подстановкой. Допустим, в нас есть некий интеграл $\int g(x) \; dx$. Однако в таблице интегралов нужной формулы нет, да и разбить заданный интеграл на несколько табличных не удаётся (т.е. непосредственное интегрирование отпадает). Однако задача будет решена, если нам удастся найти некую подстановку $u=\varphi(x)$, которая сведёт наш интеграл $\int g(x) \; dx$ к какому-либо табличному интегралу $\int f(u) \; du=F(u)+C$. После применения формулы $\int f(u) \; du=F(u)+C$ нам останется только вернуть обратно переменную $x$. Формально это можно записать так:

$$\int g(x) \; dx=|u=\varphi(x)|=\int f(u) \; du=F(u)+C=F(\varphi(x))+C.$$

Проблема в том, как выбрать такую подстановку $u$. Для этого понадобится знание, во-первых, таблицы производных и умение её применять для дифференцирования сложных функций , а во-вторых, таблицы неопределенных интегралов . Кроме того, нам будет крайне необходима формула, которую я запишу ниже. Если $y=f(x)$, то:

\begin{equation}dy=y"dx\end{equation}

Т.е. дифференциал некоторой функции равен производной этой функции, умноженной на дифференциал независимой переменной. Это правило очень важно, и именно оно позволит применять метод подстановки. Здесь же укажем пару частных случаев, которые получаются из формулы (1). Пусть $y=x+C$, где $C$ - некая константа (число, попросту говоря). Тогда, подставляя в формулу (1) вместо $y$ выражение $x+C$, получим следующее:

$$ d(x+C)=(x+C)" dx $$

Так как $(x+C)"=x"+C"=1+0=1$, то указанная выше формула станет такой:

$$ d(x+C)=(x+C)" dx=1\cdot dx=dx.$$

Запишем полученный результат отдельно, т.е.

\begin{equation}dx=d(x+C)\end{equation}

Полученная формула означает, что прибавление константы под дифференциалом не изменяет оный дифференциал, т.е. $dx=d(x+10)$, $dx=d(x-587)$ и так далее.

Рассмотрим еще один частный случай для формулы (1). Пусть $y=Cx$, где $C$, опять-таки, является некоторой константой. Найдем дифференциал этой функции, подставляя в формулу (1) выражение $Cx$ вместо $y$:

$$ d(Cx)=(Cx)"dx $$

Так как $(Cx)"=C\cdot (x)"=C\cdot 1=C$, то записанная выше формула $d(Cx)=(Cx)"dx$ станет такой: $d(Cx)=Cdx$. Если разделить обе части этой формулы на $C$ (при условии $C\neq 0$), то получим $\frac{d(Cx)}{C}=dx$. Этот результат можно переписать в несколько иной форме:

\begin{equation}dx=\frac{1}{C}\cdot d(Cx)\;\;\;(C\neq 0)\end{equation}

Полученная формула говорит о том, что умножение выражения под дифференциалом на некую ненулевую константу требует введения соответствующего множителя, компенсирующего такое домножение. Например, $dx=\frac{1}{5} d(5x)$, $dx=-\frac{1}{19} d(-19x)$.

В примерах №1 и №2 формулы (2) и (3) будут рассмотрены подробно.

Замечание относительно формул

В данной теме будут использоваться как формулы 1-3, так и формулы из таблицы неопределённых интегралов , которые тоже имеют свои номера. Чтобы не было путаницы, условимся о следующем: если в теме встречается текст "используем формулу №1", то означает он буквально следующее "используем формулу №1, расположенную на этой странице ". Если нам понадобится формула из таблицы интегралов, то это будем оговаривать каждый раз отдельно. Например, так: "используем формулу №1 из таблицы интегралов".

И ещё одно небольшое примечание

Перед началом работы с примерами рекомендуется ознакомиться с материалом, изложенным в предыдущих темах, посвящённых понятию неопределённого интеграла и . Изложение материала в этой теме опирается на сведения, указанные в упомянутых темах.

Пример №1

Найти $\int \frac{dx}{x+4}$.

Если мы обратимся к , то не сможем найти формулу, которая точно соответствует интегралу $\int \frac{dx}{x+4}$. Наиболее близка к этому интегралу формула №2 таблицы интегралов, т.е. $\int \frac{du}{u}=\ln|u|+C$. Проблема в следующем: формула $\int \frac{du}{u}=\ln|u|+C$ предполагает, что в интеграле $\int \frac{du}{u}$ выражения в знаменателе и под дифференциалом должны быть одинаковы (и там и там расположена одна буква $u$). В нашем случае в $\int \frac{dx}{x+4}$ под дифференциалом находится буква $x$, а в знаменателе - выражение $x+4$, т.е. налицо явное несоответствие табличной формуле. Попробуем "подогнать" наш интеграл под табличный. Что произойдёт, если под дифференциал вместо $x$ подставить $x+4$? Для ответа на этот вопрос применим , подставив в неё выражение $x+4$ вместо $y$:

$$ d(x+4)=(x+4)"dx $$

Так как $(x+4)"=x"+(4)"=1+0=1$, то равенство $ d(x+4)=(x+4)"dx $ станет таким:

$$ d(x+4)=1\cdot dx=dx $$

Итак, $dx=d(x+4)$. Честно говоря, этот же результат можно было получить, просто подставив в вместо константы $C$ число $4$. В дальнейшем мы так и будем делать, а на первый раз разобрали процедуру получения равенства $dx=d(x+4)$ подробно. Но что даёт нам равенство $dx=d(x+4)$?

А даёт оно нам следующий вывод: если $dx=d(x+4)$, то в интеграл $\int \frac{dx}{x+4}$ вместо $dx$ можно подставить $d(x+4)$, причём интеграл от этого не изменится:

$$ \int \frac{dx}{x+4}=\int \frac{d(x+4)}{x+4}$$

Сделали мы это преобразование лишь для того, чтобы полученный интеграл стал полностью соответствовать табличной формуле $\int \frac{du}{u}=\ln|u|+C$. Чтобы такое соответствие стало совсем явным, заменим выражение $x+4$ буквой $u$ (т.е. сделаем подстановку $u=x+4$):

$$ \int \frac{dx}{x+4}=\int \frac{d(x+4)}{x+4}=|u=x+4|=\int \frac{du}{u}=\ln|u|+C.$$

По сути, задача уже решена. Осталось лишь вернуть переменную $x$. Вспоминая, что $u=x+4$, получим: $\ln|u|+C=\ln|x+4|+C$. Полное решение без пояснений выглядит так:

$$ \int \frac{dx}{x+4}=\int \frac{d(x+4)}{x+4}=|u=x+4|=\int \frac{du}{u}=\ln|u|+C=\ln|x+4|+C.$$

Ответ : $\int \frac{dx}{x+4}=\ln|x+4|+C$.

Пример №2

Найти $\int e^{3x} dx$.

Если мы обратимся к таблице неопределённых интегралов , то не сможем найти формулу, которая точно соответствует интегралу $\int e^{3x} dx$. Наиболее близка к этому интегралу формула №4 из таблицы интегралов, т.е. $\int e^u du=e^u+C$. Проблема в следующем: формула $\int e^u du=e^u+C$ предполагает, что в интеграле $\int e^u du$ выражения в степени числа $e$ и под дифференциалом должны быть одинаковы (и там и там расположена одна буква $u$). В нашем случае в $\int e^{3x} dx$ под дифференциалом находится буква $x$, а в степени числа $e$ - выражение $3x$, т.е. налицо явное несоответствие табличной формуле. Попробуем "подогнать" наш интеграл под табличный. Что произойдёт, если под дифференциал вместо $x$ подставить $3x$? Для ответа на этот вопрос применим , подставив в неё выражение $3x$ вместо $y$:

$$ d(3x)=(3x)"dx $$

Так как $(3x)"=3\cdot (x)"=3\cdot 1=3$, то равенство $d(3x)=(3x)"dx$ станет таким:

$$ d(3x)=3dx $$

Разделив обе части полученного равенства на $3$, будем иметь: $\frac{d(3x)}{3}=dx$, т.е. $dx=\frac{1}{3}\cdot d(3x)$. Вообще-то, равенство $dx=\frac{1}{3}\cdot d(3x)$ можно было получить, просто подставив в вместо константы $C$ число $3$. В дальнейшем мы так и будем делать, а на первый раз разобрали процедуру получения равенства $dx=\frac{1}{3}\cdot d(3x)$ подробно.

Что нам дало полученное равенство $dx=\frac{1}{3}\cdot d(3x)$? Оно означает, что в интеграл $\int e^{3x} dx$ вместо $dx$ можно подставить $\frac{1}{3}\cdot d(3x)$, причём интеграл от этого не изменится:

$$ \int e^{3x} dx= \int e^{3x} \cdot\frac{1}{3} d(3x) $$

Вынесем константу $\frac{1}{3}$ за знак интеграла и заменим выражение $3x$ буквой $u$ (т.е. сделаем подстановку $u=3x$), после чего применим табличную формулу $\int e^u du=e^u+C$:

$$ \int e^{3x} dx= \int e^{3x} \cdot\frac{1}{3} d(3x)=\frac{1}{3}\cdot \int e^{3x} d(3x)=|u=3x|=\frac{1}{3}\cdot\int e^u du=\frac{1}{3}\cdot e^u+C.$$

Как и в предыдущем примере, нужно вернуть обратно исходную переменную $x$. Так как $u=3x$, то $\frac{1}{3}\cdot e^u+C=\frac{1}{3}\cdot e^{3x}+C$. Полное решение без комментариев выглядит так:

$$ \int e^{3x} dx= \int e^{3x} \cdot\frac{1}{3} d(3x)=\frac{1}{3}\cdot \int e^{3x} d(3x)=|u=3x|=\frac{1}{3}\cdot\int e^u du=\frac{1}{3}\cdot e^u+C=\frac{1}{3}\cdot e^{3x}+C.$$

Ответ : $ \int e^{3x} dx= \frac{1}{3}\cdot e^{3x}+C$.

Пример №3

Найти $\int (3x+2)^2 dx$.

Для нахождения данного интеграла применим два способа. Первый способ состоит в раскрытии скобок и непосредственном интегрировании . Второй способ заключается в применении метода подстановки.

Первый способ

Так как $(3x+2)^2=9x^2+12x+4$, то $\int (3x+2)^2 dx=\int (9x^2+12x+4)dx$. Представляя интеграл $\int (9x^2+12x+4)dx$ в виде суммы трёх интегралов и вынося константы за знаки соответствующих интегралов, получим:

$$ \int (9x^2+12x+4)dx=\int 9x^2 dx+\int 12x dx+\int 4 dx=9\cdot \int x^2 dx+12\cdot \int x dx+4\cdot \int 1 dx $$

Чтобы найти $\int x^2 dx$ подставим $u=x$ и $\alpha=2$ в формулу №1 таблицы интегралов: $\int x^2 dx=\frac{x^{2+1}}{2+1}+C=\frac{x^3}{3}+C$. Аналогично, подставляя $u=x$ и $\alpha=1$ в ту же формулу из таблицы, будем иметь: $\int x^1 dx=\frac{x^{1+1}}{1+1}+C=\frac{x^2}{2}+C$. Так как $\int 1 dx=x+C$, то:

$$ 9\cdot \int x^2 dx+12\cdot \int x dx+4\cdot \int 1 dx=9\cdot\frac{x^3}{3}+12\cdot \frac{x^2}{2}+4\cdot x+C=3x^3+6x^2+4x+C. $$

$$ \int (9x^2+12x+4)dx=\int 9x^2 dx+\int 12x dx+\int 4 dx=9\cdot \int x^2 dx+12\cdot \int x dx+4\cdot \int 1 dx=\\ =9\cdot\frac{x^3}{3}+12\cdot \frac{x^2}{2}+4\cdot x+C=3x^3+6x^2+4x+C. $$

Второй способ

Скобки раскрывать не будем. Попробуем сделать так, чтобы под дифференциалом вместо $x$ появилось выражение $3x+2$. Это позволит ввести новую переменную и применить табличную формулу. Нам нужно, чтобы под дифференциалом возник множитель $3$, посему подставляя в значение $C=3$, получим $d(x)=\frac{1}{3}d(3x)$. Кроме того, под дифференциалом не хватает слагаемого $2$. Согласно прибавление константы под знаком дифференциала не меняет оный дифференциал, т.е. $\frac{1}{3}d(3x)=\frac{1}{3}d(3x+2)$. Из условий $d(x)=\frac{1}{3}d(3x)$ и $\frac{1}{3}d(3x)=\frac{1}{3}d(3x+2)$ имеем: $dx=\frac{1}{3}d(3x+2)$.

Отмечу, что равенство $dx=\frac{1}{3}d(3x+2)$ можно получить и иным способом:

$$ d(3x+2)=(3x+2)"dx=((3x)"+(2)")dx=(3\cdot x"+0)dx=3\cdot 1 dx=3dx;\\ dx=\frac{1}{3}d(3x+2). $$

Используем полученное равенство $dx=\frac{1}{3}d(3x+2)$, подставив в интеграл $\int (3x+2)^2 dx$ выражение $\frac{1}{3}d(3x+2)$ вместо $dx$. Константу $\frac{1}{3}$ вынесем за знак получившегося интеграла:

$$ \int (3x+2)^2 dx=\int (3x+2)^2 \cdot \frac{1}{3}d(3x+2)=\frac{1}{3}\cdot \int (3x+2)^2 d(3x+2). $$

Дальнейшее решение состоит в осуществлении подстановки $u=3x+2$ и применении формулы №1 из таблицы интегралов:

$$ \frac{1}{3}\cdot \int (3x+2)^2 d(3x+2)=|u=3x+2|=\frac{1}{3}\cdot \int u^2 du=\frac{1}{3}\cdot \frac{u^{2+1}}{2+1}+C=\frac{u^3}{9}+C. $$

Возвращая вместо $u$ выражение $3x+2$, получим:

$$ \frac{u^3}{9}+C=\frac{(3x+2)^3}{9}+C. $$

Полное решение без пояснений таково:

$$ \int (3x+2)^2 dx=\frac{1}{3}\cdot \int (3x+2)^2 d(3x+2)=|u=3x+2|=\\ =\frac{1}{3}\cdot \int u^2 du=\frac{u^3}{9}+C=\frac{(3x+2)^3}{9}+C. $$

Предвижу пару вопросов, поэтому попробую сформулировать их дать ответы.

Вопрос №1

Что-то тут не сходится. Когда мы решали первым способом, что получили, что $\int (9x^2+12x+4)dx=3x^3+6x^2+4x+C$. При решении вторым путём, ответ стал таким: $\int (3x+2)^2 dx=\frac{(3x+2)^3}{9}+C$. Однако перейти от второго ответа к первому не получается! Если раскрыть скобки, то получаем следующее:

$$ \frac{(3x+2)^3}{9}+C=\frac{27x^3+54x^2+36x+8}{9}+C=\frac{27x^3}{9}+\frac{54x^2}{9}+\frac{36x}{9}+\frac{8}{9}+C=3x^3+6x^2+4x+\frac{8}{9}+C. $$

Ответы не совпадают! Откуда взялась лишняя дробь $\frac{8}{9}$?

Этот вопрос говорит о том, что Вам стоит обратиться к предыдущим темам. Почитать тему про понятие неопределённого интеграла (уделив особое внимание вопросу №2 в конце страницы) и непосредственному интегрированию (стоит обратить внимание на вопрос №4). В указанных темах этот вопрос освещается подробно. Если уж совсем коротко, то интегральная константа $C$ может быть представлена в разных формах. Например, в нашем случае переобозначив $C_1=C+\frac{8}{9}$, получим:

$$ 3x^3+6x^2+4x+\frac{8}{9}+C=3x^3+6x^2+4x+C_1. $$

Посему никакого противоречия нет, ответ может быть записан как в форме $3x^3+6x^2+4x+C$, так и в виде $\frac{(3x+2)^3}{9}+C$.

Вопрос №2

Зачем было решать вторым способом? Это же лишнее усложнение! Зачем применять кучу лишних формул, чтобы найти ответ, который первым способом получается в пару действий? Всего-то и нужно было, что скобки раскрыть, применив школьную формулу.

Ну, во-первых, не такое уж это и усложнение. Когда вы разберётесь в методе подстановки, то решения подобных примеров станете делать в одну строчку: $\int (3x+2)^2 dx=\frac{1}{3}\cdot \int (3x+2)^2 d(3x+2)=\frac{(3x+2)^3}{9}+C$. Однако давайте взглянем на этот пример по-иному. Представьте, что нужно вычислить не $\int (3x+2)^2 dx$, а $\int (3x+2)^{200} dx$. При решении вторым способом придётся лишь чуток подправить степени и ответ будет готов:

$$ \int (3x+2)^{200} dx=\frac{1}{3}\cdot \int (3x+2)^{200} d(3x+2)=|u=3x+2|=\\ =\frac{1}{3}\cdot \int u^{200} du=\frac{u^{201}}{603}+C=\frac{(3x+2)^{201}}{603}+C. $$

А теперь представьте, что этот же интеграл $\int (3x+2)^{200} dx$ требуется взять первым способом. Для начала нужно будет раскрыть скобку $(3x+2)^{200}$, получив при этом сумму в двести одно слагаемое! А потом каждое слагаемое ещё и проинтегрировать придётся. Поэтому вывод тут такой: для больших степеней метод непосредственного интегрирования не годится. Второй способ, несмотря на кажущуюся сложность, более практичен.

Пример №4

Найти $\int \sin2x dx$.

Решение этого примера проведём тремя различными способами.

Первый способ

Заглянем в таблицу интегралов . Ниболее близка к нашему примеру формула №5 из этой таблицы, т.е. $\int \sin u du=-\cos u+C$. Чтобы подогнать интеграл $\int \sin2x dx$ под вид $\int \sin u du$, воспользуемся , внеся множитель $2$ под знак дифференциала. Собственно, мы это делали уже в примере №2, так что обойдёмся без подробных комментариев:

$$ \int \sin 2x dx=\left|dx=\frac{1}{2}\cdot d(2x) \right|=\int \sin 2x \cdot\frac{1}{2}d(2x)=\\ =\frac{1}{2} \int \sin 2x d(2x)=|u=2x|=\frac{1}{2} \int \sin u du=-\frac{1}{2}\cos u+C=-\frac{1}{2}\cos 2x+C. $$

Ответ : $\int \sin2x dx=-\frac{1}{2}\cos 2x+C$.

Второй способ

Для решения вторым способом применим простую тригонометрическую формулу: $\sin 2x=2\sin x\cos x$. Подставим вместо $\sin 2x$ выражение $2 \sin x \cos x$, при этом константу $2$ вынесем за знак интеграла:

Какова цель такого преобразования? В таблице интеграла $\int \sin x\cos x dx$ нет, но мы можем немного препобразовать $\int \sin x\cos x dx$, чтобы он стал больше походить на табличный. Для этого найдем $d(\cos x)$, используя . Подставим в упомянутую формулу $\cos x$ вместо $y$:

$$ d(\cos x)=(\cos x)"dx=-\sin x dx. $$

Так как $d(\cos x)=-\sin x dx$, то $\sin x dx=-d(\cos x)$. Так как $\sin x dx=-d(\cos x)$, то мы можем в $\int \sin x\cos x dx$ вместо $\sin x dx$ подставить $-d(\cos x)$. Значение интеграла при этом не изменится:

$$ 2\cdot\int \sin x\cos x dx=2\cdot\int \cos x \cdot (-d(\cos x))=-2\int\cos x d(\cos x) $$

Говоря иными словами, мы внесли под дифференциал $\cos x$. Теперь, сделав подстановку $u=\cos x$, мы сможем применить формулу №1 из таблицы интегралов:

$$ -2\int\cos x d(\cos x)=|u=\cos x|=-2\int u du=-2\cdot \frac{u^2}{2}+C=-u^2+C=-\cos^2x+C. $$

Ответ получен. Вообще, можно не вводить букву $u$. Когда вы приобретёте достаточный навык в решении подобного рода интегралов, то необходимость в дополнительных обозначениях отпадёт. Полное решение без пояснений таково:

$$ \int \sin 2x dx=2\cdot\int \sin x\cos x dx=|\sin x dx=-d(\cos x)|=-2\int\cos x d(\cos x)=|u=\cos x|=\\ =-2\int u du=-2\cdot \frac{u^2}{2}+C=-u^2+C=-\cos^2x+C. $$

Ответ : $\int \sin2x dx=-\cos^2x+C$.

Третий способ

Для решения третьим способом применим ту же тригонометрическую формулу: $\sin 2x=2\sin x\cos x$. Подставим вместо $\sin 2x$ выражение $2 \sin x \cos x$, при этом константу $2$ вынесем за знак интеграла:

$$ \int \sin 2x dx=\int 2 \sin x\cos x dx=2\cdot\int \sin x\cos x dx $$

Найдем $d(\sin x)$, используя . Подставим в упомянутую формулу $\sin x$ вместо $y$:

$$ d(\sin x)=(\sin x)"dx=\cos x dx. $$

Итак, $d(\sin x)=\cos x dx$. Из полученного равенства следует, что мы можем в $\int \sin x\cos x dx$ вместо $\cos x dx$ подставить $d(\sin x)$. Значение интеграла при этом не изменится:

$$ 2\cdot\int \sin x\cos x dx=2\cdot\int \sin x \cdot d(\sin x) $$

Говоря иными словами, мы внесли под дифференциал $\sin x$. Теперь, сделав подстановку $u=\sin x$, мы сможем применить формулу №1 из таблицы интегралов:

$$ 2\int\sin x d(\sin x)=|u=\sin x|=2\int u du=2\cdot \frac{u^2}{2}+C=u^2+C=\sin^2x+C. $$

Ответ получен. Полное решение без пояснений имеет вид:

$$ \int \sin 2x dx=2\cdot\int \sin x\cos x dx=|\cos x dx=d(\sin x)|=2\cdot\int \sin x \cdot d(\sin x)=|u=\sin x|=\\ =2\int u du=2\cdot \frac{u^2}{2}+C=u^2+C=\sin^2x+C. $$

Ответ : $\int \sin2x dx=\sin^2x+C$.

Возможно, что после прочтения этого примера, особенно трёх различных (на первый взгляд) ответов, возникнет вопрос. Рассмотрим его.

Вопрос №3

Погодите. Ответы должны совпадать, но они отличаются! В примере №3 различие было всего-то в константе $\frac{8}{9}$, но здесь даже внешне ответы не похожи: $-\frac{1}{2}\cos 2x+C$, $-\cos^2x+C$, $\sin^2x+C$. Неужели всё дело опять в интегральной константе $C$?

Да, дело именно в этой константе. Давайте сведём все ответы к одной форме, после чего это различие в константах станет совсем явным. Начнём с $-\frac{1}{2}\cos 2x+C$. Используем простое тригонометрическое равенство: $\cos 2x=1-2\sin^2 x$. Тогда выражение $-\frac{1}{2}\cos 2x+C$ станет таким:

$$ -\frac{1}{2}\cos 2x+C=-\frac{1}{2}\cdot(1-2\sin^2 x)+C=-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\cdot 2\sin^2x+C=\sin^2 x+C-\frac{1}{2}. $$

Теперь поработаем со вторым ответом, т.е. $-\cos^2x+C$. Так как $\cos^2 x=1-\sin^2x$, то:

$$ -\cos^2x+C=-(1-\sin^2x)+C=-1+\sin^2x+C=\sin^2x+C-1 $$

Три ответа, которые мы получили в примере №4, стали такими: $\sin^2 x+C-\frac{1}{2}$, $\sin^2x+C-1$, $\sin^2x+C$. Полагаю, теперь видно, что отличаются они друг от друга лишь некоторым числом. Т.е. дело опять оказалось в интегральной константе. Как видите, небольшое различие в интегральной константе способно, в принципе, сильно изменить внешний вид ответа, - но от этого ответ не перестанет быть правильным. К чему я веду: если в сборнике задач вы увидите ответ, не совпадающий с вашим, то это вовсе не означает, что ваш ответ неверен. Возможно, что вы просто пришли к ответу иным способом, чем предполагал автор задачи. А убедиться в правильности ответа поможет проверка, основанная на определении неопределённого интеграла . Например, если интеграл $\int \sin2x dx=-\frac{1}{2}\cos 2x+C$ найден верно, то должно выполняться равенство $\left(-\frac{1}{2}\cos 2x+C\right)"=\sin 2x$. Вот и проверим, правда ли, что производная от $\left(-\frac{1}{2}\cos 2x+C\right)$ равна подынтегральной функции $\sin 2x$:

$$ \left(-\frac{1}{2}\cos 2x+C\right)"=\left(-\frac{1}{2}\cos 2x\right)"+C"=-\frac{1}{2}\cdot(\cos 2x)"+0=\\ =-\frac{1}{2}\cdot (-\sin 2x)\cdot (2x)"=-\frac{1}{2}\cdot (-\sin 2x)\cdot 2=\sin 2x. $$

Проверка пройдена успешно. Равенство $\left(-\frac{1}{2}\cos 2x+C\right)"=\sin 2x$ выполнено, поэтому формула $\int \sin2x dx=-\frac{1}{2}\cos 2x+C$ верна. В примере №5 также осуществим проверку результата, дабы убедиться в его правильности. Наличие проверки не является обязательным, хотя в некоторых типовых расчётах и контрольных работах требование проверять результат присутствует.