Определитель матрицы n го порядка можно вычислить. Перестановки и подстановки. Методы вычисления определителей n-го порядка. Определители, их свойства и вычисление

Основываясь на понятиях определителей второго и третьего порядков, можно аналогично ввести понятие определителя порядка n . Определители порядка выше третьего вычисляются, как правило, с использованием свойств определителей, сформулированных в п. 1.3., которые справедливы для определителей любого порядка.

Используя свойство определителей номер 9 0 введем определение определителя 4-го порядка:

Пример 2. Вычислить, используя подходящее разложение.

Аналогично вводится понятие определителя 5-го, 6-го и т.д. порядка. Значит определитель порядка n:

.

Все свойства определителей 2-го и 3-го порядков, рассмотренные раннее, справедливы и для определителей n-го порядка.

Рассмотрим основные методы вычисления определителей n -го порядка.

Замечание: прежде чем применять этот метод, полезно, используя основные свойства определителей, обратить в нуль все, кроме одного, элементы его некоторой строки или столбца. (Метод эффективного понижения порядка)

Метод приведения к треугольному виду заключается в таком преобразовании определителя, когда все его элементы, лежащие по одну сторону от главной диагонали, становятся равными нулю. В этом случае определитель равен произведению элементов его главной диагонали.

Пример 3. Вычислить, приведением к треугольному виду.

Пример 4. Вычислить, используя метод эффективного понижения порядка

.

Решение: по свойству 4 0 определителей из первой строки вынесем множитель 10, а затем будем последовательно умножать вторую строку на 2, на 2, на 1 и складывать соответственно с первой, с третьей и четвертой строками (свойство 8 0).

.

Полученный определитель можно разложить по элементам первого столбца. Он будет сведен к определителю третьего порядка, который вычисляется по правилу Саррюса (треугольника).

Пример 5. Вычислить определитель, приведением к треугольному виду.

.

Пример 3. Вычислить, используя рекуррентные соотношения.

.

.

Лекция 4. Обратная матрица. Ранг матрицы.

1. Понятие обратной матрицы

Определение 1. Квадратная матрица А порядка n называется невырожденной, если ее определитель |A | ≠ 0. В случае, когда | A | = 0, матрица А называется вырожденной.

Только для квадратных невырожденных матриц А вводится понятие обратной матрицы А -1 .

Определение 2 . Матрица А -1 называется обратной для квадратной невырожденной матрицыА, если А -1 А = АА -1 = Е, где Е – единичная матрица порядка n .

Определение 3 . Матрица называетсяприсоединенной, ее элементами являются алгебраические дополнения транспонированной матрицы
.

Алгоритм вычисления обратной матрицы методом присоединенной матрицы.

, где
.

Проверяем правильность вычисления А -1 А = АА -1 = Е. (Е – единичная матрица)

Матрицы А и А -1 взаимообратные. Если | A | = 0, то обратная матрица не существует.

Пример 1. Дана матрица А. Убедиться, что она невырожденная, и найти обратную матрицу
.

Решение:
. Следовательно матрица невырожденная.

Найдем обратную матрицу. Составим алгебраические дополнения элементов матрицы А.

Получаем

.

Рассматривая развернутое выражение для определителей

замечаем, что в каждое слагаемое входят в качестве сомножителей по одному элементу из каждой строки и по одному из каждого столбца определителя, причем всевозможные произведения этого вида входят в состав определителя со знаком плюс или минус. Это свойство полагается в основу обобщения понятия определителя на квадратные матрицы любого порядка. Именно: определителем квадратной матрицы порядка или, короче, определителем порядка называется алгебраическая сумма всевозможных произведений элементов матрицы, взятых по одному из каждой строки и по одному из каждого столбца, причем полученные произведения снабжены знаками плюс и минус по некоторому вполне определенному правилу. Это правило вводится

довольно сложным образом, и мы не будем останавливаться на его формулировке. Существенно отметить, что оно устанавливается так, что обеспечивается следующее важнейшее основное свойство определителя:

1. При перестановке двух строк определитель меняет знак на противоположный.

Для определителя 2 и 3-го порядков это свойство легко проверяется непосредственным вычислением. В общем случае оно доказывается на основе не сформулированного нами здесь правила знаков.

Определители обладают целым рядом других замечательных свойств, которые дают возможность с успехом использовать определители в разнообразных теоретических и численных расчетах, несмотря на чрезвычайную громоздкость определителя: ведь определитель n-го порядка содержит, как нетрудно видеть, слагаемых, каждое слагаемое состоит из сомножителей и слагаемые снабжены знаками по некоторому сложному правилу.

Переходим к перечислению основных свойств определителей, не останавливаясь на их подробных доказательствах.

Первое из этих свойств уже сформулировано выше.

2. Определитель не меняется при транспонировании его матрицы, т. е. при замене строк на столбцы с сохранением порядка.

Доказательство основано на подробном исследовании правила расстановки знаков в слагаемых определителя. Это свойство дает возможность всякое утверждение, касающееся строк определителя, перенести на столбцы.

3. Определитель есть линейная функция от элементов какой-либо его строки (или столбца). Подробнее

где представляют собой выражения, не зависящие от элементов строки.

Это свойство с очевидностью следует из того, что каждое слагаемое содержит по одному и только одному сомножителю из каждой, в частности строки.

Равенство (5) называется разложением определителя по элементам строки, а коэффициенты называются алгебраическими дополнениями элементов в определителе.

4. Алгебраическое дополнение элемента равно, с точностью до знака, так называемому минору определителя, т. е. определителю

долю порядка, получающемуся из данного посредством вычеркивания строки и столбца. Для получения алгебраического дополнения минор нужно взять со знаком . Свойства 3 и 4 сводят вычисление определителя порядка к вычислению определителей порядка

Из перечисленных основных свойств вытекает ряд интересных свойств определителей. Перечислим некоторые на них.

5. Определитель с двумя одинаковыми строками равен пулю.

Действительно, если определитель имеет две одинаковые строки, то при их перестановке определитель не изменяется, ибо строки одинаковые, но вместе с тем он, в силу первого свойства, меняет знак на обратный. Следовательно, он равен нулю.

Сумма произведений элементов какой-либо строки на алгебраические дополнения другой строки равна нулю.

Действительно, такай сумма является результатом разложения определителя с двумя одинаковыми строками по одной из них.

Общий множитель элементов какой-либо строки можно вынести за знак определителя.

Это следует из свойства 3.

8. Определитель с двумя пропорциональными строками равен нулю.

Достаточно вынести множитель пропорциональности, и мы получим определитель с двумя равными строками.

9. Определитель не меняется, если к элементам какой-либо строки добавить числа, пропорциональные элементам другой строки.

Действительно, в силу свойства 3 преобразованный определитель: равен сумме исходного определителя определителя с двумя пропорциональными строками, который равен нулю.

Последнее свойство дает хорошее средство для вычисления определителей. Используя это свойство можно, не менян величины определителя, преобразовать его матрицу так, чтобы в какой-либо строке (или столбце) все элементы, кроме одного, оказались равными нулю. Затем, разложив определитель но элементам этой строки (столбца), мы сведем вычисление определителя порядка к вычислению одного определителя порядка именно, алгебраического дополнения единственного отличного от нуля элемента выбранной строки.

Рассмотрим квадратную таблицу А.

Определение. Определителем n-го порядка называется число, полученное из элементов данной таблицы по следующему правилу:

1 .Определитель n-го порядка равен алгебраической сумме n! членов.

Каждый член представляет собой произведение n-элементов взятых по одному из каждой строки и каждого столбца таблицы.

2 .Член берется со знаком плюс, если перестановки образованные первыми и вторыми индексами элементов , входящие в произведения одинаковой четности (либо обе четные, либо нечетные) и со знаком минус в противоположном случае.

Определитель обозначается символом:

или краткоdet A=.(детерминант А)

Согласно определению = -.

Правило вычисления определителя 3ого порядка:

=

Миноры и алгебраические дополнения

Пусть дан определитель n-го порядка (n>1)

Определение 1. Минором элементаопределителяn-го порядка называется определитель (n-1)-ого порядка полученный из А вычеркиванием i-й строки и j-го столбца, на пересечении которых стоит данный элемент .

Например:

=

Определение 2 . Алгебраическим дополнением элемента называется число

Основные свойства определителей n-го порядка

1.О равносильности строк и столбцов.

Величина определителя n-го порядка не меняется, если у него заменить строки соответствующими столбцами.

2.Если у определителей поменять местами две строки (столбца), то определитель изменит знак на противоположный.

= k

Если все элементы какой-либо строки (или столбца) определителя имеют общий множитель, то этот общий множитель можно вынести за знак определителя.

4.Величина определителя равна нулю, если все элементы какой-либо его строки нули (или столбца).

5.Определитель с двумя пропорциональными строками равен 0.

Например:

6.Величина определителя не изменится, если к его элементам какой-либо строки прибавить соответствующие элементы другой строки, умноженные на одно и то же число.

7.Если элементы какой-либо строки i определителя представлены в виде суммы двух слагаемых, то определитель равен сумме двух определителей, в которых все строки кроме i-й такие же, как в заданном определителе, а i-я строка одного определителя состоит из первых слагаемых, а второго из вторых.

8.Определитель равен сумме произведений всех элементов какой-либо его строки на их алгебраические дополнения.

=

9.Сумма произведений всех элементов какой-либо строки определителя на алгебраические дополнения соответствующих элементов другой строки равна нулю.

Например:

=

Теорема Лапласа

Теорема. Пусть в определителе d порядка n произвольно выбраны k строк (или k столбцов), 1.Тогда сумма произведений всех миноровk-го порядка, содержащихся в выбранных строках, на их алгебраические дополнения равна определителю d.

Следствие . Частный случай теоремы Лапласа - разложение определителя по строке или столбцу. Он позволяет представить определитель квадратной матрицы в виде суммы произведений элементов любой её строки или столбца на их алгебраические дополнения.

Пусть - квадратная матрица размера . Пусть также задан некоторый номер строки i либо номер столбца j матрицы A. Тогда определитель A может быть вычислен по следующим формулам:

Разложение по i-й строке:

Разложение по j-й строке:

где - алгебраическое дополнение к минору, расположенному в строке с номером i и столбце с номером j.

Утверждение является частным случаем теоремы Лапласа. Достаточно в ней положить k равным 1 и выбрать -ую строку, тогда минорами, расположенными в этой строке будут сами элементы.

Примеры для самостоятельного решения .

1.Найти х из уравнений и проверить подстановкой корень в определитель.

а); б)

Очевидно, что для системы из n линейных уравнений с n неизвестными получим матрицу коэффициентов размером :

Введем понятие определителя n -го порядка.

Определение 4.1:

Определителем n -го порядка называется число равное

Сумме n ! слагаемых;

Каждое слагаемое есть произведение n элементов матрицы, взятых по одному из каждой строки и каждого столбца;

Каждое слагаемое берется со знаком «+», если перестановка из вторых индексов четная, и со знаком «-», если перестановка из вторых индексов нечетная, при условии, что первые индексы образуют натуральный ряд чисел.

Т.о.

Здесь å берется по всем возможным перестановкам , составленным из чисел 1,2,…,n .

5. Основные свойства определителей.

Установим основные свойства определителей, которые для простоты будем показывать на определителе 2-го порядка.

1. При замене строк соответствующими столбцами (именуемой транспони­рованием ) определитель остается неизменным. Действительно:

Следовательно, , что и требовалось доказать.

Примечание : Полученный выше результат дает нам право утверждать, что строки и столбцы определителя, именуемые в дальней­шем рядами, равноправны.

2. При перестановке двух рядов определитель меняет знак на противоположный.

Действительно, Поменяем местами строки и вычислим определитель

что и требовалось доказать.

3. Если в определителе два параллельных ряда одинаковы, то он равен нулю. Действительно, поменяем местами две одинаковых строки. Тогда величина определителя не изменится, а знак в силу свойства 2. поменяется. Единственное число, которое не меняется при изменении знака – ноль.

4. Общий множитель членов любого ряда можно вынести за знак определителя.

Что и требовалось доказать.

5. Если все элементы любого ряда являются суммами одинакового числа слагаемых, то определитель равен сумме определителей, в которых элементами рассматриваемого ряда служат отдельные слагаемые.

что и требовалось доказать.

6. Определитель не изменится, если к элементам любого ряда прибавить соответствующие элементы параллельного ряда, умноженные на не­которое число.

Умножим вторую строку на и прибавим ее к первой строке:

Действительно, в силу свойств 3,4,5

=

что и требовалось доказать.

6. Миноры и алгебраические дополнения элементов оп­ределителя.

Рассмотрим определитель n -го порядка:

.

Выделим в определителе i -ю строку и j -й столбец. На пересечении этих рядов стоит элемент

Если в определителе мы вычеркнем i -юстроку и j -йстолбец, то получим определитель по­рядка п -1 (т. е. имеющий порядок, на единицу меньший по сравнению с исходным определителем), называемый мино­ром элемента определителя . Будем обозначать мино­р элемента символом .

Определение 6.1. А лгебраическим дополнением эле­мента определителя называется минор , взятый со знаком , и обозначается символом . Согласно определению получим

.

Пример 6.1. Найти минор и алгебраическое дополнение определителя

Методы вычисления определителей n-го порядка.

Пусть дано упорядоченное множество n элементов. Всякое расположение n элементов в определённом порядке называется перестановкой из этих элементов.

Так как каждый элемент определяется своим номером, то будем говорить, что дано n натуральных чисел.

Число различных перестановок из n чисел равно n!

Если в некоторой перестановке из n чисел число i стоит раньше j , но i > j , т. е. большее число стоит раньше меньшего, то говорят, что пара i , j составляет инверсию .

Пример 1. Определить число инверсий в перестановке (1, 5, 4, 3, 2)

Решение.

Числа 5 и 4, 5 и 3, 5 и 2, 4 и 3, 4 и 2, 3 и 2 образуют инверсии. Общее число инверсий в данной перестановке равно 6.

Перестановка называется чётной , если общее число инверсий в ней чётное, в противном случае она называется нечётной . В рассмотренном выше примере дана чётная перестановка.

Пусть дана некоторая перестановка …, i , …, j , … (*) . Преобразование, при котором числа i и j меняются местами, а остальные остаются на своих местах, называется транспозицией . После транспозиции чисел i и j в перестановке (*) получится перестановка …, j , …, i , …, где все элементы, кроме i и j , остались на своих местах.

От любой перестановки из n чисел можно перейти к любой другой перестановке из этих чисел с помощью нескольких транспозиций.

Всякая транспозиция меняет чётность перестановки.

При n ≥ 2 число чётных и нечётных перестановок из n чисел одинаково и равно .

Пусть М – упорядоченное множество из n элементов. Всякое биективное преобразование множества М называется подстановкой n -й степени .

Подстановки записывают так: https://pandia.ru/text/78/456/images/image005_119.gif" width="27" height="19"> и все ik различны.

Подстановка называется чётной , если обе её строки (перестановки) имеют одинаковые чётности, т. е. либо обе чётные, либо обе нечётные. В противном случае подстановка называется нечётной .

При n ≥ 2 число чётных и нечётных подстановок n -й степени одинаково и равно .

Определителем квадратной матрицы А второго порядка А= называется число, равное =а11а22–а12а21.

Определитель матрицы называют также детерминантом . Для определителя матрицы А используют следующие обозначения: det A, ΔA.

Определителем квадратной матрицы А=третьего порядка называют число, равное │А│=а11а22а33+а12а23а31+а21а13а32‑а13а22а31‑а21а12а33‑а32а23а11

Каждое слагаемое алгебраической суммы в правой части последней формулы представляет собой произведение элементов матрицы, взятых по одному и только одному из каждого столбца и каждой строки. Для определения знака произведения полезно знать правило (его называют правилом треугольника), схематически изображённое на рис.1:

«+» «-»

https://pandia.ru/text/78/456/images/image012_64.gif" width="73" height="75 src=">.

Решение.

Пусть А – матрица n-го порядка с комплексными элементами:

А=https://pandia.ru/text/78/456/images/image015_54.gif" width="112" height="27 src=">(1) ..gif" width="111" height="51">(2) .

Определителем n-го порядка, или определителем квадратной матрицы А=(aij) при n>1, называется алгебраическая сумма всевозможных произведений вида (1) , причём произведение (1) берётся со знаком «+», если соответствующая ему подстановка (2) чётная, и со знаком «‑», если подстановка нечётная.

Минором М ij элемента aij определителя называется определитель, полученный из исходного вычёркиванием i -й строки и j - го столбца.

Алгебраическим дополнением А ij элемента aij определителя называют число А ij =(–1) i + j М ij , где М ij – минор элемента aij .

Свойства определителей

1. Определитель не изменяется при замене всех строк соответствующими столбцами (определитель не изменится при транспонировании).

2. При перестановке двух строк (столбцов) определитель меняет знак.

3. Определитель с двумя одинаковыми (пропорциональными) строками (столбцами) равен нулю.

4. Общий для всех элементов строки (столбца) множитель можно вынести за знак определителя.

5. Определитель не изменится, если к элементам некоторой строки (столбца) прибавить соответствующие элементы другой строки (столбца), умноженные на одно и то же число, отличное от нуля.

6. Если все элементы некоторой строки (столбца) определителя равны нулю, то он равен нулю.

7. Определитель равен сумме произведений элементов любой строки (столбца) на их алгебраические дополнения (свойство разложения определителя по строке (столбцу)).

Рассмотрим некоторые способы вычисления определителей порядка n .

1. Если в определителе n-го порядка хотя одна строка (или столбец) состоят из нулей, то определитель равен нулю.

2. Пусть в определителе n-го порядка какая-то строка содержит отличные от нуля элементы. Вычисление определителя n-го порядка можно свести в этом случае к вычислению определителя порядка n-1. Действительно, используя свойства определителя, можно все элементы какой-либо строки, кроме одного, сделать нулями, а затем разложить определитель по указанной строке. Например, переставим строки и столбцы определителя так, чтобы на месте а11 стоял отличный от нуля элемент.

https://pandia.ru/text/78/456/images/image018_51.gif" width="32 height=37" height="37">.gif" width="307" height="101 src=">

Заметим, что переставлять строки (или столбцы) не обязательно. Можно нули получать в любой строке (или столбце) определителя.

Общего метода вычисления определителей порядка n не существует, если не считать вычисление определителя заданного порядка непосредственно по определению. К определителю того или иного специального вида применяются различные методы вычисления, приводящие к более простым определителям.

3. Приведем к треугольному виду. Пользуясь свойствами определителя, приводим его к так называемому треугольному виду, когда все элементы, стоящие по одну сторону от главной диагонали равны нулю. Полученный определитель треугольного вида равен произведению элементов, стоящих на главной диагонали. Если удобнее получить нули по одну сторону от побочной диагонали, то он будет равен произведению элементов побочной диагонали, взятому со знаком https://pandia.ru/text/78/456/images/image022_48.gif" width="49" height="37">.

Пример 3. Вычислить определитель разложением по строке

https://pandia.ru/text/78/456/images/image024_44.gif" width="612" height="72">

Пример 4. Вычислить определитель четвёртого порядка

https://pandia.ru/text/78/456/images/image026_45.gif" width="373" height="96 src=">.

2-й способ (вычисление определителя путём разложения его по строке):

Вычислим этот определитель разложением по строке, предварительно преобразовав его так, чтобы в какой-то его строке все элементы кроме одного обратились в ноль. Для этого прибавим первую строку определителя к третьей. Затем умножим третий столбец на (‑5) и сложим с четвёртым столбцом. Преобразованный определитель раскладываем по третьей строке. Минор третьего порядка приводим к треугольному виду относительно главной диагонали.

https://pandia.ru/text/78/456/images/image028_44.gif" width="202" height="121 src=">

Решение.

Вычтем из первой строки вторую, из второй – третью и т. д., наконец, из предпоследней последнюю (последняя строка остается без изменений).

https://pandia.ru/text/78/456/images/image030_39.gif" width="445" height="126 src=">

Первый определитель в сумме – треугольного вида относительно главной диагонали, поэтому он равен произведению диагональных элементов, т. е. (n–1)n. Второй определитель в сумме преобразуем, прибавив последнюю строку ко всем предыдущим строкам определителя. Полученный при этом преобразовании определитель будет треугольного вида относительно главной диагонали, поэтому он будет равен произведению диагональных элементов, т. е. nn-1:

=(n–1)n+(n–1)n + nn-1.

4. Вычисление определителя с помощью теоремы Лапласа. Если в определителе выделить k строк (или столбцов) (1£k£n-1), то определитель равен сумме произведений всех миноров k-ого порядка, расположенных в выделенных k строках (или столбцах), на их алгебраические дополнения.

Пример 6. Вычислить определитель

https://pandia.ru/text/78/456/images/image033_36.gif" width="538" height="209 src=">

ИНДИВИДУАЛЬНОЕ ЗАДАНИЕ №2

«ВЫЧИСЛЕНИЕ ОПРЕДЕЛИТЕЛЕЙ N-ГО ПОРЯДКА»

Вариант 1

Вычислить определители

https://pandia.ru/text/78/456/images/image035_39.gif" width="114" height="94 src=">