Пример решений задачи коммивояжера методом ветвей и границ. Метод ветвей и границ. Пример решения

В основе метода ветвей и границ лежит идея последовательного разбиения множества допустимых решений на подмножества. На каждом шаге метода для элементов разбиения выполняется проверка для выяснения, содержит данное подмножество оптимальное решение или нет. Для этого вычисляется нижняя оценка целевой функции на данном подмножестве.

Если оценка снизу не меньше рекорда (наилучшего из найденных решений), то подмножество может больше не рассматриваться. Проверяемое подмножество может быть отброшено еще и в том случае, когда в нем удается найти наилучшее решение. Если значение целевой функции на найденном решении меньше рекорда, то происходит смена рекорда. По окончанию работы алгоритма рекорд является результатом его работы. Если удается отбросить все элементы разбиения, то рекорд - оптимальное решение задачи. В противном случае, из неотброшенных подмножеств выбирается наиболее перспективное (например, с наименьшим значением нижней оценки), и подвергается разбиению. Новые подмножества вновь подвергаются проверке и т.д. Вычисление нижней границы является важнейшим элементом данной схемы.

Для каждой конкретной задачи целочисленного программирования (другими словами, дискретной оптимизации) метод ветвей и границ реализуется по-своему. Есть много модификаций этого метода.

Рассмотрим реализацию метода ветвей и границ для задачи коммивояжёра и задачи о рюкзаке.

Рассмотрим алгоритм Литтла (методом ветвей и границ) для задачи коммивояжера. Идею можно сформулировать следующим образом. В каждой строке матрицы расстояний находится минимальный элемент и вычитается из всех элементов соответствующей строки. Получается матрица, приведенная по строкам. Аналогично приводится матрица по столбцам. Получается матрица, приведенная по строкам и столбцам. Суммируя при приведении минимальные элементы, получим константу приведения, которая будет нижней границей множества всех допустимых гамильтоновых контуров. После находятся степени нулей для приведенной матрицы (сумма минимальных элементов строки и столбца, соответствующих этому нулю) и выбирается дуга , для которой степень нулевого элемента достигает максимального значения. Множество всех гамильтоновых контуров разбивается на два подмножества, одно из которых содержит дугу , второе эту дугу не содержит. После этого приводятся полученные матрицы гамильтоновых контуров и сравниваются нижние границы подмножества гамильтоновых контуров с целью выбора для дальнейшего разбиения множества с меньшей нижней границей. Процесс разбиения множеств на подмножества сопровождается построением дерева ветвлений. Сравнивая длину гамильтонова контура с нижними границами оборванных ветвей, выбирается для дальнейшего ветвления подмножество с нижней границей, меньшей полученного контура, до тех пор, пока не получен маршрут с наименьшей длиной или не становится ясно, что такого маршрута не существует.

Пример.

Пусть в задаче коммивояжера задана следующая матрица стоимостей переездов

Находим в каждой строке матрицы минимальный элемент и вычитаем его из всех элементов соответствующей строки. Получим матрицу, приведенную по строкам, с элементами

.

Если в матрице , приведенной по строкам, окажутся столбцы, не содержащие нуля, то приводим ее по столбцам. Для этого в каждом столбце матрицы выбираем минимальный элемент , и вычитаем его из всех элементов соответствующего столбца. Получим матрицу

,

каждая строка и столбец, которой содержит хотя бы один нуль. Такая матрица называется приведенной по строкам и столбцам.

Суммируя элементы и , получим константу приведения:

.

Находим степени нулей для приведенной по строкам и столбцам матрицы. Для этого мысленно нули в матице заменяем на знак и находим сумму минимальных элементов строки и столбца, соответствующих этому нулю. Записываем ее в правом верхнем углу клетки:

.

Выбираем дугу , для которой степень нулевого элемента достигает максимального значения

Разбиваем множество всех допустимых маршрутов на два подмножества:

– подмножество, содержащее дугу ;

– подмножество, не содержащее дугу

Для вычисления оценки затрат для маршрутов, включающих дугу , вычеркиваем в матрице строку и столбец и заменяем симметричный элемент на знак . Приводим полученную матрицу и вычисляем сумму констант приведения .

4.3.1. Общая схема метода «ветвей и границ». Другим широко применяемым для решения задач дискретного програм­мирования методом является метод ветвей и границ . Впервые данный метод для решения ЦЗЛП предложили в 1960 г. Лэнг и Дойг, а его «второе рождение» произошло в 1963 г. в связи с выходом работы Литтла, Мурти, Суини и Кэрел, посвященной решению задачи о коммивояжере .

Вообще говоря, термин «метод ветвей и границ» является соби­рательным и включает в себе целое семейство методов, применяе­мых для решения как линейных, так и нелинейных дискретных задач, объединяемое общими принципами. Кратко изложим их.

Пусть стоит задача:

где D - конечное множество.

Алгоритм является итеративным, и на каждой итерации про­исходит работа с некоторым подмножеством множества D . На­зовем это подмножество текущим и будем обозначать его как D ( q ) , где q - индекс итерации. Перед началом первой итерации в качестве текущего множества выбирается все множество D (D (1) =D ), и для него некоторым способом вычисляется значе­ние верхней оценки для целевой функции max f(x) ≤ ξ( D (1)). Стандартная итерация алгоритма состоит из следующих этапов:

1°. Если можно указать план x (q ) ∊D (q ) , для которого f(x (q ) ) ≤ξ( D (q )), то x (q ) =х* - решение задачи (4.29).

2°. Если такой план не найден, то область определения D (q ) некоторым образом разбивается на подмножества D 1 (q ) , D 2 (q ) , ..., D lq (q ) , удовлетворяющие условиям:

Для каждого подмножества находятся оценки сверху (вер­хние границы) для целевой функции ξD 1 ( q ) , ξD 2 ( q ) , ..., ξD l 1 ( q ) , уточняющие ранее полученную оценку ξD ( q ) , то есть ξD i ( q ) ≤ ξD ( q ) , i ∊1:l q . Возможно одно из двух:

2.1. Если существует такой план х ( q ) , что

то этот план оптимальный.

2.2. Если такой план не найден, то выбирается одно из мно­жеств D i ( q ) , i ∊1:l q (как правило, имеющее наибольшую оценку

Все имеющиеся к текущему моменту концевые подмножества, т. е. те подмножества, которые еще не подверглись процессу дробления, переобозначаются как D 1 ( q +1) , D 2 ( q +1) ,..., D l ( q +1) ( q +1) , после чего процесс повторяется.

Схема дробления множества D представлена на рис. 4.3 в виде графа. Существуют и более сложные системы индексации подмножеств, при которых не требуется их переобозначение на каждом шаге.

Конкретные реализации метода ветвей и границ связаны с правилами разбиения на подмножества (правилами ветвления) и построения оценок значений целевых функций на данных под­множествах (границ).

4.3.2. Решение ЦЗЛП методом ветвей и границ. Рас­смотрим применение алгоритма метода ветвей и границ для решения ЦЗЛП (4.2)-(4.3). Как уже упоминалось, через D ( q ) обозначается подмножество множества допустимых планов за­дачи. Перед началом первой итерации (q = 1) в качестве теку­щего множества берется все множество D (D (1) = D ), после чего решается стандартная задача линейного программирования (D (1) , f ). Нетрудно заметить, что она является непрерывным аналогом

исходной задачи (4.2)-(4.3). Если найденный оптималь­ный план (1) содержит только целочисленные компоненты, то он является и оптимальным планом для (4.2)-(4.3): (1) = x* . В противном случае значение f ( (1)) становится оценкой (верх­ней границей) значения целевой функции на множестве D (1) , и мы переходим к выполнению стандартной итерации алгоритма. Опишем входящие в нее этапы.

1) Выбирается некоторая нецелочисленная компонента пла­на k ( q ) . Поскольку в оптимальном плане она должна быть це­лой, то можно наложить ограничения x k ≤ [ k ( q ) ] и x k ≥ [ k ( q ) ]+1. Таким образом, D ( q ) разбивается на подмножества

Графическая интерпретация такого разбиения множества D ( q ) приведена на рис. 4.4.

2) Решаются задачи линейного программирования

Соответствующие максимальные значения целевой функции принимаются как ее оценки на этих множествах:

Если оптимальный план для одной из решенных задач удов­летворяет условию

и содержит только целые компоненты, то, значит, найдено ре­шение основной задачи (4.2)-(4.3). В противном случае среди всех концевых подмножеств , полученных как на предыду­щих (D i ( q )), так и на текущем (D 1 ( q ) , D 2 ( q )) этапе, выбирается об­ласть с наибольшей оценкой ξ(D i ( q )). Она становится текущим рассматриваемым подмножеством (D ( q +1)). Далее производится перенумерация концевых множеств и вычислительный процесс итеративно повторяется.

При решении задач (D 1 ( q ) , f ) и (D 2 ( q ) , f ) можно воспользовать­ся результатами решения предыдущей задачи (D ( q ) , f ). Рас­смотрим вариант организации вычислительного процесса на примере задачи ( 1 ( q ) , f ) (для ( 2 ( q ) , f ) он выглядит аналогично с точностью до знаков неравенств).

Предположим, что на последнем шаге решения задачи (D ( q ) , f ) был получен оптимальный базис β. Без ограничения общности можно считать, что он состоит из первых m столбцов матрицы задачи. Данное предположение делается исключитель­но для обеспечения наглядности дальнейшего изложения и оче­видно, что его выполнения можно всегда добиться за счет про­стой перенумерации векторов а j . По аналогии с предыдущим параграфом введем обозначения для элементов матрицы задачи (D ( q ) , f ) и ее вектора ограничений относительно базиса :

Тогда система ограничений задачи (D ( q ) , f ) может быть пред­ставлена как

а получаемая на ее основе система ограничений задачи ( 1 ( q ) , f ) как

где х n +1 ≥ 0 - фиктивная переменная, которой соответствует нулевой коэффициент в целевой функции, добавляемая для пре­образования неравенства в строгое равенство.

Очевидно, что 1≤k≤m , т. к. небазисные компоненты опти­мального плана (m +1≤j≤n ) равны нулю, т. е. являются заведо­мо целочисленными. Тогда с учетом сделанных предположений о виде базиса можно записать:

Как видно из (4.39), в k -м столбце имеется всего два отлич­ных от нуля элемента: в k -й и (m +1)-й строках. Если вычесть из (m +1)-го уравнения k -e, то, учитывая, что [ά k ] – ά k =-{ά k }, по­лучим эквивалентную систему:

Проведенные преобразования системы ограничений D 1 ( q ) по­зволили явно выделить сопряженный базис, образуемый столб­цами с номерами 1,..., m , n +1, и соответствующий ему псевдо­план (ά 1 , ..., ά m , 0,...., 0, -{ά k }), т.е. для решения задачи (D 1 ( q ) , f ) может быть применен алгоритм двойственного симплекс-мето­да. Практически вычислительный процесс для данного этапа сводится к преобразованию к симплекс-таблицы, показанному на рис. 4.5.

Для случая задачи (D 2 ( q ) , f ) преобразование симплекс-табли­цы, получаемое на базе аналогичных рассуждений, приведено на рис. 4.6.

Очевидным недостатком алгоритма метода ветвей и границ при решении задач большой размерности является необходи­мость перебрать слишком большое количество вариантов пе­ред тем, как будет найден оптимальный план. Однако он отчасти может быть преодолен, если ограничиться поиском не опти­мального, а просто «хорошего» (близкого к оптимальному) пла­на. О степени такой близости и скорости приближения к экст­ремуму нетрудно судить по изменению значений оценок.

Подчеркнем, что приведенная реализация метода ветвей и границ является одной из многих . Помимо нее, например, очень популярна версия метода решения задачи коммивояжера, в которой для ветвления и построения оценок используют специфические свойства данной модели. При желании о ней мож­но прочесть в .

КЛЮЧЕВЫЕ ПОНЯТИЯ

Ø Ø Задачи с неделимостями.

Ø Ø Экстремальные комбинаторные задачи.

Ø Ø Задачи с разрывными целевыми функциями.

Ø Ø Правильное отсечение.

Ø Ø Метод Гомори.

Ø Ø Методы ветвей и границ.

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

4.1. Какие основные проблемы возникают при решении дис­кретных задач?

4.2. Сформулируйте задачу о ранце.

4.3. Какие экономико-математические модели могут быть све­дены к задаче о коммивояжере?

4.4. Приведите пример моделей с разрывными целевыми функ­циями.

4.5. Какой принцип используется для построения правильно­го отсечения в методе Гомори?

4.6. Перечислите основные этапы, входящие в «большую» итерацию метода Гомори.

4.7. Какую роль играет алгоритм двойственного симплекс-ме­тода при решении целочисленной

линейной задачи мето­дом Гомори?

4.8. Перечислите принципиальные идеи, лежащие в основе ме­тодов ветвей и границ.

4.9. Как производится построение отсечения при решении це­лочисленной линейной задачи методом

ветвей и границ?

4.10. Опишите схему решения целочисленной задачи линейно­го программирования методом ветвей и

4.11. За счет каких преобразований удается построить сопря­женный базис при добавлении

отсекающего ограничения?

Метод ветвей и границ -- один из комбинаторных методов. Его суть заключается в упорядоченном переборе вариантов и рассмотрении лишь тех из них, которые оказываются по определенным признакам перспективными, и отбрасывании бесперспективных вариантов.

Метод ветвей и границ состоит в следующем: множество допустимых решений (планов) некоторым способом разбивается на подмножества, каждое из которых этим же способом снова разбивается на подмножества. Процесс продолжается до тех пор, пока не получено оптимальное целочисленное решение исходной задачи.

Алгоритм решения:

Первоначально находим симплексным методом или методом искусственного базиса оптимальный план задачи без учета целочисленности переменных. Пусть им является план X 0 . Если среди компонент этого плана нет дробных чисел, то тем самым найдено искомое решение данной задачи и

Если же среди компонент плана X 0 имеются дробные числа, то X 0 не удовлетворяет условию целочисленности и необходимо осуществить упорядоченный переход к новым планам, пока не будет найдено решение задачи. Покажем, как это можно сделать, предварительно отметив, что F(X 0) F(X) для всякого последующего плана X.

Предполагая, что найденный оптимальный план X 0 не удовлетворяет условию целочисленности переменных, тем самым считаем, что среди его компонент есть дробные числа. Пусть, например, переменная приняла в плане X 0 дробное значение. Тогда в оптимальном целочисленном плане ее значение будет по крайней мере либо меньше или равно ближайшему меньшему целому числу, либо больше или равно ближайшему большему целому числу. Определяя эти числа, находим симплексным методом решение двух задач линейного программирования:

Найдем решение задач линейного программирования (I) и (II). Очевидно, здесь возможен один из следующих четырех случаев:

• 1. Одна из задач неразрешима, а другая имеет целочисленный оптимальный план. Тогда этот план и значение целевой функции на нем и дают решение исходной задачи.
• 2. Одна из задач неразрешима, а другая имеет оптимальный план, среди компонент которого есть дробные числа. Тогда рассматриваем вторую задачу и в ее оптимальном плане выбираем одну из компонент, значение которой равно дробному числу, и строим две задачи, аналогичные задачам (I) и (II).
• 3. Обе задачи разрешимы. Одна из задач имеет оптимальный целочисленный план, а в оптимальном плане другой задачи есть дробные числа. Тогда вычисляем значения целевой функции на этих планах и сравниваем их между собой. Если на целочисленном оптимальном плане значение целевой функции больше или равно ее значению на плане, среди компонент которого есть дробные числа, то данный целочисленный план является оптимальным для исходной задачи и он вместе со значением целевой функции на нем дает искомое решение.

Если же значение целевой функции больше на плане, среди компонент которого есть дробные числа, то следует взять одно из таких чисел и для задачи, план которой рассматривается, необходимо построить две задачи, аналогичные (I) и (II).

4. Обе задачи разрешимы, и среди оптимальных планов обеих задач есть дробные числа. Тогда вычисляем значение целевой функции на данных оптимальных планах и рассматриваем ту из задач, для которой значение целевой функции является наибольшим. В оптимальном плане этой задачи выбираем одну из компонент, значение которой является дробным числом, и строим две задачи, аналогичные (I) и (II).

Таким образом, описанный выше итерационный процесс может быть представлен в виде некоторого дерева, на котором исходная вершина отвечает оптимальному плану Х 0 задачи (1)-(3), а каждая соединенная с ней ветвью вершина отвечает оптимальным планам задач (I) и (II). Каждая из этих вершин имеет свои ветвления. При этом на каждом шаге выбирается та вершина, для которой значение функции является наибольшим. Если на некотором шаге будет получен план, имеющий целочисленные компоненты, и значение функции на нем окажется больше или равно, чем значение функции в других возможных для ветвления вершинах, то данный план является оптимальным планом исходной задачи целочисленного программирования и значение целевой функции на нем является максимальным.

Итак, процесс нахождения решения задачи целочисленного программирования (1)-(4) методом ветвей и границ включает следующие основные этапы:

• 1. Находят решение задачи линейного программирования (1)-(3).
• 2. Составляют дополнительные ограничения для одной из переменных, значение которой в оптимальном плане задачи (1)-(3) является дробным числом.
• 3. Находят решение задач (I) и (II), которые получаются из задачи (1)-(3) в результате присоединения дополнительных ограничений.
• 4. В случае необходимости составляют дополнительные ограничения для переменной, значение которой является дробным, формулируют задачи, аналогичные задачам (I) и (II), и находят их решение. Итерационный процесс продолжают до тех пор, пока не будет найдена вершина, соответствующая целочисленному плану задачи (1)-(3) и такая, что значение функции в этой вершине больше или равно значению функции в других возможных для ветвления вершинах.

Описанный выше метод ветвей и границ имеет более простую логическую схему расчетов, чем метод Гомори. Поэтому в большинстве случаев для нахождения решения конкретных задач целочисленного программирования с использованием ЭВМ применяется именно этот метод.

целочисленный программирование задача коммивояжер ранец

Впервые метод ветвей и границ был предложен в 1960 г. в работе Лэнд и Дойг применительно к задаче целочисленного линейного программирования. Однако эта работа не оказала заметного непосредственного влияния на развитие дискретного программирования. Фактически «второе рождение» метода ветвей и границ связано с работой Литтла, Мурти, Суини и Кэрел , посвященной задаче коммивояжера; в этой же работе было впервые предложено и общепринятое теперь название метода «метод ветвей и границ». Начиная с этого момента появляется весьма большое число работ, посвященных методу ветвей и границ и различным его модификациям. Столь большой успех (да еще применительно к «классически трудной» задаче о коммивояжере) объясняется тем, что Литтл, Мурти, Суини и Кэрел первыми обратили внимание на широту возможностей метода ветвей и границ, отметили важность использования специфики задачи и сами весьма удачно этой спецификой воспользовались.

В § 1 настоящей главы излагается общая идея метода ветвей и границ; в § 2 - алгоритм Лэнд и Дойг для задачи целочисленного линейного программирования, в § 3 - метод Литтла и др. авторов для задачи коммивояжера.

§ 1. Идея метода ветвей и границ

1.1. Рассмотрим задачу дискретного программирования в следующей общей форме.

Минимизировать

при условии

Здесь G - некоторое конечное множество.

1.2. В основе метода ветвей и границ лежат следующие построения, позволяющие в ряде случаев существенно уменьшить объем перебора.

I. Вычисление нижней границы (оценки).

Часто удается найти нижнюю границу (оценку) целевой функции на множестве планов (или на некотором его подмножестве т. е. такое число что для имеет место

(соответственно для имеет место Разбиение на подмножества (ветвление). Реализация метода связана с постепенным разбиением множества планов на дерево подмножеств (ветвлением). Ветвление происходит по следующей многошаговой схеме.

0-й шаг. Имеется множество Некоторым способом оно разбивается на конечное число (обычно не пересекающихся) подмножестве шаг Имеются множества , еще не подвергавгпиеся ветвлению. По некоторому правилу (указанному ниже) среди них выбирается множество и разбивается на конечное число подмножеств:

Еще не подвергавшиеся разбиению множества

заново обозначаются через

Несколько шагов такого процесса последовательного разбиения схематически изображены на рис. 10.1.1.

III. Пересчет оценок. Если множество то, очевидно,

Поэтому, разбивая в процессе решения некоторое множество на подмножества

В конкретных ситуациях часто оказывается возможным добиться улучшения оценки, т. е. получить хотя бы для некоторых строгое неравенство

IV. Вычисление планов. Для конкретных задач могут быть указаны различные способы нахождения планов в последовательно разветвляемых подмножествах. Любой такой способ существенно опирается на специфику задачи.

V. Признак оптимальности. Пусть

и план X принадлежит некоторому подмножеству Если при этом

то X - оптимальный план задачи (1.1) - (1.2).

Доказательство непосредственно следует из определения оценки.

Обычно этот признак применяется на некотором этапе ветвления (т. е., говоря формально, при ; см. п. II).

VI. Оценка точности приближенного решения. Пусть

Если X - некоторый план исходной задачи (т. е. ), то

Доказательство и здесь сразу следует из определения оценки.

Очевидно, что если разность невелика (т. е. не превышает некоторого выбранного для данной задачи числа), то X можно принять за приближенное решение, за оценку точности приближения.

1.3. Изложим формальную схему метода ветвей и границ.

0-й шаг. Вычисляем оценку . Если при этом удается найти такой план X, что

то X - оптимальный план.

Если оптимальный план не найден, то по некоторому способу разбиваем множество на конечное число подмножеств

и переходим к шагу.

1-й шаг. Вычисляем оценки Если при этом удается найти такой план X, что для некоторого и

то X - оптимальный план.

Если же оптимальный план не найден, то выбираем «наиболее перспективное» для дальнейшего разбиения множество по следующему правилу:

Разбиваем множество на несколько (обычно не пересекающихся) подмножеств.

5x 1 + 2x 2 ≤ 14
2x 1 + 5x 2 ≤ 16
x 1 , x 2 – целые числа
Z = 3x 1 + 5x 2 → max
Решение находим с помощью калькулятора .:
Построим область допустимых решений, т.е. решим графически систему неравенств. Для этого построим каждую прямую и определим полуплоскости, заданные неравенствами (полуплоскости обозначены штрихом).

Границы области допустимых решений
Пересечением полуплоскостей будет являться область, координаты точек которого удовлетворяют условию неравенствам системы ограничений задачи.
Обозначим границы области многоугольника решений.

Рассмотрим целевую функцию задачи F = 3x 1 +5x 2 → max.
Построим прямую, отвечающую значению функции F = 0: F = 3x 1 +5x 2 = 0. Будем двигать эту прямую параллельным образом. Поскольку нас интересует максимальное решение, поэтому двигаем прямую до последнего касания обозначенной области. На графике эта прямая обозначена пунктирной линией.

Прямая F(x) = const (1) и (2)
5x 1 +2x 2 ≤14
2x 1 +5x 2 ≤16

Решив систему уравнений, получим: x 1 = 1.8095, x 2 = 2.4762
F(X) = 3*1.8095 + 5*2.4762 = 17.8095
Оптимальное значение переменной x 1 =1.81 оказалось нецелочисленным.
В первой из них к условиям задачи 11 добавляется условие х 1 ≥ 2, а к задаче 12 - условие х 1 ≤ 1.
Эта процедура называется ветвлением по переменной х 1 .

5x 1 +2x 2 ≤14	(1)
2x 1 +5x 2 ≤16	(2)
x 1 ≥2	(3)
x 1 ≥0	(4)
x 2 ≥0	(5)

Прямая F(x) = const пересекает область в точке B. Так как точка B получена в результате пересечения прямых (1) и (3) , то ее координаты удовлетворяют уравнениям этих прямых:
5x 1 +2x 2 ≤14
x 1 ≥2

Откуда найдем максимальное значение целевой функции:
F(X) = 3*2 + 5*2 = 16

Решение задачи получилось целочисленным.
Новое значение текущего рекорда будет равно F(X) = 16.
Так как найденная точка является первым целочисленным решением, то ее и соответствующее ей значение ЦФ следует запомнить. Сама точка называется текущим целочисленным рекордом или просто рекордом, а оптимальное значение целочисленной задачи - текущим значением рекорда . Это значение является нижней границей оптимального значения исходной задачи Z*.

5x 1 +2x 2 ≤14	(1)
2x 1 +5x 2 ≤16	(2)
x 1 ≤1	(3)
x 1 ≥0	(4)
x 2 ≥0	(5)

Область допустимых решений представляет собой многоугольник
Прямая F(x) = const (2) и (3) , то ее координаты удовлетворяют уравнениям этих прямых:
2x 1 +5x 2 ≤16
x 1 ≤1

Решив систему уравнений, получим: x 1 = 1, x 2 = 2.8
Откуда найдем максимальное значение целевой функции:
F(X) = 3*1 + 5*2.8 = 17

Оптимальное значение переменной x 2 =2.8 оказалось нецелочисленным.
Разбиваем задачу 12 на две подзадачи 121 и 122.
В первой из них к условиям задачи 121 добавляется условие х 2 ≥ 3, а к задаче 122 - условие х 2 ≤ 2.
Решим графически задачу 121 как задачу ЛП.

5x 1 +2x 2 ≤14	(1)
2x 1 +5x 2 ≤16	(2)
x 1 ≤1	(3)
x 2 ≥3	(4)
x 1 ≥0	(5)
x 2 ≥0	(6)

Область допустимых решений представляет собой треугольник.
Прямая F(x) = const пересекает область в точке C. Так как точка C получена в результате пересечения прямых (2) и (4) , то ее координаты удовлетворяют уравнениям этих прямых:
2x 1 +5x 2 ≤16
x 2 ≥3

Откуда найдем максимальное значение целевой функции:
F(X) = 3*0.5 + 5*3 = 16.5

Решим графически задачу 122 как задачу ЛП.

5x 1 +2x 2 ≤14	(1)
2x 1 +5x 2 ≤16	(2)
x 1 ≤1	(3)
x 2 ≤2	(4)
x 1 ≥0	(5)
x 2 ≥0	(6)

Область допустимых решений представляет собой многоугольник
Прямая F(x) = const пересекает область в точке D. Так как точка D получена в результате пересечения прямых (3) и (4) , то ее координаты удовлетворяют уравнениям этих прямых:
x 1 ≤1
x 2 ≤2

Решив систему уравнений, получим: x 1 = 1, x 2 = 2
Откуда найдем максимальное значение целевой функции:
F(X) = 3*1 + 5*2 = 13

Текущий рекорд Z=16≥13, поэтому прекращаем ветвление из этой вершины

Разбиваем задачу 121 на две подзадачи 1211 и 1212.
В первой из них к условиям задачи 1211 добавляется условие х 1 ≥ 1, а к задаче 1212 - условие х 1 = 0.
Решим графически задачу 1211 как задачу ЛП.

Задача не имеет допустимых решений. ОДР представляет собой пустое множество.

Задача 1211 не имеет решения, поэтому для нее процесс ветвления прерываем.
Решим графически задачу 1212 как задачу ЛП.

5x 1 +2x 2 ≤14	(1)
2x 1 +5x 2 ≤16	(2)
x 1 ≤1	(3)
x 2 ≥3	(4)
x 1 =0	(5)
x 1 ≥0	(6)
x 2 ≥0	(7)

Область допустимых решений представляет собой многоугольник
Прямая F(x) = const пересекает область в точке D. Так как точка D получена в результате пересечения прямых (2) и (7) , то ее координаты удовлетворяют уравнениям этих прямых:
2x 1 +5x 2 ≤16
x 1 =0

Откуда найдем максимальное значение целевой функции:
F(X) = 3*0 + 5*3.2 = 16

Оптимальное значение переменной x 2 =2.48 оказалось нецелочисленным.
Разбиваем задачу 1 на две подзадачи 11 и 12.
В первой из них к условиям задачи 11 добавляется условие х 2 ≥ 3, а к задаче 12 - условие х 2 ≤ 2.
Эта процедура называется ветвлением по переменной х 2 .
Решим графически задачу 11 как задачу ЛП.

5x 1 +2x 2 ≤14	(1)
2x 1 +5x 2 ≤16	(2)
x 2 ≥3	(3)
x 1 ≥0	(4)
x 2 ≥0	(5)

Область допустимых решений представляет собой треугольник.
Прямая F(x) = const пересекает область в точке C. Так как точка C получена в результате пересечения прямых (2) и (3) , то ее координаты удовлетворяют уравнениям этих прямых:
2x 1 +5x 2 ≤16
x 2 ≥3

Решив систему уравнений, получим: x 1 = 0.5, x 2 = 3
Откуда найдем максимальное значение целевой функции:
F(X) = 3*0.5 + 5*3 = 16.5

Решим графически задачу 12 как задачу ЛП.

5x 1 +2x 2 ≤14	(1)
2x 1 +5x 2 ≤16	(2)
x 2 ≤2	(3)
x 1 ≥0	(4)
x 2 ≥0	(5)

Область допустимых решений представляет собой многоугольник
Прямая F(x) = const пересекает область в точке C. Так как точка C получена в результате пересечения прямых (1) и (3) , то ее координаты удовлетворяют уравнениям этих прямых:
5x 1 +2x 2 ≤14
x 2 ≤2

Решив систему уравнений, получим: x 1 = 2, x 2 = 2
Откуда найдем максимальное значение целевой функции:
F(X) = 3*2 + 5*2 = 16

Текущий рекорд Z=16≥16, поэтому прекращаем ветвление из этой вершины
Оптимальное значение переменной x 1 =0.5 оказалось нецелочисленным.
Разбиваем задачу 11 на две подзадачи 111 и 112.
В первой из них к условиям задачи 111 добавляется условие х 1 ≥ 1, а к задаче 112 - условие х 1 = 0.
Решим графически задачу 111 как задачу ЛП. Прямая F(x) = const пересекает область в точке D. Так как точка D получена в результате пересечения прямых (2) и (6) , то ее координаты удовлетворяют уравнениям этих прямых:
2x 1 +5x 2 ≤16
x 1 =0

Решив систему уравнений, получим: x 1 = 0, x 2 = 3.2
Откуда найдем максимальное значение целевой функции:
F(X) = 3*0 + 5*3.2 = 16

Текущий рекорд Z=16≥16, поэтому прекращаем ветвление из этой вершины
F(X) = 16
x 1 = 2
x 2 = 2

Дерево решения задачи