Обозначения нечетких и лингвистических переменных. Лингвистические переменные. Лекция. Нечеткие вычисления

Если совокупность нечетких множеств { } упорядочена, то множества и , и называются прилегающими при условии, что эти нечеткие множества являются перекрывающимися.

База нечетких правил называется непрерывной , если для правил

R k: если x 1 = и x 2 = , тогда y= и k’¹k

выполнены условия:

‑ Ù и являются прилегающими;

‑ Ù и являются прилегающими;

‑ и являются прилегающими.

Непротиворечивость базы нечетких правил рассмотрим на примере . База нечетких правил для управления роботом задана в виде:

………………………………….

R i: если препятствие впереди, то двигайся влево,

R i +1: если препятствие впереди, то двигайся вправо,

……………………………………

База правил противоречива.

Пример непротиворечивой базы нечетких правил следующий:

R 1: если x 1 = или x 2 = , тогда y= ;

R 2: если x 1 = или x 2 = , тогда y= ;

R 3: если x 1 = или x 2 = , тогда y= .

Если правила содержат два условия и один вывод, то эти правила представляют собой систему с двумя входами x 1 и x 2 и одним выходом y . Данная система может быть представлена в матричной форме:

База нечетких правил непротиворечива.

Основополагающим математическим понятием является понятие переменной. В практических приложениях теории нечётких множеств обычно употребляют нечёткие и лингвистические переменные.

Нечёткие и лингвистические переменные используются при естественно-языковом описании различных объектов и явлений, при формализации процессов и принятии решений в трудноформализуемых ситуациях.

Особенностью человеческого мышления является способность анализировать и выбирать сведения, имеющие отношение к анализируемой проблеме, то есть способность оценивать разнородную информацию. Такая способность играет важную роль в описании сложных явлений и процессов.

Рассмотрим способность человека оценивать понятие «Температура». Во многих случаях при оценке значений температуры люди оперируют не числовой характеристикой, а нечётко выраженными понятиями, такими, как «низкая», «средняя», «нормальная», «высокая» и др. При этом, если речь идет об оценке температуры, например, в печах определенного типа, то человек-оператор легче ориентируется по качественной информации, такой, как «нормальная температура», чем по конкретному числовому значению.

При такой качественной оценке информации, отражающей характер явления или процесса, большую роль играет естественный язык, который позволяет выразить основные понятия.

Введем понятия нечёткой и лингвистической переменной, которые, как и обычная переменная, могут изменять свои значения.

Итак, нечёткая переменная характеризуется тройкой:

< ,Х ,С  >,

где – название нечёткой переменной;

Х – универсальное множество (конечное или бесконечное), то есть область определения нечёткой переменной;Х = {х };

С  = { х (х ) } – нечёткое подмножество множестваХ , представляющее собой нечёткое ограничение на значения переменнойх .

Пример 3.19. Пусть универсальное множествоХ = описывает область определения параметра – «Температура в реакторе». Этот параметр характеризует качество протекающего технологического процесса. Нечёткое множество, описывающее нечёткую переменную «Нормальная» (= «Нормальная»), человеком-оператором может быть представлено следующим образом:

С  = {(4800), (4810,3), (4820,4), (4830,5), (4841), (4851), (4861), (4870,5), (4880,4), (4890,3), (4900)}.

Очевидно, что при таком определении нечёткого множества С  для человека-оператора, управляющего температурой в реакторе, понятию «Нормальная температура» полностью соответствуют значения температуры от 484 до 486, в меньшей степени – значения температуры от 481 до 483 и от 487 до 489. Значения температуры в реакторе, которые меньше 481 и больше 489, понятием «Нормальная» охарактеризованы быть не могут, то есть не являются элементами носителя данного нечёткого множества.

Перейдем к рассмотрению лингвистической переменной, являющейся переменной более высокого порядка.

Лингвистической переменной называется переменная, значениями которой являются слова или предложения естественного или искусственного языка.

Лингвистическая переменная характеризуется набором:

< ,Т  ,Х ,G, М >,

где – название лингвистической переменной;

Т β – терм-множество переменной, т. е. множество её значений, представляющих собой наименования нечётких переменных, областью определения каждой из которых является множествоХ с базовой переменнойх ;

Х – универсальное множество;

G– синтаксическое правило, порождающее термы множестваТ β ();

М – семантическое правило, ставящее в соответствия каждой нечёткой переменной Т β нечёткое множествоС  , причёмС  обозначает нечёткое подмножество множестваХ .

В более упрощенном виде лингвистическая переменная описывается кортежем: < ,Т β ,Х >.

Пример 3.20 . Значениями лингвистической переменной «Качество» (β= «Качество») могут быть: «Низкое», «Среднее», «Невысокое», «Высокое», «Очень высокое» и т.п. Каждое из этих значений является названием нечёткой переменной. Именно поэтому лингвистическая переменная считается переменной более высокого порядка.

Обсудим все составляющие понятия «лингвистическая переменная».

Обратимся к примеру 3.20. Прилагательные «Низкое», «Среднее» и т.д., определяющие лингвистическую переменную «Качество», отражают некоторый комплекс характеристик качества. Каждое из этих значений представляет собой ограничение, обусловленное названием и способом задания соответствующего нечёткого множества. С этой точки зрения определения качества «Очень высокое», «Чрезвычайно высокое», «Не очень высокое» и т.д. – названия нечётких множеств, образованных путем действия модификаторов «очень», «чрезвычайно», «не очень» на нечёткое множество «Высокое».

Совокупность значений лингвистической переменной составляет терм-множество этой переменной. Этим множеством может быть, вообще говоря, бесконечное число элементов.

Пример 3.21. Рассмотрим способы описания терм-множества лингвистической переменной «Качество»:

Т β (Качество) = {«Очень низкое», «Низкое», «Не низкое», «Среднее», «Скорее высокое, чем среднее», «Высокое», «Очень высокое»};

Т β (Качество) = «Очень низкое»«Низкое»«Не низкое»…«Очень высокое».

Терм, название которого состоит из одного слова или нескольких слов, всегда фигурирующих вместе друг другом, называется атомарным термом . Термы, состоящие из более одного атомарных термов, называютсясоставными термами. Формирование составного терма путём приписывания друг к другу цепочек-компонент называетсяконкатенацией , а приписываемые компоненты являютсяподтермам и составного терма.

При необходимости явно указать на то, что терм был порожден грамматикой G(синтаксическим правиломG), будем писать:

Т β * =Т β G(Т β),

где Т β * – составной терм.

Что же касается семантического правила М, то оно может быть выполнено с использованием одной из типовых операций над нечёткими множествами, рассмотренных в главе 3.2. Наиболее часто используются следующие модификаторы и соответствующие им операции над нечёткими множествами:

«не» – дополнение;

«очень» – концентрация;

«более или менее» – растяжение;

«и» – пересечение;

«или» – объединение.

Лингвистические переменные играют важную роль при построении нечётких моделей: с их помощью формализуется качественная информация об объекте принятия решения, представленная в словесной форме специалистами-экспертами. Принципиально важным является то, что любая лингвистическая переменная, как и все её значения, определяется конкретной количественной шкалой, называемой базовой шкалой . Отсюда вытекаетдругое определение лингвистической переменной:

Лингвистической переменной называется переменная, заданная на некоторой шкале (базовой шкале) и принимающая значения, являющиеся словами и словосочетаниями естественного языка. Значения лингвистической переменной описываются нечёткими переменными.

К названию лингвистической переменной и названиям её термов не предъявляется особых требований. С этими величинами, за которыми скрыт математический аппарат нечётких множеств, непосредственно работает эксперт, описывающий систему качественными или нечёткими понятиями. Однако к функциям, аппроксимирующим эти нечёткие понятия, а также к их взаимному расположению, предъявляются определённые требования.

Выделим ряд ограничений, которым должны удовлетворять термы лингвистических переменных. Пусть Т β – базовое терм-множество лингвистической переменной <,Т β ,Х >,Т β = {Т i },i = 1, 2, …,m . Каждому термуТ i Т β соответствует нечёткая переменная <Т i ,Х ,С i >.

Прежде всего, базовое терм-множество Т β должно бытьупорядочено в соответствии с выражением:

(Т i Т β)(Т j Т β)(i j )(х S С i )(y S С j )(x y ), (3.36)

где S С i – носитель нечёткого множества:

S С i = {x X   Sc i (x )  0 },

то есть это множество строгого уровня = 0

Выражение (3.36) означает, что терм, который имеет носитель, расположенный левее, получает меньший номер.

Ограничение, накладываемое на вид функций принадлежности , соответствующих базовым термам, выглядит так:

 Т 1 (х min) = 1, Tn (x max) = 1, (3.37)

где n – количество термов в базовом терм-множестве,х min иx max – границы универсального множестваХ , на котором определена лингвистическая переменная.

В соответствии с выражением (3.37) функции принадлежности термов Т 1 иT n должны быть аммодальными.

Следующее условие может быть определено как полнота и согласованность :

(Т i  Т β)(0  sup  C i  C (i +1) (x )  1). (3.38)

Это выражение означает, что должно соблюдаться естественное разграничение понятий, когда одна и та же точка универсального множества Х не может одновременно принадлежать (со степенью уверенности 1) двум и более термам. С другой стороны, каждое значение из области определения лингвистической переменной должно описываться хотя бы одним термом.

Очередное условие – нормальность – определяется следующим выражением:

(Т i Т β)(х Х : C i (x ) = 1). (3.39)

Каждое понятие в лингвистической переменной должно иметь хотя бы один эталонный или типичный объект.

Последнее условие – ограниченность :

(β)(х 1 R )(x 2 R )((x X )(x 1 x x 2)), (3.40)

где R – действительная ось.

Область определения Х должна быть ограничена конечным множеством точек, так как в любой задаче анализа и принятия решений существуют реальные ограничения на числовые значения параметров объектов.

На рис. 3.14 представлена лингвистическая переменная β с числом термов, равным 5, и проиллюстрировано невыполнение перечисленных условий и ограничений.

Рис. 3.14.Ограничения, накладываемые на базовые термы лингвистической переменной

Итак, при формировании базового терм-множества лингвистической переменной β были допущены следующие ошибки:

На границах универсального множества Х значения функций принадлежности термов, обозначающих минимальное и максимальное значение лингвистической переменной β, должны быть единичными. На рис. 3.14 термТ 1 имеет неправильный вид (унимодальный), а термТ 6 – правильный (аммодальный).

Запрещается существование в базовом терм-множестве T β пар термов типаТ 2 иТ 3 , так как отсутствует естественная ограниченность понятий, аппроксимируемых термами. Эти термы иллюстрируют невыполнение условия согласованности.

Условие полноты нарушается парой термов Т 3 иТ 4 , так как участку Х не соответствует никакое понятие.

В базовом терм-множестве запрещается наличие термов Т 5 , имеющихsup  C i (x )  1. Так как термы должны описываться нормированными функциями принадлежности, на рис. 3.14 нарушено условие нормальности.

Применение лингвистических переменных для описания сложноформализуемых систем на практике неизбежно ставит предварительную задачу формирования лингвистических переменных, то есть определения всех её компонент. Это, как правило, реализуется на основе опросов экспертов – высококвалифицированных специалистов в той области, для которой строится нечёткая модель с использованием лингвистической переменной. Особое внимание при этом уделяется формированию функций принадлежности нечётких множеств, являющихся термами базового терм-множества.

Процесс формирования лингвистической переменной включает в себя следующие этапы :

Определение множества термов лингвистической переменной и его упорядочение.

Построение числовой области определения лингвистической переменной.

Выяснение схемы опроса экспертов и проведение опроса.

Построение функций принадлежности для каждого терма лингвистической переменной.

На этапе 1 эксперт, формирующий лингвистическую переменную, задает количество термов множества Т β и названия соответствующих им нечётких переменных.

На этапе 2 описывается универсальное множество Х . Реализация этого этапа может сопровождаться рядом трудностей, вызванных типом лингвистической переменной. Так, например, вид универсального множества для лингвистической переменной «Температура в реакторе» очевиден – это будет некоторый интервал значений температуры, заданный на определенной температурной шкале, и значения температуры, определяющие границы интервала, также не вызовут у эксперта затруднений. Однако если требуется формализация понятия «Качество», которое определяется как «Высокое», «Среднее» или «Низкое», то возникает необходимость искусственно вводить числовое универсальное множествоХ R =(–; +), на котором будут определяться аппроксимируемые нечёткие понятия. Эта процедура позволит в дальнейшем использовать единые подходы для работы с лингвистическими переменными различных видов.

Этап 3 является ключевым при формировании лингвистической переменной. Выбранная на этом этапе схема проведения опроса эксперта (или экспертов) уже предполагает, что выбран и метод построения интересующих нас функций принадлежности.

Понятие нечеткой и лингвистической переменных использу-ется при описании объектов и явлений с помощью нечетких мно-жеств.

Нечеткая переменная характеризуется тройкой (α, X, А), где

α — наименование переменной;

X — универсальное множество (область определения α);

А — нечеткое множество на X, описывающее ограничения (т.е. μ A (x ) )на значения нечеткой переменной α.

Лингвистической переменной (ЛП) называется набор (β , Т, X , G, М), где

β — наименование лингвистической переменной;

Т — множество ее значений (терм-множество), представляю-щих собой наименования нечетких переменных, областью опре-деления каждой из которых является множество X. Множество Т называется базовым терм-множеством лингвистической пе-ременной;

G — синтаксическая процедура, позволяющая оперировать эле-ментами терм-множества T, в частности, генерировать новые тер-мы (значения). Множество T∪G(T), где G(T) — множество сгене-рированных термов, называется расширенным терм-множеством лингвистической переменной;

М — семантическая процедура, позволяющая превратить каж-дое новое значение лингвистической переменной, образуемое про-цедурой G, в нечеткую переменную, т.е. сформировать соответ-ствующее нечеткое множество.

Замечание. Чтобы избежать большого количества символов:

1) символ β используют как для названия самой переменной, так и для всех ее значений;

2) пользуются одним и тем же символом для обозначения не-четкого множества и его названия, например терм «Молодой», явля-ющийся значением лингвистической переменной β = «возраст», одновременно есть и нечеткое множество М («Молодой»).

Присвоение нескольких значений символам предполагает, что контекст позволяет разрешить возможные неопределенности.

Пример. Пусть эксперт определяет толщину выпускаемого изделия с помощью понятий «Малая толщина», «Средняя толщина» и «Большая толщина», при этом минимальная толщина равна 10 мм, а максималь-ная - 80 мм.

Формализация такого описания может быть проведена с помощью следующей лингвистической переменной (β , Т, X , G, М), где

β — толщина изделия;

Т — {«Малая толщина», «Средняя толщина», «Большая толщина»};

X — ;

G — процедура образования новых термов с помощью связок «и», «или» и модификаторов типа «очень», «не», «слегка» и т.п. Например: «Малая или средняя толщина», «Очень малая толщина» и т.д.;

М — процедура задания на X = нечетких подмножеств А 1 = «Малая толщина», А 2 = «Средняя толщина», A 3 = «Большая толщи-на», а также нечетких множеств для термов из G(Т) в соответствии с пра-вилами трансляции нечетких связок и модификаторов «и», «или», «не», «очень», «слегка» и других операций над нечеткими множествами вида: А ⋂В, A ∪В, ̅ A , CONА = A 2 , DILА = А 0,5 и т. п.

Замечание. Наряду с рассмотренными выше базовыми значения-ми лингвистической переменной «Толщина» (Т = {«Малая толщина», «Средняя толщина», «Большая толщина»}) возможны значения, завися-щие от области определения X. В данном случае значения лингвистиче-ской переменной «Толщина изделия» могут быть определены как «около 20 мм», «около 50 мм», «около 70 мм», т.е. в виде нечетких чисел.

Терм-множество и расширенное терм-множество в условиях примера можно характеризовать функциями принадлежности, при-веденными на рис. 1.5 и 1.6.

Рис. 1.5. Функции принадлежности нечетких множеств: «Малая толщина» = А 1 , «Средняя толщина» = А 2 , «Большая толщина» = А 3

Рис. 1.6. Функция принадлежности нечеткого множества «Малая или средняя толщина» = A 1 ∪ А 2

Нечеткие числа

Нечеткие числа — нечеткие переменные, определенные на чи-словой оси, т.е. нечеткое число определяется как нечеткое множе-ство А на множестве действительных чисел ℝс функцией при-надлежности μ А (х ) ϵ , где х — действительное число, т.е. х ϵ ℝ.

Нечеткое число А нормально, если тах μ А (x ) = 1; выпуклое, если для любых х ≤ у ≤ z выполняется

μ А (х) ≥ μ А (у ) ˄ μ A (z ).

Множество α -уровня нечеткого числа А определяется как

Аα = {x /μ α (x ) ≥ α }.

Подмножество S A ⊂ ℝ называется носителем нечеткого числа А, если

S A = { x /μ A (x ) > 0 }.

Нечеткое число А унимодально, если условие μ А (х ) = 1 спра-ведливо только для одной точки действительной оси.

Выпуклое нечеткое число А называется нечетким нулем, если

μ А (0) = sup (μ A (x )).

Нечеткое число А положительно, если ∀x ϵ S A , х > 0 и отрицательно, если ∀х ϵ S A , х < 0.

Операции над нечеткими числами

Расширенные би-нарные арифметические операции (сложение, умножение и пр.) для нечетких чисел определяются через соответствующие опера-ции для четких чисел с использованием принципа обобщения сле-дующим образом.

Пусть А и В - нечеткие числа, и - нечеткая операция, соот-ветствующая произвольной алгебраической операции * над обыч-ными числами. Тогда (используя здесь и в дальнейшем обозначе-ния вместо вместо ) можно записать

Нечеткие числа (L-R)-Tипа

Нечеткие числа (L-R)-типа — это разновидность нечетких чисел специального вида, т.е. задаваемых по определенным правилам с целью снижения объема вычислений при операциях над ними.

Функции принадлежности нечетких чисел (L-R)-типa задаются с помощью невозрастающих на множестве неотрицательных дей-ствительных чисел функций действительного переменного L(x ) и R(x ), удовлетворяющих свойствам:

а) L(-x ) = L(x ), R(-x ) = R(x );

б) L(0) = R(0).

Очевидно, что к классу (L-R)-функций относятся функции, графики которых имеют вид, приведенный на рис. 1.7.

Рис. 1.7. Возможный вид (L-R)-функций

Примерами аналитического задания (L-R)-функций могут быть

Пусть L(у )и R(у )— функции (L-R)-типа (конкретные). Уни-модальное нечеткое число А с модой а (т. е. μ А (а ) = 1) с помощью L(у )и R(у ) задается следующим образом:

где а — мода; α > 0, β > 0 — левый и правый коэффициенты нечеткости.

Таким образом, при заданных L(у )и R(у ) нечеткое число (уни-модальное) задается тройкой А = (а , α, β ).

Толерантное нечеткое число задается, соответственно, четвер-кой параметров А = (a 1 , а 2 , α, β ), где а 1 иа 2 — границы толе-рантности, т.е. в промежутке [a 1 , а 2 ] значение функции принад-лежности равно 1.

Примеры графиков функций принадлежности нечетких чисел (L-R)-типа приведены на рис. 1.8.

Рис. 1.8. Примеры графиков функций принадлежности нечетких чисел (L-R)-типа

Отметим, что в конкретных ситуациях функции L(у), R(у), а также параметры а, β нечетких чисел (а , α, β ) и (a 1 , а 2 , α, β ) должны подбираться таким образом, чтобы результат операции (сложения, вычитания, деления и т.д.) был точно или приблизи-тельно равен нечеткому числу с теми же L(у) и R(у), а параметры α" и β" результата не выходили за рамки ограничений на эти па-раметры для исходных нечетких чисел, особенно если результат в дальнейшем будет участвовать в операциях.

Замечание . Решение задач математического моделирова-ния сложных систем с применением аппарата нечетких множеств требует выполнения большого объема операций над разного рода лингвистическими и другими нечеткими переменными. Для удоб-ства исполнения операций, а также для ввода-вывода и хранения данных, желательно работать с функциями принадлежности стан-дартного вида.

Нечеткие множества, которыми приходится оперировать в боль-шинстве задач, являются, как правило, унимодальными и нор-мальными. Одним из возможных методов аппроксимации унимо-дальных нечетких множеств является аппроксимация с помощью функций (L-R)-типа.

Примеры (L-R)-представлений некоторых лингвистических пе-ременных приведены в табл. 1.2.

Таблица 1.2. Возможное (L - R )-представление некоторых лингвистических переменных

Понятие нечеткой и лингвистической переменных использу-ется при описании объектов и явлений с помощью нечетких мно-жеств.

Нечеткая переменная характеризуется тройкой (α, X, А), где

α — наименование переменной;

X — универсальное множество (область определения α);

А — нечеткое множество на X, описывающее ограничения (т.е. μ A (x ) )на значения нечеткой переменной α.

Лингвистической переменной (ЛП) называется набор (β , Т, X , G, М), где

β — наименование лингвистической переменной;

Т — множество ее значений (терм-множество), представляю-щих собой наименования нечетких переменных, областью опре-деления каждой из которых является множество X. Множество Т называется базовым терм-множеством лингвистической пе-ременной;

G — синтаксическая процедура, позволяющая оперировать эле-ментами терм-множества T, в частности, генерировать новые тер-мы (значения). Множество T∪G(T), где G(T) — множество сгене-рированных термов, называется расширенным терм-множеством лингвистической переменной;

М — семантическая процедура, позволяющая превратить каж-дое новое значение лингвистической переменной, образуемое про-цедурой G, в нечеткую переменную, т.е. сформировать соответ-ствующее нечеткое множество.

Замечание. Чтобы избежать большого количества символов:

1) символ β используют как для названия самой переменной, так и для всех ее значений;

2) пользуются одним и тем же символом для обозначения не-четкого множества и его названия, например терм «Молодой», явля-ющийся значением лингвистической переменной β = «возраст», одновременно есть и нечеткое множество М («Молодой»).

Присвоение нескольких значений символам предполагает, что контекст позволяет разрешить возможные неопределенности.

Пример. Пусть эксперт определяет толщину выпускаемого изделия с помощью понятий «Малая толщина», «Средняя толщина» и «Большая толщина», при этом минимальная толщина равна 10 мм, а максималь-ная - 80 мм.

Формализация такого описания может быть проведена с помощью следующей лингвистической переменной (β , Т, X , G, М), где

β — толщина изделия;

Т — {«Малая толщина», «Средняя толщина», «Большая толщина»};

X — ;

G — процедура образования новых термов с помощью связок «и», «или» и модификаторов типа «очень», «не», «слегка» и т.п. Например: «Малая или средняя толщина», «Очень малая толщина» и т.д.;

М — процедура задания на X = нечетких подмножеств А 1 = «Малая толщина», А 2 = «Средняя толщина», A 3 = «Большая толщи-на», а также нечетких множеств для термов из G(Т) в соответствии с пра-вилами трансляции нечетких связок и модификаторов «и», «или», «не», «очень», «слегка» и других операций над нечеткими множествами вида: А ⋂В, A ∪В, ̅ A , CONА = A 2 , DILА = А 0,5 и т. п.

Замечание. Наряду с рассмотренными выше базовыми значения-ми лингвистической переменной «Толщина» (Т = {«Малая толщина», «Средняя толщина», «Большая толщина»}) возможны значения, завися-щие от области определения X. В данном случае значения лингвистиче-ской переменной «Толщина изделия» могут быть определены как «около 20 мм», «около 50 мм», «около 70 мм», т.е. в виде нечетких чисел.

Терм-множество и расширенное терм-множество в условиях примера можно характеризовать функциями принадлежности, при-веденными на рис. 1.5 и 1.6.

Рис. 1.5. Функции принадлежности нечетких множеств: «Малая толщина» = А 1 , «Средняя толщина» = А 2 , «Большая толщина» = А 3

Рис. 1.6. Функция принадлежности нечеткого множества «Малая или средняя толщина» = A 1 ∪ А 2

Нечеткие числа

Нечеткие числа — нечеткие переменные, определенные на чи-словой оси, т.е. нечеткое число определяется как нечеткое множе-ство А на множестве действительных чисел ℝс функцией при-надлежности μ А (х ) ϵ , где х — действительное число, т.е. х ϵ ℝ.

Нечеткое число А нормально, если тах μ А (x ) = 1; выпуклое, если для любых х ≤ у ≤ z выполняется

μ А (х) ≥ μ А (у ) ˄ μ A (z ).

Множество α -уровня нечеткого числа А определяется как

Аα = {x /μ α (x ) ≥ α }.

Подмножество S A ⊂ ℝ называется носителем нечеткого числа А, если

S A = { x /μ A (x ) > 0 }.

Нечеткое число А унимодально, если условие μ А (х ) = 1 спра-ведливо только для одной точки действительной оси.

Выпуклое нечеткое число А называется нечетким нулем, если

μ А (0) = sup (μ A (x )).

Нечеткое число А положительно, если ∀x ϵ S A , х > 0 и отрицательно, если ∀х ϵ S A , х < 0.

Операции над нечеткими числами

Расширенные би-нарные арифметические операции (сложение, умножение и пр.) для нечетких чисел определяются через соответствующие опера-ции для четких чисел с использованием принципа обобщения сле-дующим образом.

Пусть А и В - нечеткие числа, и - нечеткая операция, соот-ветствующая произвольной алгебраической операции * над обыч-ными числами. Тогда (используя здесь и в дальнейшем обозначе-ния вместо вместо ) можно записать

Нечеткие числа (L-R)-Tипа

Нечеткие числа (L-R)-типа — это разновидность нечетких чисел специального вида, т.е. задаваемых по определенным правилам с целью снижения объема вычислений при операциях над ними.

Функции принадлежности нечетких чисел (L-R)-типa задаются с помощью невозрастающих на множестве неотрицательных дей-ствительных чисел функций действительного переменного L(x ) и R(x ), удовлетворяющих свойствам:

а) L(-x ) = L(x ), R(-x ) = R(x );

б) L(0) = R(0).

Очевидно, что к классу (L-R)-функций относятся функции, графики которых имеют вид, приведенный на рис. 1.7.

Рис. 1.7. Возможный вид (L-R)-функций

Примерами аналитического задания (L-R)-функций могут быть

Пусть L(у )и R(у )— функции (L-R)-типа (конкретные). Уни-модальное нечеткое число А с модой а (т. е. μ А (а ) = 1) с помощью L(у )и R(у ) задается следующим образом:

где а — мода; α > 0, β > 0 — левый и правый коэффициенты нечеткости.

Таким образом, при заданных L(у )и R(у ) нечеткое число (уни-модальное) задается тройкой А = (а , α, β ).

Толерантное нечеткое число задается, соответственно, четвер-кой параметров А = (a 1 , а 2 , α, β ), где а 1 иа 2 — границы толе-рантности, т.е. в промежутке [a 1 , а 2 ] значение функции принад-лежности равно 1.

Примеры графиков функций принадлежности нечетких чисел (L-R)-типа приведены на рис. 1.8.

Рис. 1.8. Примеры графиков функций принадлежности нечетких чисел (L-R)-типа

Отметим, что в конкретных ситуациях функции L(у), R(у), а также параметры а, β нечетких чисел (а , α, β ) и (a 1 , а 2 , α, β ) должны подбираться таким образом, чтобы результат операции (сложения, вычитания, деления и т.д.) был точно или приблизи-тельно равен нечеткому числу с теми же L(у) и R(у), а параметры α" и β" результата не выходили за рамки ограничений на эти па-раметры для исходных нечетких чисел, особенно если результат в дальнейшем будет участвовать в операциях.

Замечание . Решение задач математического моделирова-ния сложных систем с применением аппарата нечетких множеств требует выполнения большого объема операций над разного рода лингвистическими и другими нечеткими переменными. Для удоб-ства исполнения операций, а также для ввода-вывода и хранения данных, желательно работать с функциями принадлежности стан-дартного вида.

Нечеткие множества, которыми приходится оперировать в боль-шинстве задач, являются, как правило, унимодальными и нор-мальными. Одним из возможных методов аппроксимации унимо-дальных нечетких множеств является аппроксимация с помощью функций (L-R)-типа.

Примеры (L-R)-представлений некоторых лингвистических пе-ременных приведены в табл. 1.2.

Таблица 1.2. Возможное (L - R )-представление некоторых лингвистических переменных