Однозначное декодирование условие фано. Однозначное декодирование обеспечивается. Кодирование и расшифровка сообщений
Естественно возникает вопрос: существуют ли неравномерные коды, для которых декодирование всегда однозначно? Да, существуют.
Роберт Фано сформулировал следующее достаточное условие того, что код имеет однозначное декодирование: никакое кодовое слово не является началом другого кодового слова. Если это условие выполнено, то никаких проблем с декодированием не будет.
Пусть A 1 , A 2 и A 3 - слова над некоторым алфавитом такие, что A 1 =A 2 A 3 , то есть A 1 получается из A 2 простым приписыванием к нему слова A 3 (слова A 2 или A 3 могут быть односимвольными). Назовем слово A 2 , которое является начальной частью слова A 1 , префиксом слова A 1 . Например, для слова 11101101 префиксами будут слова 1110110 , 111011 , 11101 , 1110 , 111 , 11 , 1 .
Тогда условие Фано для кодов, можно сформулировать так:
Никакое кодовое слово не является префиксом другого кодового слова .
Коды, удовлетворяющие условию Фано, называются префиксными . Итак, если код префиксный, он допускает однозначное декодирование.
Например, код, состоящий из кодовых слов {0, 10, 11} , является префиксным, и следующую кодовую последовательность 01001101110 можно разбить на кодовые слова единственным образом: 0 10 0 11 0 11 10 .
А код, состоящий из кодовых слов {0, 10, 11, 100} , префиксным не является и он не допускает однозначного декодирования. Действительно, ту же самую последовательность можно разбить на кодовые слова разными способами: 0 10 0 11 0 11 10 или 0 100 11 0 11 10 .
Важно отметить, что условие Фано является только достаточным условием однозначного декодирования для кодов, но не является необходимым условием.
Например, простой код, состоящий всего из двух кодовых слов {1, 10} , очевидно не является префиксным, но он дает однозначное декодирование любой кодовой последовательности, полученной при кодировании этим кодом. Действительно, в такой последовательности не может стоять рядом два нуля. А тогда каждый ноль со стоящей перед ней единицей заменяем на прообраз второго кодового слова, а все оставшиеся единицы - на прообраз первого слова, это и будет однозначным декодированием.
Существуют и другие, менее простые коды, обладающие тем же свойством. Например, код {01,10,011} также не является префиксным, но обладает однозначным декодированием (попробуйте доказать это самостоятельно).
Как же все-таки определить является ли код однозначно декодируемым, если для него не выполняется условие Фано? Можно использовать следующий метод.
Пусть слово A 2 является префиксом слова A 1 . Тогда A 1 =A 2 A 3 , где A 3 некоторое слово, конечная часть слова A 1 . Назовем A 3 суффиксом пары слов A 1 и A 2 , одно из которых является префиксом другого, а саму пару A 1 и A 2 назовем префиксной .
Рассмотрим в заданном коде все префиксные пары кодовых слов и построим по ним множество всех суффиксов. Далее рассмотрим все пары префиксных слов, из которых одно является кодовым, а другое – суффиксом, и для них построим суффиксы, расширяя множество суффиксов. Продолжим этот процесс до тех пор пока не перестанут появляться новые суффиксы. Код является однозначно декодируемым тогда и только тогда, когда никакой суффикс не совпадает ни с каким кодовым словом.
Например, для кода {01,10,011} множеством суффиксов будет {1,0,11} . Ни один суффикс здесь не совпадает ни с одним кодовым словом, поэтому, можно утверждать, что этот код является однозначно декодируемым.
Задача 1. Определить обладают ли свойством однозначной декодируемости следующие коды: а) {110, 11, 100, 00, 10} б) {100, 001, 101, 1101, 11011} .
Декодирование последовательностей, полученных кодами, не являющимися префиксными, требует более сложного анализа, чем для префиксных кодов. Префиксные коды иногда называют мгновенными (мгновенно декодируемыми), так как для них при чтении кодовой последовательности конец кодового слова распознается сразу по достижении конечного символа слова. В этом состоит преимущество префиксных кодов.
Рассмотрим другую кодовую таблицу: А Б В Г Д 000 01 10 011 100 Здесь условие Фано не выполняется, поскольку код буквы Б (01) является началом кода буквы Г (011), а код буквы Д (100) начинается с кода буквы В (10). Тем не менее, можно заметить, что выполнено «обратное» условие Фано: ни один код не является окончанием другого кода (такой код называют постфиксным). Поэтому закодированное сообщение можно однозначно декодировать с конца. Например, рассмотрим цепочку 011000110110. Последней буквой в этом сообщении может быть только В (код 10): В 0110001101 10 Вторая буква с конца – Б (код 01): Б В 01100011 01 10 и так далее: Б Д Г Б В 01 100 011 01 10.
Слайд 26 из презентации «Методы кодирования информации» . Размер архива с презентацией 734 КБ.Методы кодирования
краткое содержание других презентаций«Двоичное кодирование» - Цифры. Двоичное кодирование текстовой информации. Таблица кодировки. Информационный объем текста. Двоичное кодирование в компьютере. Кодирование текстовой информации. Таблица расширенного кода. Символ. Уникальный двоичный код. Буква латинского алфавита. Использование двоичной системы. Компьютеры.
«Кодирование информации в двоичном коде» - Определение. Системы счисления. Двоичная система счисления. Кодирование. Кодирование информации. Приведите примеры кодирования. Десятичная система счисления. Значение цифры. Значение цифры зависит от ее положения. Алфавит. Языки. Римская непозиционная система. Двоичное кодирование. Что здесь зашифровано.
«Способы кодирования» - Номер столбца. Буква исходного текста. Кодирование информации. Способы кодирования информации. Декодируйте информацию. Передаваемая информация. В мире кодов. Автоматическое кодирование. Метод координат. Достоинства и недостатки. Разнообразие кодов. Мальчик. Как можно назвать записную книжку с точки зрения хранения информации. Закодированный текст. Носитель информации. Ключевые слова. Разгадайте ребус.
«Способы кодирования информации» - В памяти компьютера информация представлена в двоичном коде. Кодирование и декодирование. Можно закодировать информацию. Способы кодирования информации. Составим простейшую кодовую таблицу. Чтобы узнать зашифрованное слово, возьмите только первые слоги. Что прочитал Лом на флагах встречной шхуны. Придумайте собственный способ кодирования букв русского алфавита. Задания. Зашифрованная информация. Луи Брайль придумал специальный способ представления информации.
«Методы кодирования информации» - Двоичное кодирование в компьютере. Количество информации. Оптический телеграф Шаппа. Условие Фано. Какой код использовать. Получено сообщение. «Да» или «Нет». Первый телеграф. Способы кодирования информации. Запись информации. Почему двоичное кодирование. Сигнальные флаги. Кодирование. Кодирование и декодирование. Кодирование информации. Выбор способа кодирования. Виды информации. Сколько вариантов.
3. Коды без разделителя. Условие Фано
Рассмотрев один из вариантов двоичного неравномерного кодирования, попробуем найти ответ на следующий вопрос: возможно ли такое кодирование без использования разделительных знаков?
Суть этой проблемы состоит в нахождении такого варианта кодирования сообщения, при котором последующее выделение из сообщения каждого отдельного знака (то есть декодирование) оказывается однозначным без специальных указателей разделения знаков.
Наиболее простыми и употребимыми кодами без разделителя являются так называемые префиксные коды , которые удовлетворяют следующему условию –условию Фано :Сообщение, закодированное с использованием неравномерного кода может быть однозначно декодировано, если никакой из кодов в данном сообщении не совпадает с префиксом * (началом) какого-либо иного более длинного кода.
Например, если имеется код 110, то уже не могут использоваться коды 1, 11, 1101, 110101 и пр.
Если условие Фано выполняется, то при прочтении (декодировании, расшифровке) закодированного сообщения путем сопоставления с таблицей кодов всегда можно точно указать, где заканчивается один код и начинается другой.
Пример 1 . Являются ли коды, представленные втабл. 4,префиксными? Коды, представленные в табл. 4, не являются префиксными. См., например, коды букв «О» и «Е», «А» и «Н», «С» и «М», «Д» и «Ч».
Пример 2 . Имеется таблица префиксных кодов (табл. 6). Требуется декодировать следующее сообщение, закодированное с использованием этой приведенной кодовой таблицы:
00100010000111010101110000110
Табл. 6. Таблица префиксных кодов
Декодирование производится циклическим повторением следующих действий:
«Отрезать» от текущего сообщения крайний слева символ, присоединить его справа к рабочему (текущему) кодовому слову;
сравнить текущее кодовое слово с кодовой таблицей; если совпадения нет, вернуться к пункту 1.
С помощью кодовой таблицы текущему кодовому слову поставить в соответствие символ первичного алфавита;
Проверить, имеются ли еще знаки в закодированном сообщении; если да, то перейти к пункту 1.
Применение данного алгоритма к предложенному выше закодированному сообщению дает:
00100010000111010101110000110
Таким образом, доведя процедуру декодирования до конца, можно получить сообщение: «мама мыла раму».
Таким образом, использование префиксного кодирования позволяет делать сообщение более коротким, поскольку нет необходимости передавать разделители знаков.
Однако условие Фано не устанавливает конкретного способа формирования префиксного кода, оставляя поле для деятельности по разработке наилучшего из возможных префиксных кодов.
4. Префиксный код Шеннона–Фано
Рассмотрим вариант кодирования, который был предложен в 1948 – 1949 гг. независимо К. Шенноном и Р. Фано.
Рассмотрим схему кодирования (как она строится) Шеннона–Фано на следующем примере .
Пусть
имеется первичный алфавит
,
состоящий из шести знаков:
,
где
.
Пусть вероятности появления этих знаков
в сообщениях таковы:
,
,
,
,
и
.
Расположим эти знаки в таблице в порядке
убывания вероятностей.
Разделим
знаки на две группы так, чтобы суммы
вероятностей в каждой из этих двух групп
были бы приблизительно равными. При
этом в 1-ю группу попадут
и
,
а остальные – во 2-ю группу. Знакам
первой группы присвоим первый слева
разряд их кодов «0», а первым слева
разрядом кодов символов второй группы
пусть будет «1».
Продолжим
деление каждой из получающихся групп
на подгруппы по той же схеме, то есть
так, чтобы суммы вероятностей на каждом
шаге в обеих подгруппах делимой группы
были бы возможно более близкими. Таким
образом будем получать по одному
следующие разряды кодов символов
.
Эти следующие разряды будем приписывать
справа к уже имеющимся.
Вся эта процедура может быть схематически изображена в табл 7.
Табл. 7. Построение кода Шеннона-Фано
|
Знак |
|
Разряды кода | ||||
|
| ||||||
|
| ||||||
|
| ||||||
|
| ||||||
|
| ||||||
|
| ||||||
Видно, что построенные коды знаков
удовлетворяют условию Фано, следовательно,
такое кодирование является префиксным.
Найдем среднюю длину полученного кода по формуле
,
где
– число разрядов (символов) в коде,
соответсвующем символу
.
Из таблицы видно, что
,
,
.
Таким образом, получаем:
Таким образом, для кодирования одного
символа
первичного алфавита
потребовалось в среднем 2.45 символов
вторичного (двоичного) алфавита.
Определим среднее количество информации, приходящееся на знак первичного алфавита в первом приближении (с учетом различной вероятности появления этих знаков в сообщениях). Применим формулу Шеннона:
.
Найдем избыточность полученного двоичного кода:
,
то есть избыточность – около 2.5.
Выясним, является ли полученный код оптимальным. Нулей в полученных кодах – 6 штук, а единиц – 11 штук. Таким образом, вероятности появления 0 и 1 далеко не одинаковы. Следовательно, полученный код нельзя считать оптимальным.
Демонстрационный вариант ЕГЭ 2019 г. – задание №5
Для кодирования некоторой последовательности, состоящей из букв А, Б, В, Г, Д, Е, решили использовать неравномерный двоичный код, удовлетворяющий условию Фано. Для буквы А использовали кодовое слово 0; для буквы Б – кодовое слово 10. Какова наименьшая возможная сумма длин кодовых слов для букв В, Г, Д, Е?
Примечание. Условие Фано означает, что никакое кодовое слово не является началом другого кодового слова. Это обеспечивает возможность однозначной расшифровки закодированных сообщений.
Решение:
Ответ:
Демонстрационный вариант ЕГЭ 2018 г. – задание №5
По каналу связи передаются шифрованные сообщения, содержащие только десять букв: А, Б, Е, И, К, Л, Р, С, Т, У. Для передачи используется неравномерный двоичный код. Для девяти букв используются кодовые слова.
Укажите кратчайшее кодовое слово для буквы Б, при котором код будет удовлетворять условию Фано. Если таких кодов несколько, укажите код с наименьшим числовым значением. Примечание. Условие Фано означает, что никакое кодовое слово не является началом другого кодового слова. Это обеспечивает возможность однозначной расшифровки закодированных сообщений.
Решение:
Ответ: 1100
Для кодирования некоторой последовательности, состоящей из букв А, Б, В, Г, Д, Е, решили использовать неравномерный двоичный код, удовлетворяющий условию Фано. Для буквы А использовали кодовое слово 0; для буквы Б – кодовое слово 10. Какова наименьшая возможная сумма длин всех шести кодовых слов?
Примечание. Условие Фано означает, что никакое кодовое слово не является началом другого кодового слова. Это обеспечивает возможность однозначной расшифровки закодированных сообщений.
Демонстрационный вариант ЕГЭ 2017 г. – задание №5
Решение:
Для нахождения кодовых слов будем использовать данную таблицу.
Если коды остальных букв будет начинаться на 0, код буквы А=0 будет являться началом их кодов, поэтому этот вариант не подходит. Если код Б=10, коды букв В, Г, Д, Е начинаются на11. Чтобы получить 4 разных кода, нужно использовать коды, состоящие из 4-х символов (1111, 1110, 1101, 1100) .
| 0 | 1 | ||||
| 1 | |||||
| 1 | 0 | ||||
| 1 | 0 | 1 | 0 | ||
А - 0 (1 символ)
Б - 10 (2 символа)
В - 1100 (4 символа)
Г - 1101 (4 символа)
Д - 1110 (4 символа)
Е - 1111 (4 символа)
1+2+4+4+4+4 = 19
Ответ: 19
Демонстрационный вариант ЕГЭ 2016 г. – задание №5
По каналу связи передаются сообщения, содержащие только четыре буквы: П, О, С, Т; для передачи используется двоичный код, допускающий однозначное декодирование. Для букв Т, О, П используются такие кодовые слова: Т: 111, О: 0, П: 100.
Укажите кратчайшее кодовое слово для буквы С, при котором код будет допускать однозначное декодирование. Если таких кодов несколько, укажите код с наименьшим числовым значением.
Решение:
Для нахождения кодовых слов будем использовать данную схему.
Если коды остальных букв будет начинаться на 0 , код буквы О =0 будет являться началом их кодов, поэтому этот вариант не подходит. Так как код буквы П =100 , а код буквы Т =111 , то буква С не может начинаться и заканчиваться этими цифрами.
Ответ: 101
Для кодирования сообщения, состоящего только из букв А, Б, В и Г, используется неравномерный по длине двоичный код:
Если таким способом закодировать последовательность символов ГАВБГВ и записать результат в шестнадцатеричном коде, то получится:
1) DACBDC 1 6 2) AD26 16 3) 621310 16 4) 62DA 16
Решение:
ГАВБГВ = 0110001011011010
| 0110 | 0010 | 1101 | 1010 |
| 6 | 2 | D | A |
Ответ: 4
Черно-белое растровое изображение кодируется построчно, начиная с левого верхнего угла и заканчивая в правом нижнем углу. При кодировании 1 обозначает черный цвет, а 0 – белый.
Для компактности результат записали в восьмеричной системе счисления. Выберите правильную запись кода.
1) 57414 2) 53414 3) 53412 4) 53012
Решение:
| 1 | 0 | 1 | 0 | 1 |
| 1 | 1 | 0 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 0 | 1 | 0 |
| 101 | 011 | 100 | 001 | 010 |
| 5 | 3 | 4 | 1 | 2 |
Ответ: 3
Для передачи чисел по каналу с помехами используется код проверки четности. Каждая его цифра записывается в двоичном представлении, с добавлением ведущих нулей до длины 4, и к получившейся последовательности дописывается сумма её элементов по модулю 2 (например, если передаём 23, то получим последовательность 0010100110). Определите, какое число передавалось по каналу в виде 01100010100100100110?
1) 6543 2) 62926 3) 62612 4) 3456
Решение:
01100010100100100110
| 01100 | 01010 | 01001 | 00110 |
| 6 | 5 | 4 | 3 |
Ответ: 1
Для кодирования букв О, Л, А, З, К используются двоичные коды чисел 0, 1, 2, 3 и 4 соответственно (с сохранением одного незначащего нуля в случае одноразрядного представления). Если таким способом закодировать последовательность символов ЗАКОЛКА и записать результат в шестнадцатеричном коде, то получится:
1) 4531253 2) 9876 3) E832 4) 238E
Решение:
| О | Л | А | З | К |
| 0=00 | 1=01 | 2=10 | 3=11 | 4=100 |
ЗАКОЛКА = 1110100000110010
| 1110 | 1000 | 0011 | 0010 |
| E | 8 | 3 | 2 |
Ответ: 3
Для передачи по каналу связи сообщения, состоящего только из букв А, Б, В, Г, решили использовать неравномерный по длине код: A=00, Б=11, В=100. Как нужно закодировать букву Г, чтобы длина кода была минимальной и допускалось однозначное разбиение кодированного сообщения на буквы?
1) 010 2) 0 3) 01 4) 011
Решение:
A=00, Б=11, В=100, Г=?
Ответ: 3
Для кодирования некоторой последовательности, состоящей из букв А, Б, В, Г и Д, решили использовать неравномерный двоичный код, позволяющий однозначно декодировать двоичную последовательность, появляющуюся на приёмной стороне канала связи. Для букв А, Б, В и Г использовали такие кодовые слова: А — 111, Б — 110, В — 101, Г — 100.
Укажите, каким кодовым словом из перечисленных ниже может быть закодирована буква Д.
Код должен удовлетворять свойству однозначного декодирования. Если можно использовать более одного кодового слова, укажите кратчайшее из них.
1) 1 2) 0 3) 01 4) 10
Решение:
А — 111, Б — 110, В — 101, Г — 100, Д — ?
Ответ: 2
По каналу связи передаются сообщения, содержащие только 4 буквы: А, Б, В, Г. Для кодирования букв А, Б, В используются 5-битовые кодовые слова: А — 10110, Б — 11000, В — 00101. Для этого набора кодовых слов выполнено такое свойство: любые два слова из набора отличаются не менее чем в трёх позициях. Это свойство важно для расшифровки сообщений при наличии помех. Какое из перечисленных ниже кодовых слов можно использовать для буквы Г, чтобы указанное свойство выполнялось для всех четырёх кодовых слов?
1) 01110 2) 01011 3) 10001 4) не подходит ни одно из указанных выше слов
Решение:
1) 01 110: А — 10 110 — не отличаются не менее чем в трёх позициях
2) 01011: А — 101 10 , Б — 1 1000 , В — 0010 1 — отличаются не менее чем в трёх позициях
Ответ: 2
Для передачи данных по каналу связи используется 5-битовый код. Сообщение содержит только буквы А, Б и В, которые кодируются следующими кодовыми словами:
А — 10001, Б — 01101, В — 10110.
При передаче возможны помехи. Однако некоторые ошибки можно попытаться исправить. Любые два из этих трёх кодовых слов отличаются друг от друга не менее чем в трёх позициях. Поэтому если при передаче слова произошла ошибка не более чем в одной позиции, то можно сделать обоснованное предположение о том, какая буква передавалась. (Говорят, что «код исправляет одну ошибку».) Например, если получено кодовое слово 01111, считается, что передавалась буква Б. (Отличие от кодового слова для Б только в одной позиции, для остальных кодовых слов отличий больше.) Если принятое кодовое слово отличается от кодовых слов для букв А, Б, В более чем в одной позиции, то считается, что произошла ошибка (она обозначается ‘х’).
Получено сообщение 00110 11101 11000 11001. Декодируйте это сообщение – выберите правильный вариант.
1) ВБхх 2) ВБВА 3) хххх 4) ВБхА
Решение:
| 00110 | 11101 | 11000 | 11001 |
| В=1 0110 | Б=0 1101 | x | А=10 001 |
Ответ: 4
Для кодирования некоторой последовательности, состоящей из букв А, Б, В, Г и Д, используется неравномерный двоичный код, позволяющий однозначно декодировать полученную двоичную последовательность. Вот этот код: А – 1; Б – 0100; В – 000; Г – 011; Д – 0101. Требуется сократить для одной из букв длину кодового слова так, чтобы код по-прежнему можно было декодировать однозначно. Коды остальных букв меняться не должны. Каким из указанных способов это можно сделать?
1) для буквы Г – 11 2) для буквы В – 00 3) для буквы Г – 01 4) это невозможно
Решение:
Ответ: 2
Для кодирования некоторой последовательности, состоящей из букв А, Б, В, Г, решили использовать неравномерный двоичный код, удовлетворяющий условию Фано. Для буквы А использовали кодовое слово 1, для буквы Б – кодовое слово 011. Какова наименьшая возможная суммарная длина всех четырёх кодовых слов?
1) 7 2) 8 3) 9 4) 10
Решение:
А-1, Б-011, В-00, Г-010
Ответ: 9
По каналу связи передаются сообщения, каждое из которых содержит 15 букв А, 10 букв Б, 6 букв В и 4 буквы Г (других букв в сообщениях нет). Каждую букву кодируют двоичной последовательностью. При выборе кода учитывались два требования:
а) ни одно кодовое слово не является началом другого (это нужно, чтобы код допускал однозначное декодирование);
б) общая длина закодированного сообщения должна быть как можно меньше.
Какой код из приведённых ниже следует выбрать для кодирования букв А, Б, В и Г?
1) А:1, Б:01, В:001, Г:111
2) А:1, Б:01, В:10, Г:111
3) А:00, Б:01, В:10, Г:11
4) А:100, Б:101, В:11, Г:0
Решение:
Ни одно кодовое слово не является началом другого: А является началом Г в 1-й и 2-й вариантах.
Общая длина закодированного сообщения должна быть как можно меньше.
3) А:00 (15), Б:01 (10), В:10 (6), Г:11 (4)
2.15+2.10+2.6+2.4 = 70
4) А:100 (15), Б:101 (10), В:11 (6), Г:0 (4)
3.15+3.10+2.6_1.4 = 61
Ответ: 3
По каналу связи с помощью равномерного двоичного кода передаются сообщения, содержащие только 4 буквы П, Р, С, Т. Каждой букве соответствует своё кодовое слово, при этом для набора кодовых слов выполнено такое свойство: любые два слова из набора отличаются не менее чем в трёх позициях. Это свойство важно для расшифровки сообщений при наличии помех. Для кодирования букв П, Р, С используются 5-битовые кодовые слова: П: 01111, Р: 00001, С: 11000. 5-битовый код для буквы Т начинается с 1 и заканчивается на 0. Определите кодовое слово для буквы Т.
Решение:
С: 1 1000
Т: 1 0110 (Т начинается с 1 и заканчивается на 0)
С и Т: 2 буквы одинаковы, то это означает, что остальные 3 буквы должны быть разными.
Ответ: 1 0110
На тестах для подготовки к ЕГЭ по информатике встречаются задачи на применение условия Фано. Материала в учебниках не нашел. Заходим в Википедию.
Условие Фано (англ. Fano condition, в честь Роберта Фано) - в теории кодирования необходимое условие построения самотерминирующегося кода (в другой терминологии, префиксного кода). Обычная формулировка этого условия выглядит так:
Никакое кодовое слово не может быть началом другого кодового слова.
Более «математическая» формулировка:
Если в код входит слово a, то для любой непустой строки b слова ab в коде не существует.
Алгоритм Шеннона - Фано - один из первых алгоритмов сжатия, который впервые сформулировали американские учёные Шеннон и Роберт Фано. Данный метод сжатия имеет большое сходство с алгоритмом Хаффмана, который появился на несколько лет позже. Алгоритм использует коды переменной длины: часто встречающийся символ кодируется кодом меньшей длины, редко встречающийся - кодом большей длины. Коды Шеннона - Фано префиксные, то есть никакое кодовое слово не является префиксом любого другого. Это свойство позволяет однозначно декодировать любую последовательность кодовых слов.
Основные сведения
Кодирование Шеннона- Фано(англ. coding) - алгоритм префиксного неоднородного кодирования. Относится к вероятностным методам сжатия (точнее, методам контекстного моделирования нулевого порядка). Подобно алгоритму Хаффмана, алгоритм Шеннона - Фано использует избыточность сообщения, заключённую в неоднородном распределении частот символов его (первичного) алфавита, то есть заменяет коды более частых символов короткими двоичными последовательностями, а коды более редких символов - более длинными двоичными последовательностями.
Алгоритм был независимо друг от друга разработан Шенноном (публикация «Математическая теория связи», 1948 год) и, позже, Фано (опубликовано как технический отчёт).
1. Основные понятия
Закодировать текст – значит сопоставить ему другой текст. Кодирование применяется при передаче данных – для того, чтобы зашифровать текст от посторонних, чтобы сделать передачу данных более надежной, потому что канал передачи данных может передавать только ограниченный набор символов (например, - только два символа, 0 и 1) и по другим причинам.
При кодировании заранее определяют алфавит, в котором записаны исходные тексты (исходный алфавит) и алфавит, в котором записаны закодированные тексты (коды), этот алфавит называется кодовым алфавитом. В качестве кодового алфавита часто используют двоичный алфавит, состоящий из двух символов (битов) 0 и 1. Слова в двоичном алфавите иногда называют битовыми последовательностями.
2. Побуквенное кодирование
Наиболее простой способ кодирования – побуквенный. При побуквенном кодировании каждому символу из исходного алфавита сопоставляется кодовое слово – слово в кодовом алфавите. Иногда вместо «кодовое слово буквы» говорят просто «код буквы». При побуквенном кодировании текста коды всех символов записываются подряд, без разделителей.
Пример 1. Исходный алфавит – алфавит русских букв, строчные и прописные буквы не различаются. Размер алфавита – 33 символа.
Кодовый алфавит – алфавит десятичных цифр. Размер алфавита - 10 символов.
Применяется побуквенное кодирование по следующему правилу: буква кодируется ее номером в алфавите: код буквы А – 1; буквы Я – 33 и т.д.
Тогда код слова АББА – это 1221.
Внимание: Последовательность 1221 может означать не только АББА, но и КУ (К – 12-я буква в алфавите, а У – 21-я буква). Про такой код говорят, что он НЕ допускает однозначного декодирования
Пример 2. Исходный и кодовый алфавиты – те же, что в примере 1. Каждая буква также кодируется своим номером в алфавите, НО номер всегда записывается двумя цифрами: к записи однозначных чисел слева добавляется 0. Например, код А – 01, код Б – 02 и т.д.
В этом случае кодом текста АББА будет 01020201. И расшифровать этот код можно только одним способом. Для расшифровки достаточно разбить кодовый текст 01020201 на двойки: 01 02 02 01 и для каждой двойки определить соответствующую ей букву.
Такой способ кодирования называется равномерным. Равномерное кодирование всегда допускает однозначное декодирование.
Далее рассматривается только побуквенное кодирование
3. Неравномерное кодирование
Равномерное кодирование удобно для декодирования. Однако часто применяют и неравномерные коды, т.е. коды с различной длиной кодовых слов. Это полезно, когда в исходном тексте разные буквы встречаются с разной частотой. Тогда часто встречающиеся символы стоит кодировать более короткими словами, а редкие – более длинными. Из примера 1 видно, что (в отличие от равномерных кодов!) не все неравномерные коды допускают однозначное декодирование.
Есть простое условие, при выполнении которого неравномерный код допускает однозначное декодирование.
Код называется префиксным, если в нем нет ни одного кодового слова, которое было бы началом (по-научному, - префиксом) другого кодового слова.
Но я хочу продемонстрировать как можно автоматизировать данный процесс.
Видеоролик выложу в интернет
Приведу пример из подготовки к ЕГЭ по информатике (фирма 1С - материалы Центра Сертифицированного Обучения):
Для кодирования некоторой последовательности, состоящей из букв С, Т, Р, О, К и А, используется неравномерный двоичный код, удовлетворяющий условию Фано, и следовательно, позволяющий однозначно декодировать полученную двоичную последовательность. Вот этот код: С - 000, Т - 001, Р - 010, О - 100, К - 011, А - 11. Можно ли сократить для одной из букв длину кодового слова так, чтобы код по прежнему удовлетворял условию Фано? Коды остальных букв меняться не должны.
Выберите правильный вариант ответа.
Варианты ответов:
1) для буквы Р - 01
2) для буквы О - 10
3) для буквы А - 1
4) это невозможно
Правильный вариант - 2
Решение:
Вариант 1) не подходит - условие Фано будет нарушено для букв Р и К
Вариант 2) подходит - слово 10 не является началом кодовых слов для других букв
Вариант 3) не подходит - условие Фано будет нарушено для букв А и О
Вариант 4) не подходит - см. вариант 2)
Теперь посмотрим, что выдаст программа для автоматизированного решения подобных задач и контроля знаний.
В задании не задана частотность или вероятность появления букв, поэтому в программе примем ее равной 0,01 для всех букв.
Вероятности:
0.01, 0.01, 0.01, 0.01, 0.01, 0.01
Значения:
C, T, P, O, K, A
Результат:
C 000
T 001
P 01
O 100
K 101
A 11
Из решения видно, вариантов решения может быть несколько, но все они отвечают условию Фано.
Полагаю, что подобные программы будут полезны для контроля знаний, а включение подобной функции в язык программирования усилит возможности языка, поэтому включаю данную функцию в язык SmartMath. Программа сама определяет количество символов для анализа, сортирует их в зависимости от частотности и присваивает коды согласно условия Фано. Преимущество автоматизации в создании кода при выполнении условия Фано в том, что можно быстро создавать решения для любой последовательности.
Смотрите ссылку.