Сравнительные характеристики поколений эвм таблица. Поколения ЭВМ. Основы информатики. Последовательное выполнение операций
Еще с начала XVI-XVIII веков математики усиленно начали изучать функции, благодаря которым так много в нашей жизни изменилось. Компьютерная техника без этих знаний просто не существовала бы. Для решения сложных задач, линейных уравнений и функций были созданы различные концепции, теоремы и методики решения. Одним из таких универсальных и рациональных способов и методик решения линейных уравнений и их систем стал и метод Гаусса. Матрицы, их ранг, детерминант - все можно посчитать, не используя сложных операций.
Что представляет собой СЛАУ
В математике существует понятие СЛАУ - система линейных алгебраических уравнений. Что же она собой представляет? Это набор из m уравнений с искомыми n неизвестными величинами, обычно обозначающимися как x, y, z, или x 1 , x 2 … x n, или другими символами. Решить методом Гаусса данную систему - означает найти все искомые неизвестные. Если система имеет одинаковое число неизвестных и уравнений, тогда она называется системой n-го порядка.
Наиболее популярные методы решения СЛАУ
В учебных заведениях среднего образования изучают различные методики решения таких систем. Чаще всего это простые уравнения, состоящие из двух неизвестных, поэтому любой существующий метод для поиска ответа на них не займет много времени. Это может быть как метод подстановки, когда из одного уравнения выводится другое и подставляется в изначальное. Или метод почленного вычитания и сложения. Но наиболее легким и универсальным считается метод Гаусса. Он дает возможность решать уравнения с любым количеством неизвестных. Почему именно эта методика считается рациональной? Все просто. Матричный способ хорош тем, что здесь не требуется по несколько раз переписывать ненужные символы в виде неизвестных, достаточно проделать арифметические операции над коэффициентами - и получится достоверный результат.
Где используются СЛАУ на практике
Решением СЛАУ являются точки пересечения прямых на графиках функций. В наш высокотехнологический компьютерный век людям, которые тесно связаны с разработкой игр и прочих программ, необходимо знать, как решать такие системы, что они представляют и как проверить правильность получившегося результата. Наиболее часто программисты разрабатывают специальные программы-вычислители линейной алгебры, сюда входит и система линейных уравнений. Метод Гаусса позволяет высчитать все существующие решения. Также используются и другие упрощенные формулы и методики.
Критерий совместимости СЛАУ
Такую систему можно решить только в том случае, если она совместима. Для понятности представим СЛАУ в виде Ax=b. Она имеет решение, если rang(A) равняется rang(A,b). В этом случае (A,b) - это матрица расширенного вида, которую можно получить из матрицы А, переписав ее со свободными членами. Выходит, что решить линейные уравнения методом Гаусса достаточно легко.
Возможно, некоторые обозначения не совсем понятны, поэтому необходимо рассмотреть все на примере. Допустим, есть система: x+y=1; 2x-3y=6. Она состоит всего из двух уравнений, в которых 2 неизвестные. Система будет иметь решение только в том случае, если ранг ее матрицы будет равняться рангу расширенной матрицы. Что такое ранг? Это число независимых строк системы. В нашем случае ранг матрицы 2. Матрица А будет состоять из коэффициентов, находящихся возле неизвестных, а в расширенную матрицу вписываются и коэффициенты, находящиеся за знаком «=».
Почему СЛАУ можно представить в матричном виде
Исходя из критерия совместимости по доказанной теореме Кронекера-Капелли, систему линейных алгебраических уравнений можно представить в матричном виде. Применяя каскадный метод Гаусса, можно решить матрицу и получить единственный достоверный ответ на всю систему. Если ранг обычной матрицы равняется рангу ее расширенной матрицы, но при этом меньше количества неизвестных, тогда система имеет бесконечное количество ответов.
Преобразования матриц
Прежде чем переходить к решению матриц, необходимо знать, какие действия можно проводить над их элементами. Существует несколько элементарных преобразований:
- Переписывая систему в матричный вид и осуществляя ее решение, можно умножать все элементы ряда на один и тот же коэффициент.
- Для того чтобы преобразовать матрицу в канонический вид, можно менять местами два параллельных ряда. Канонический вид подразумевает, что все элементы матрицы, которые расположены по главной диагонали, становятся единицами, а оставшиеся - нулями.
- Соответствующие элементы параллельных рядов матрицы можно прибавлять один к другому.
Метод Жордана-Гаусса
Суть решения систем линейных однородных и неоднородных уравнений методом Гаусса в том, чтобы постепенно исключить неизвестные. Допустим, у нас есть система из двух уравнений, в которых две неизвестные. Чтобы их найти, необходимо проверить систему на совместимость. Уравнение методом Гаусса решается очень просто. Необходимо выписать коэффициенты, находящиеся возле каждого неизвестного в матричный вид. Для решения системы понадобится выписать расширенную матрицу. Если одно из уравнений содержит меньшее количество неизвестных, тогда на место пропущенного элемента необходимо поставить «0». К матрице применяются все известные методы преобразования: умножение, деление на число, прибавление соответствующих элементов рядов друг к другу и другие. Получается, что в каждом ряду необходимо оставить одну переменную со значением «1», остальные привести к нулевому виду. Для более точного понимания необходимо рассмотреть метод Гаусса на примерах.
Простой пример решения системы 2х2
Для начала возьмем простенькую систему алгебраических уравнений, в которой будет 2 неизвестных.
Перепишем ее в расширенную матрицу.
Чтобы решить данную систему линейных уравнений, требуется проделать всего две операции. Нам необходимо привести матрицу к каноническому виду, чтобы по главной диагонали стояли единицы. Так, переводя с матричного вида обратно в систему, мы получим уравнения: 1x+0y=b1 и 0x+1y=b2, где b1 и b2 - получившиеся ответы в процессе решения.
- Первое действие при решении расширенной матрицы будет таким: первый ряд необходимо умножить на -7 и прибавить соответственно отвечающие элементы ко второй строке, чтобы избавиться от одного неизвестного во втором уравнении.
- Так как решение уравнений методом Гаусса подразумевает приведение матрицы к каноническому виду, тогда необходимо и с первым уравнением проделать те же операции и убрать вторую переменную. Для этого вторую строку отнимаем от первой и получаем необходимый ответ - решение СЛАУ. Или, как показано на рисунке, вторую строку умножаем на коэффициент -1 и прибавляем к первой строке элементы второго ряда. Это одно и то же.
Как видим, наша система решена методом Жордана-Гаусса. Переписываем ее в необходимую форму: x=-5, y=7.
Пример решения СЛАУ 3х3
Предположим, что у нас есть более сложная система линейных уравнений. Метод Гаусса дает возможность высчитать ответ даже для самой, казалось бы, запутанной системы. Поэтому, чтобы более глубоко вникнуть в методику расчета, можно переходить к более сложному примеру с тремя неизвестными.
Как и в прежнем примере, переписываем систему в вид расширенной матрицы и начинаем приводить ее к каноническому виду.
Для решения этой системы понадобится произвести гораздо больше действий, чем в предыдущем примере.
- Сначала необходимо сделать в первом столбце один единичный элемент и остальные нули. Для этого умножаем первое уравнение на -1 и прибавляем к нему второе уравнение. Важно запомнить, что первую строку мы переписываем в изначальном виде, а вторую - уже в измененном.
- Далее убираем эту же первую неизвестную из третьего уравнения. Для этого элементы первой строки умножаем на -2 и прибавляем их к третьему ряду. Теперь первая и вторая строки переписываются в изначальном виде, а третья - уже с изменениями. Как видно по результату, мы получили первую единицу в начале главной диагонали матрицы и остальные нули. Еще несколько действий, и система уравнений методом Гаусса будет достоверно решена.
- Теперь необходимо проделать операции и над другими элементами рядов. Третье и четвертое действие можно объединить в одно. Нужно разделить вторую и третью строку на -1, чтобы избавиться от минусовых единиц по диагонали. Третью строку мы уже привели к необходимому виду.
- Дальше приведем к каноническому виду вторую строку. Для этого элементы третьего ряда умножаем на -3 и прибавляем их ко второй строчке матрицы. Из результата видно, что вторая строка тоже приведена к необходимой нам форме. Осталось проделать еще несколько операций и убрать коэффициенты неизвестных из первой строки.
- Чтобы из второго элемента строки сделать 0, необходимо умножить третью строку на -3 и прибавить ее к первому ряду.
- Следующим решающим этапом будет прибавление к первой строке необходимые элементы второго ряда. Так мы получаем канонический вид матрицы, а, соответственно, и ответ.
Как видно, решение уравнений методом Гаусса довольно простое.
Пример решения системы уравнений 4х4
Некоторые более сложные системы уравнений можно решить методом Гаусса посредством компьютерных программ. Необходимо вбить в существующие пустые ячейки коэффициенты при неизвестных, и программа сама пошагово рассчитает необходимый результат, подробно описывая каждое действие.
Ниже описана пошаговая инструкция решения такого примера.
В первом действии в пустые ячейки вписываются свободные коэффициенты и числа при неизвестных. Таким образом, получается такая же расширенная матрица, которую мы пишем вручную.
И производятся все необходимые арифметические операции, чтобы привести расширенную матрицу к каноническому виду. Необходимо понимать, что не всегда ответ на систему уравнений - это целые числа. Иногда решение может быть из дробных чисел.
Проверка правильности решения
Метод Жордана-Гаусса предусматривает проверку правильности результата. Для того чтобы узнать, правильно ли посчитаны коэффициенты, необходимо всего-навсего подставить результат в изначальную систему уравнений. Левая сторона уравнения должна соответствовать правой стороне, находящейся за знаком "равно". Если ответы не совпадают, тогда необходимо пересчитывать заново систему или попробовать применить к ней другой известный вам метод решения СЛАУ, такой как подстановка или почленное вычитание и сложение. Ведь математика - это наука, которая имеет огромное количество различных методик решения. Но помните: результат должен быть всегда один и тот же, независимо от того, какой метод решения вы использовали.
Метод Гаусса: наиболее часто встречающиеся ошибки при решении СЛАУ
Во время решения линейных систем уравнений чаще всего возникают такие ошибки, как неправильный перенос коэффициентов в матричный вид. Бывают системы, в которых отсутствуют в одном из уравнений некоторые неизвестные, тогда, перенося данные в расширенную матрицу, их можно потерять. В результате при решении данной системы результат может не соответствовать действительному.
Еще одной из главных ошибок может быть неправильное выписывание конечного результата. Нужно четко понимать, что первый коэффициент будет соответствовать первому неизвестному из системы, второй - второму, и так далее.
Метод Гаусса подробно описывает решение линейных уравнений. Благодаря ему легко произвести необходимые операции и найти верный результат. Кроме того, это универсальное средство для поиска достоверного ответа на уравнения любой сложности. Может быть, поэтому его так часто используют при решении СЛАУ.
Решение систем линейных уравнений методом Гаусса.
Пусть нам требуется найти решение системы из n
линейных уравнений с n
неизвестными переменными
определитель основной матрицы которой отличен от нуля.
Суть метода Гаусса состоит в последовательном исключении неизвестных переменных: сначала исключается x 1 из всех уравнений системы, начиная со второго, далее исключается x 2 из всех уравнений, начиная с третьего, и так далее, пока в последнем уравнении останется только неизвестная переменная x n . Такой процесс преобразования уравнений системы для последовательного исключения неизвестных переменных называется прямым ходом метода Гаусса . После завершения прямого хода метода Гаусса из последнего уравнения находитсяx n , с помощью этого значения из предпоследнего уравнения вычисляется x n-1 , и так далее, из первого уравнения находится x 1 . Процесс вычисления неизвестных переменных при движении от последнего уравнения системы к первому называется обратным ходом метода Гаусса .
Кратко опишем алгоритм исключения неизвестных переменных.
Будем считать, что , так как мы всегда можем этого добиться перестановкой местами уравнений системы. Исключим неизвестную переменную x 1
из всех уравнений системы, начиная со второго. Для этого ко второму уравнению системы прибавим первое, умноженное на , к третьему уравнению прибавим первое, умноженное на , и так далее, к n-ому
уравнению прибавим первое, умноженное на . Система уравнений после таких преобразований примет вид
где , а 
.
К такому же результату мы бы пришли, если бы выразили x 1 через другие неизвестные переменные в первом уравнении системы и полученное выражение подставили во все остальные уравнения. Таким образом, переменная x 1 исключена из всех уравнений, начиная со второго.
Далее действуем аналогично, но лишь с частью полученной системы, которая отмечена на рисунке
Для этого к третьему уравнению системы прибавим второе, умноженное на , к четвертому уравнению прибавим второе, умноженное на , и так далее, к n-ому
уравнению прибавим второе, умноженное на . Система уравнений после таких преобразований примет вид
где , а 
. Таким образом, переменная x 2
исключена из всех уравнений, начиная с третьего.
Далее приступаем к исключению неизвестной x 3
, при этом действуем аналогично с отмеченной на рисунке частью системы
Так продолжаем прямой ход метода Гаусса пока система не примет вид
С этого момента начинаем обратный ход метода Гаусса: вычисляем x n из последнего уравнения как , с помощью полученного значения x n находим x n-1 из предпоследнего уравнения, и так далее, находим x 1 из первого уравнения.
Пример.
Решите систему линейных уравнений 
методом Гаусса.
Определение и описание метода Гаусса
Метод преобразований Гаусса (также известный как преобразование методом последовательного исключения неизвестных переменных из уравнения или матрицы) для решения систем линейных уравнений представляет собой классический методом решения системы алгебраических уравнений (СЛАУ). Также этот классический метод используют для решения таких задач как получение обратных матриц и определения ранговости матрицы.
Преобразование с помощью метода Гаусса заключается в совершении небольших (элементарных) последовательных изменениях системы линейных алгебраических уравнений, приводящих к исключению переменных из неё сверху вниз с образованием новой треугольной системы уравнений, являющейся равносильной исходной.
Определение 1
Эта часть решения носит название прямого хода решения Гаусса, так как весь процесс осуществляется сверху вниз.
После приведения исходной системы уравнений к треугольной осуществляется нахождение всех переменных системы снизу вверх (то есть первые найденные переменные занимают находятся именно на последних строчках системы или матрицы). Эта часть решения известна также как обратный ход решения методом Гаусса. Заключается его алгоритм в следующем: сначала вычисляется переменные, находящиеся ближе всего к низу системы уравнений или матрицы, затем полученные значения подставляются выше и таким образом находится ещё одна переменная и так далее.
Описание алгоритма метода Гаусса
Последовательность действий для общего решения системы уравнения методом Гаусса заключается в поочередном применении прямого и обратного хода к матрице на основе СЛАУ. Пусть исходная система уравнений имеет следующий вид:
$\begin{cases} a_{11} \cdot x_1 +...+ a_{1n} \cdot x_n = b_1 \\ ... \\ a_{m1} \cdot x_1 + a_{mn} \cdot x_n = b_m \end{cases}$
Чтобы решить СЛАУ методом Гаусса, необходимо записать исходную систему уравнений в виде матрицы:
$A = \begin{pmatrix} a_{11} & … & a_{1n} \\ \vdots & … & \vdots \\ a_{m1} & … & a_{mn} \end{pmatrix}$, $b=\begin{pmatrix} b_1 \\ \vdots \\ b_m \end{pmatrix}$
Матрица $A$ называется основной матрицей и представляет собой записанные по порядку коэффициенты при переменных, а $b$ называется столбцом её свободных членов. Матрица $A$, записанная через черту со столбцом свободных членов называется расширенной матрицей:
$A = \begin{array}{ccc|c} a_{11} & … & a_{1n} & b_1 \\ \vdots & … & \vdots & ...\\ a_{m1} & … & a_{mn} & b_m \end{array}$
Теперь необходимо с помощью элементарных преобразований над системой уравнений (или над матрицей, так как это удобнее) привести её к следующему виду:
$\begin{cases} α_{1j_{1}} \cdot x_{j_{1}} + α_{1j_{2}} \cdot x_{j_{2}}...+ α_{1j_{r}} \cdot x_{j_{r}} +... α_{1j_{n}} \cdot x_{j_{n}} = β_1 \\ α_{2j_{2}} \cdot x_{j_{2}}...+ α_{2j_{r}} \cdot x_{j_{r}} +... α_{2j_{n}} \cdot x_{j_{n}} = β_2 \\ ...\\ α_{rj_{r}} \cdot x_{j_{r}} +... α_{rj_{n}} \cdot x_{j_{n}} = β_r \\ 0 = β_(r+1) \\ … \\ 0 = β_m \end{cases}$ (1)
Матрица, полученная из коэффициентов преобразованной системы уравнения (1) называется ступенчатой, вот так обычно выглядят ступенчатые матрицы:
$A = \begin{array}{ccc|c} a_{11} & a_{12} & a_{13} & b_1 \\ 0 & a_{22} & a_{23} & b_2\\ 0 & 0 & a_{33} & b_3 \end{array}$
Для этих матриц характерен следующий набор свойств:
- Все её нулевые строки стоят после ненулевых
- Если некоторая строка матрицы с номером $k$ ненулевая, то в предыдущей строчке этой же матрицы нулей меньше, чем в этой, обладающей номером $k$.
После получения ступенчатой матрицы необходимо подставить полученные переменные в оставшиеся уравнения (начиная с конца) и получить оставшиеся значения переменных.
Основные правила и разрешаемые преобразования при использовании метода Гаусса
При упрощении матрицы или системы уравнений этим методом нужно использовать только элементарные преобразования.
Таким преобразованиями считаются операции, которые возможно применять к матрице или системе уравнений без изменения её смысла:
- перестановка нескольких строк местами,
- прибавление или вычитание из одной строчки матрицы другой строчки из неё же,
- умножение или деление строчки на константу, не равную нулю,
- строчку, состоящую из одних нулей, полученную в процессе вычисления и упрощения системы, нужно удалить,
- Также нужно удалить лишние пропорциональные строчки, выбрав для системы единственную из них с более подходящими и удобными для дальнейших вычислений коэффициентами.
Все элементарные преобразования являются обратимыми.
Разбор трёх основных случаев, возникающих при решении линейных уравнений используя метод простых преобразований Гаусса
Различают три возникающих случая при использовании метода Гаусса для решения систем:
- Когда система несовместная, то есть у неё нет каких-либо решений
- У системы уравнений есть решение, причём единственное, а количество ненулевых строк и столбцов в матрице равно между собой.
- Система имеет некое количество или множество возможных решений, а количество строк в ней меньше чем количество столбцов.
Исход решения с несовместной системой
Для этого варианта при решении матричного уравнения методом Гаусса характерно получение какой-то строчки с невозможностью выполнения равенства. Поэтому при возникновении хотя бы одного неправильного равенства полученная и исходная системы не имеют решений вне зависимости от остальных уравнений, которые они содержат. Пример несовместной матрицы:
$\begin{array}{ccc|c} 2 & -1 & 3 & 0 \\ 1 & 0 & 2 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}$
В последней строчке возникло невыполняемое равенство: $0 \cdot x_{31} + 0 \cdot x_{32} + 0 \cdot x_{33} = 1$.
Система уравнений, у которой есть только одно решение
Данные системы после приведения к ступенчатой матрице и удаления строчек с нулями имеют одинаковое количество строк и столбцов в основной матрице. Вот простейший пример такой системы:
$\begin{cases} x_1 - x_2 = -5 \\ 2 \cdot x_1 + x_2 = -7 \end{cases}$
Запишем её в виде матрицы:
$\begin{array}{cc|c} 1 & -1 & -5 \\ 2 & 1 & -7 \end{array}$
Чтобы привести первую ячейку второй строчки к нулю, домножим верхнюю строку на $-2$ и вычтем её из нижней строчки матрицы, а верхнюю строчку оставим в исходном виде, в итоге имеем следующее:
$\begin{array}{cc|c} 1 & -1 & -5 \\ 0 & 3 & 10 \end{array}$
Этот пример можно записать в виде системы:
$\begin{cases} x_1 - x_2 = -5 \\ 3 \cdot x_2 = 10 \end{cases}$
Из нижнего уравнения выходит следующее значение $x$: $x_2 = 3 \frac{1}{3}$. Подставим это значение в верхнее уравнение: $x_1 – 3 \frac{1}{3}$, получаем $x_1 = 1 \frac{2}{3}$.
Система, обладающая множеством возможных вариантов решений
Для этой системы характерно меньшее количество значащих строк, чем количество столбцов в ней (учитываются строки основной матрицы).
Переменные в такой системе делятся на два вида: базисные и свободные. При преобразовании такой системы содержащиеся в ней основные переменные необходимо оставить в левой области до знака “=”, а остальные переменные перенести в правую часть равенства.
У такой системы есть только некое общее решение.
Разберём следующую систему уравнений:
$\begin{cases} 2y_1 + 3y_2 + x_4 = 1 \\ 5y_3 - 4y_4 = 1 \end{cases}$
Запишем её в виде матрицы:
$\begin{array}{cccc|c} 2 & 3 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 5 & 4 & 1 \\ \end{array}$
Наша задача найти общее решение системы. Для этой матрицы базисными переменными будут $y_1$ и $y_3$ (для $y_1$ - так как он стоит на первом месте, а в случае $y_3$ - располагается после нулей).
В качестве базисных переменных выбираем именно те, которые первые в строке не равны нулю.
Оставшиеся переменные называются свободными, через них нам необходимо выразить базисные.
Используя так называемый обратный ход, разбираем систему снизу вверх, для этого сначала выражаем $y_3$ из нижней строчки системы:
$5y_3 – 4y_4 = 1$
$5y_3 = 4y_4 + 1$
$y_3 = \frac{4/5}y_4 + \frac{1}{5}$.
Теперь в верхнее уравнение системы $2y_1 + 3y_2 + y_4 = 1$ подставляем выраженное $y_3$: $2y_1 + 3y_2 - (\frac{4}{5}y_4 + \frac{1}{5}) + y_4 = 1$
Выражаем $y_1$ через свободные переменные $y_2$ и $y_4$:
$2y_1 + 3y_2 - \frac{4}{5}y_4 - \frac{1}{5} + y_4 = 1$
$2y_1 = 1 – 3y_2 + \frac{4}{5}y_4 + \frac{1}{5} – y_4$
$2y_1 = -3y_2 - \frac{1}{5}y_4 + \frac{6}{5}$
$y_1 = -1.5x_2 – 0.1y_4 + 0.6$
Решение готово.
Пример 1
Решить слау методом Гаусса. Примеры. Пример решения системы линейных уравнений заданных матрицей 3 на 3 используя метод Гаусса
$\begin{cases} 4x_1 + 2x_2 – x_3 = 1 \\ 5x_1 + 3x_2 - 2x^3 = 2\\ 3x_1 + 2x_2 – 3x_3 = 0 \end{cases}$
Запишем нашу систему в виде расширенной матрицы:
$\begin{array}{ccc|c} 4 & 2 & -1 & 1 \\ 5 & 3 & -2 & 2 \\ 3 & 2 & -3 & 0\\ \end{array}$
Теперь для удобства и практичности нужно преобразовать матрицу так, чтобы в верхнем углу крайнего столбца была $1$.
Для этого к 1-ой строчке нужно прибавляем строчку из середины, умноженную на $-1$, а саму среднюю строчку записываем как есть, выходит:
$\begin{array}{ccc|c} -1 & -1 & 1 & -1 \\ 5 & 3 & -2 & 2 \\ 3 & 2 & -3 & 0\\ \end{array}$
$\begin{array}{ccc|c} -1 & -1 & 1 & -1 \\ 0 & -2 & 3 & -3 \\ 0 & -1 & 0 & -3\\ \end{array}$
Домножим верхнюю и последнюю строчки на $-1$, а также поменяем местами последнюю и среднюю строки:
$\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 3 \\ 0 & -2 & 3 & -3\\ \end{array}$
$\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 3 \\ 0 & 0 & 3 & 3\\ \end{array}$
И разделим последнюю строчку на $3$:
$\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 3 \\ 0 & 0 & 1 & 1\\ \end{array}$
Получаем следующую систему уравнений, равносильную исходной:
$\begin{cases} x_1 + x_2 – x_3 = 1\\ x_2 = 3 \\ x_3 = 1 \end{cases}$
Из верхнего уравнения выражаем $x_1$:
$x1 = 1 + x_3 – x_2 = 1 + 1 – 3 = -1$.
Пример 2
Пример решения системы, заданной с помощью матрицы 4 на 4 методом Гаусса
$\begin{array}{cccc|c} 2 & 5 & 4 & 1 & 20 \\ 1 & 3 & 2 & 1 & 11 \\ 2 & 10 & 9 & 7 & 40\\ 3 & 8 & 9 & 2 & 37 \\ \end{array}$.
В начале меняем местами верхнюю исследующую за ней строчки, чтобы получить в левом верхнем углу $1$:
$\begin{array}{cccc|c} 1 & 3 & 2 & 1 & 11 \\ 2 & 5 & 4 & 1 & 20 \\ 2 & 10 & 9 & 7 & 40\\ 3 & 8 & 9 & 2 & 37 \\ \end{array}$.
Теперь умножим верхнюю строчку на $-2$ и прибавим ко 2-ой и к 3-ьей. К 4-ой прибавляем 1-ую строку, домноженную на $-3$:
$\begin{array}{cccc|c} 1 & 3 & 2 & 1 & 11 \\ 0 & -1 & 0 & -1 & -2 \\ 0 & 4 & 5 & 5 & 18\\ 0 & -1 & 3 & -1 & 4 \\ \end{array}$
Теперь к строке с номером 3 прибавляем строку 2, умноженную на $4$, а к строке 4 прибавляем строку 2, умноженную на $-1$.
$\begin{array}{cccc|c} 1 & 3 & 2 & 1 & 11 \\ 0 & -1 & 0 & -1 & -2 \\ 0 & 0 & 5 & 1 & 10\\ 0 & 0 & 3 & 0 & 6 \\ \end{array}$
Домножаем строку 2 на $-1$, а строку 4 делим на $3$ и ставим на место строки 3.
$\begin{array}{cccc|c} 1 & 3 & 2 & 1 & 11 \\ 0 & 1 & 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 2\\ 0 & 0 & 5 & 1 & 10 \\ \end{array}$
Теперь прибавляем к последней строке предпоследнюю, домноженную на $-5$.
$\begin{array}{cccc|c} 1 & 3 & 2 & 1 & 11 \\ 0 & 1 & 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 2\\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ \end{array}$
Решаем полученную систему уравнений:
$\begin{cases} m = 0 \\ g = 2\\ y + m = 2\ \ x + 3y + 2g + m = 11\end{cases}$
В соответствии с общепринятой методикой оценки развития вычислительной техники первым поколением считались ламповые компьютеры, вторым -транзисторные, третьим - компьютеры на интегральных схемах, а четвёртым - с использованием микропроцессоров.
Первое поколение ЭВМ (1948–1958) создавалось на основе вакуумных электроламп, машина управлялась с пульта и перфокарт с использованием машинных кодов. Эти ЭВМ размещались в нескольких больших металлических шкафах, занимавших целые залы.
Элементной базой машин этого поколения были электронные лампы – диоды и триоды. Машины предназначались для решения сравнительно несложных научно-технических задач. К этому поколению ЭВМ можно отнести: МЭСМ, БЭСМ-1, М-1, М-2, М-З, «Стрела», Минск-1, Урал-1, Урал-2, Урал-3, М-20, «Сетунь», БЭСМ-2, «Раздан» (рис. 2.1).
ЭВМ первого поколения были значительных размеров, потребляли большую мощность, имели невысокую надежность работы и слабое программное обеспечение. Быстродействие их не превышало 2–3 тысячи операций в секунду, емкость оперативной памяти – 2 кб или 2048 машинных слов (1 кб = 1024) длиной 48 двоичных знаков.
Второе поколение ЭВМ (1959–1967) появилось в 60-е гг. ХХ века. Элементы ЭВМ выполнялись на основе полупроводниковых транзисторов (рис. 2.2, 2.3). Эти машины обрабатывали информацию под управлением программ на языке Ассемблер. Ввод данных и программ осуществлялся с перфокарт и перфолент.
Элементной базой машин этого поколения были полупроводниковые приборы. Машины предназначались для решения различных трудоемких научно-технических задач, а также для управления технологическими процессами в производстве. Появление полупроводниковых элементов в электронных схемах существенно увеличило емкость оперативной памяти, надежность и быстродействие ЭВМ. Уменьшились размеры, масса и потребляемая мощность. С появлением машин второго поколения значительно расширилась сфера использования электронной вычислительной техники, главным образом за счет развития ПО.
Третье поколение ЭВМ (1968–1973). Элементная база ЭВМ – малые интегральные схемы (МИС), содержавшие на одной пластинке сотни или тысячи транзисторов. Управление работой этих машин происходило с алфавитно-цифровых терминалов. Для управления использовались языки высокого уровня и Ассемблер. Данные и программы вводились как с терминала, так и с перфокарт и перфолент. Машины предназначались для широкого использования в различных областях науки и техники (проведение расчетов, управление производством, подвижными объектами и др.). Благодаря интегральным схемам удалось существенно улучшить технико-эксплуатационные характеристики ЭВМ и резко снизить цены на аппаратное обеспечение. Например, машины третьего поколения по сравнению с машинами второго поколения имеют больший объем оперативной памяти, увеличенное быстродействие, повышенную надежность, а потребляемая мощность, занимаемая площадь и масса уменьшились.
Четвертое поколение ЭВМ (1974–1982). Элементная база ЭВМ – большие интегральные схемы (БИС). Наиболее яркие представители четвертого поколения ЭВМ – персональные компьютеры (ПК). Связь с пользователем осуществлялась посредством цветного графического дисплея с применением языков высокого уровня.
Машины предназначались для резкого повышения производительности труда в науке, производстве, управлении, здравоохранении, обслуживании и быту. Высокая степень интеграции способствовала увеличению плотности компоновки электронной аппаратуры, повышению ее надежности, что привело к увеличению быстродействия ЭВМ и снижению ее стоимости. Все это оказывает существенное воздействие на логическую структуру (архитектуру) ЭВМ и на ее ПО. Более тесной становится связь структуры машины и ее программного обеспечения, особенно операционной системы (ОС) (или монитора) – набора программ, которые организуют непрерывную работу машины без вмешательства человека
Пятое поколение ЭВМ (1990 – настоящее время) создано на основе сверхбольших интегральных схем (СБИС), которые отличаются колоссальной плотностью размещения логических элементов на кристалле.
6. Организация компьютерных систем
Процессоры
На рис. 2.1 показана структура обычного компьютера с шинной организацией. Центральный процессор - это мозг компьютера. Его задача - выполнять программы, находящиеся в основной памяти. Он вызывает команды из памяти, определяет их тип, а затем выполняет одну за другой. Компоненты соединены шиной, представляющей собой набор параллельно связанных проводов, по которым передаются адреса, данные и сигналы управления. Шины могут быть внешними (связывающими процессор с памятью и устройствами ввода-вывода) и внутренними.
Рис. 2.1. Схема компьютера с одним центральным процессором и двумя устройствами ввода-вывода
Процессор состоит из нескольких частей. Блок управления отвечает за вызов команд из памяти и определение их типа. Арифметико-логическое устройство выполняет арифметические операции (например, сложение) и логические операции (например, логическое И).
Внутри центрального процессора находится память для хранения промежуточных результатов и некоторых команд управления. Эта память состоит из нескольких регистров, каждый из которых выполняет определенную функцию. Обычно размер всех регистров одинаков. Каждый регистр содержит одно число, которое ограничивается размером регистра. Регистры считываются и записываются очень быстро, поскольку они находятся внутри центрального процессора.
Самый важный регистр - счетчик команд, который указывает, какую команду нужно выполнять следующей. Название «счетчик команд» не соответствует действительности, поскольку он ничего не считает, но этот термин употребляется повсеместно1. Еще есть регистр команд, в котором находится выполняемая в данный момент команда. У большинства компьютеров имеются и другие регистры, одни из них многофункциональны, другие выполняют лишь какие-либо специфические функции.
7. Программное обеспечение. Основная память.
Вся совокупность программ, хранящихся на всех устройствах долговременной памяти компьютера, составляет его программное обеспечение (ПО) .
Программное обеспечение компьютера делится на:Системное ПО;
- прикладное ПО;
- инструментальное ПО.