Определители n-го порядка
Определитель n–го порядка состоит из n 2 элементов, записанных в n строк и в n столбцов, и имеет вид:
Элемент определителя а i
j стоит в строке с номером i и в столбце с номером j. Индексы i и j могут принимать любые натуральные значения от 1 до n. Так, записав а
i3 (i=1,2,…,n), мы перечислим все элементы, стоящие в столбце с номером 3: а
13 , а
23 , а
33 ,…,а
n3 . Элементы а
ij (при i=j) составляют главную диагональ определителя.
Вычисление определителя n-го порядка сводится к вычислению определителей третьего и второго порядка при помощи следующих свойств.
Свойства определителей:
1. Определитель не изменится, если его строки заменить столбцами (не меняя порядка их номеров). Поэтому далее будем говорить о строках, подразумевая сказанное верным и для столбцов.
2. Если поменять местами две строки определителя, то он изменит свой знак.
3. Определитель с двумя одинаковыми (или пропорциональными) строками равен нулю.
4. Общий множитель всех элементов какой-либо его строки можно выносить за знак определителя.
5. Если все элементы какой-либо строки определителя равны нулю, то такой определитель равен нулю.
6. Определитель не изменится, если ко всем элементам какой-либо его строки прибавить соответствующие элементы другой строки, умноженные на одно и то же число.
Примеры.
№ 6. Вычислить определители:
а)
Здесь к элементам первого столбца прибавили элементы третьего столбца.
б)
К элементам первой строки прибавили элементы третьей.
в)
Этот определитель удобнее вычислять по правилу Сарруса, т.к. четыре из шести слагаемых равны нулю.
Вернемся к свойствам определителей. Но введем вначале понятия минора и алгебраического дополнения.
Если из данного определителя n-го порядка вычеркнем строку и столбец, на пересечении которых стоит элемент а
ij , то получим определитель (n-1)-го порядка, который называется минором элемента
а
ij и обозначается М ij. Например, в определителе третьего порядка найдем минор М 21 элемента а
21 . Для этого вычеркиваем вторую строку и первый столбец:
В определителе четвертого порядка можно записать 4х4=16 миноров, каждый из которых будет определителем третьего порядка.
Запишем миноры элементов а
32 и а
44 , например, определителя четвертого порядка:
Алгебраическим дополнением элемента а
ij называется его минор, взятый со знаком (–1) i+ j , и обозначается А ij . Таким образом, А ij =(–1) i+ j ×М ij .
Найдем, например, алгебраические дополнения элементов определителя .
.
Рассмотрим, наконец, свойство о разложении определителя
по строке или столбцу.
7. Определитель равен сумме произведений элементов любой строки (или столбца) на их алгебраические дополнения.
Так, определитель третьего порядка, например, можно вычислить при помощи трех определителей второго порядка:
- разложение по элементам первой строки.
Следствие
. Если все элементы какой-либо строки (столбца), кроме одного, равны нулю, то определитель равен произведению отличного от нуля элемента на его алгебраическое дополнение.
Поэтому, например,
№.7
В определителе третьего порядка мы к элементам первого столбца прибавили соответствующие элементы третьего, умноженные на 2.
Итак, с помощью свойств определителя можно разложить определитель любого порядка по строке или столбцу. Последовательно понижая порядок, вычислим определитель непосредственно, применив правило для вычисления определителя третьего или второго порядка.
Рассмотрим определители особого вида: диагональный и треугольный.
Диагональным
определителем называется определитель, диагональные элементы которого отличны от нуля, а все остальные элементы равны нулю.
Треугольным
определителем называется определитель, все элементы которого, расположенные ниже (или выше) главной диагонали, равны нулю.
№ 8 Вычислить диагональный определитель n-го порядка
Раскладывая определитель по элементам 1 го
столбца, мы получили произведение Но определитель (n–1)-го порядка А 11 таким же образом представим в виде произведения и т.д.
Таким образом, диагональный определитель равен произведению элементов его главной диагонали.
Легко показать, что и треугольный определитель равен произведению элементов его главной диагонали:
№ 9 Вычислить определители:
1)
Определитель n-го порядка
Определителем или детерминантом n-го порядка называется число записываемое в виде
И вычисляемым по данным числам
(действительным или комплексным) - элементам определителя
Схемы вычисления определителей 2-ого и 3-его порядков
Теорема Крамера.
Пусть (дельта)-определитель матрицы системы А,а (дельта)i-определитель матрицы,получается из матрицы А заменой j-го столбца столбцов свободных чисел.Тогда,если (дельта) не равна 0,то система имеет единственное решение,определяемое во формуле:
1.Определитель 2-го порядка вычисляется по формуле
2. Определитель третьего порядка вычисляется по формуле
Существует удобная схема для вычисления определителя третьего порядка (см. рис. 1 и рис. 2).
Свойство определителей
1.Если какая-либо строка (столбец) матрицы состоит из одних нулей,то её определитель равен 0.
2.Если все элементы какой-либо строки (столбца) матрицы умножить на чило (лямбда),то её определитель умножится на это число (лямбда).
3.При транспонировании матрицы её определитель не изменяется.
Транспонирование
-в математике,это преобразование квадратной матрицы-замена столбцов на строки или наоборот.
4.При перестановки двух строк (столбцов) матрицы её определитель меняет знак на противоположный.
5.Если квадратная матрица содержит две одинаковые строки (столбца),то её определитель равен 0
6.Если элементы двух строк (столбцов)матрицы пропорциональны,то её определитель равен 0
7.Сумма произведений элементов какой-либо строки (столбца)матрицы на алгебраические дополнения элементов другой строки (столбца) этой матрицы равно 0
8.Определитель матрицы не изменяется,если к элементам какой-либо строки (столбца) матрицы прибавить элементы другой строки (столбца),предварительно умноженные на одно и то же число.
9.Сумма произведений чисел b1,b2,...,bn на алгебраические дополнение элементов любой строки (столбца) равна определителю матрицы,полученной из данной заменой элементов этой строки (столбца) b1,b2,...bn.
10.Определитель произведения двух квадратных матриц равен произведению их определителей |C|=|А|*|B|,где С=А*В;А и В-матрицы n-го порядка.
Рассмотрим
квадратную таблицу А.
Определение.
Определителем n-го
порядка называется число, полученное
из элементов данной таблицы по следующему
правилу:
1
.Определитель
n-го
порядка равен алгебраической сумме n!
членов.
Каждый
член представляет собой произведение
n-элементов
взятых по одному из каждой строки и
каждого столбца таблицы.
2
.Член
берется со знаком плюс, если перестановки
образованные первыми и вторыми индексами
элементов
, входящие в произведения одинаковой
четности (либо обе четные, либо нечетные)
и со знаком минус в противоположном
случае.
Определитель
обозначается символом:
или краткоdet
A=.(детерминант
А)
Согласно
определению
=
-.
Правило
вычисления определителя 3ого порядка:
=
Миноры и алгебраические дополнения
Пусть
дан определитель n-го
порядка (n>1)
Определение
1.
Минором
элементаопределителяn-го
порядка называется определитель
(n-1)-ого
порядка полученный из А вычеркиванием
i-й
строки и j-го
столбца, на пересечении которых стоит
данный элемент
.
Например:
=
Определение
2
. Алгебраическим
дополнением элемента
называется число
Основные свойства определителей n-го порядка
1.О
равносильности строк и столбцов.
Величина
определителя n-го
порядка не меняется, если у него заменить
строки соответствующими столбцами.
2.Если
у определителей поменять местами две
строки (столбца), то определитель изменит
знак на противоположный.
=
k
Если
все элементы какой-либо строки (или
столбца) определителя имеют общий
множитель, то этот общий множитель можно
вынести за знак определителя.
4.Величина
определителя равна нулю, если все
элементы какой-либо его строки нули
(или столбца).
5.Определитель
с двумя пропорциональными строками
равен 0.
Например:
6.Величина
определителя не изменится, если к его
элементам какой-либо строки прибавить
соответствующие элементы другой строки,
умноженные на одно и то же число.
7.Если
элементы какой-либо строки i
определителя представлены в виде суммы
двух слагаемых, то определитель равен
сумме двух определителей, в которых
все строки кроме i-й
такие же, как в заданном определителе,
а i-я
строка одного определителя состоит из
первых слагаемых, а второго из вторых.
8.Определитель
равен сумме произведений всех элементов
какой-либо его строки на их алгебраические
дополнения.
=
9.Сумма
произведений всех элементов какой-либо
строки определителя на алгебраические
дополнения соответствующих элементов
другой строки равна нулю.
Например:
=
Теорема Лапласа
Теорема.
Пусть в
определителе d
порядка n
произвольно выбраны k
строк (или k
столбцов), 1.Тогда
сумма произведений всех миноровk-го
порядка, содержащихся в выбранных
строках, на их алгебраические дополнения
равна определителю d.
Следствие
.
Частный
случай теоремы Лапласа - разложение
определителя по строке или столбцу. Он
позволяет представить
определитель квадратной матрицы в
виде суммы произведений элементов любой
её строки или столбца на их алгебраические
дополнения.
Пусть -
квадратная матрица размера .
Пусть также задан некоторый номер
строки i
либо
номер столбца j матрицы A.
Тогда определитель A может
быть вычислен по следующим формулам:
Разложение
по i-й
строке:
Разложение
по j-й
строке:
где
-
алгебраическое дополнение к минору,
расположенному в строке с номером i и
столбце с номером j.
Утверждение
является частным случаем теоремы
Лапласа. Достаточно в ней положить k равным
1 и выбрать -ую
строку, тогда минорами, расположенными
в этой строке будут сами элементы.
Примеры
для самостоятельного решения
.
1.Найти
х из уравнений и проверить подстановкой
корень в определитель.
а);
б)
Рассмотрим квадратную матрицу второго порядка
Определение
. Определителем квадратной матрицы второго порядка называют число, равное a 11 a 22 -a 12 a 21
и обозначают
символом , то есть
Определитель матрицы называется также детерминантом
. Обозначения
определителя матрицы A
: |A
|, Δ, det A
, det(a ij)
.
Теперь рассмотрим квадратную матрицу третьего порядка
При вычислении определителя третьего порядка полезно знать правило треугольника: со знаком плюс идут произведения троек чисел, расположенных на главной диагонали матрицы, и в вершинах треугольников с основанием параллельным этой диагонали и вершиной в противоположого угла матрицы. Со знаком минус идут тройки из второй диагонали и из треугольноков, построенных относительно этой диагонали. Следующая схема демонстрирует это правило. В схеме синим (слева) отмечены элементы, чьи произведения идут со знаком плюс, а красным (справа) - со знаком минус.
Теперь дадим определение.
Определение
. Определителем квадратной матрицы третьего порядка называют число
Определение
. Минором какого-либо элемента определителя называется определитель, полученный из данного вычеркиванием той строки и того столбца, к которым принадлежит данный элемент. Минор элемента a ik
обозначим M ik
.
Определение
. Минор элемента a 21
определителя третьего
порядка матрицы является определитель второго порядка
Определение
a ik
определителя называется его минор, взятый со знаком (-1) i+k
.
Алгебраическое дополнение элемента a ik
обозначим A ik
. По определению
Правило для определения знака алгебраического дополнения (на примере определителя третьего порядка):
Пример
. Алгебраическим дополнением элемента a 21
является
Теорема разложения
. Определитель равен сумме произведений элементов любой строки (столбца) на их алгебраические дополнения.
Свойства определителей
- Определитель не изменится при замене всех его строк соответствующими столбцами.
- При перестановке двух столбцов (строк) определитель меняет знак.
- Определитель с двумя одинаковыми столбцами (строками) равен нулю.
- Множитель, общий для элементов некоторого столбца (строки), можно выносить за знак определителя.
- Определитель с двумя пропорциональными столбцами (строками) равен нулю.
- Определитель равен нулю, если все элементы некоторого столбца (строки) равны нулю.
- Определитель не изменится, если к элементам некоторого столбца (строки) прибавить соответствующие элементы другого столбца
(строки), предварительно умножив их на один и тот же множитель.
Замечание
. Если в определителе все элементы некоторого столбца (строки) равны
суммам двух слагаемых, то такой определитель равен сумме двух соответствующих определителей.
Например,
Определители n
-го порядка
Рассмотрим квадратную матрицу n
-го порядка
Понятие определителя этой матрицы или определителя n
-го порядка
вводится индуктивно, считая, что уже введено понятие определителя порядка n-1
, соответствующего квадратной матрице (n-1)
-го порядка.
Определение минора элемента матрицы и его алгебраического дополнения верны для определителей любого порядка.
Определение
. Определителем порядка n
, соответствующим матрице A
n
-го порядка, называют число, равное (M 1k
- минор элемента a 1k
) и обозначаемое одним из символов
Итак, по определению
Эта формула выражает правило составления определителя порядка n
по элементам первой строки соответствующей ему матрицы и по
алгебраическим дополнениям этих элементов, являющимся определителем порядка n-1
, взятыми с надлежащими знаками.
Для определителя любого порядка верны все свойства и теоремы, полученные и доказанные для определителя третьего порядка.
Сформулируем основную теорему:
Теорема [Теорема замещения]
. Каков бы ни был номер строки i
(i=1,2,…,n
), для определителя n
-го порядка справедлива формула
называемая разложением этого определителя по i
-й строке.
Поскольку верно свойство 1 определителей, то определитель также можем разложить и по столбцу:
Примеры
Вычислим следующий определитель:
Вычтем вторую строку из первой и третьей. После прибавим к третей первую и из третей вынесем общий множитель:
Теперь ко второй строке прибавим третью, умноженную на 7, и к четвертой прибавим третью, умноженную на 2. После вынесем общий множитель из четвертой строки:
Разложим определитель по второму столбцу (знаки указывают значение (-1) i+j
при миноре). Заметим, что в столбце только один ненулевой элемент, следовательно, в разложении останется только один определитель третьего порядка. Окончательно пулучаем ответ использую формулу для определителя третьего порядка.
Приведем еще несколько примеров для определителей различных порядков.
Сообщить об опечатке
Текст, который будет отправлен нашим редакторам: